Şaşırtıcı Bir Sonuç: Üçgenin Diklik Merkezi

Görselde ne görüyorsunuz? Üç kenar, üç köşeden oluşan bir şekiller. Kısaca üçgen! Sade, yalın ve basit. Fakat bu sadelik sizi yanlış düşüncelere sevk etmesin, bu şekil hakkında ciltler dolusu kitap da yazabiliriz. Böylesine sade bir şeklin bize bu kadar çok şey söylemesi sizce de ilginç değil mi?

Gönül ister ki üçgenle ilgili en temel özelliklerden başlayarak ilerleyip, bu yazımda değinmek istediğim konuya geleyim. Ama ne yazık ki bu, böylesine kısa hacimli olması gereken bir yazı için mümkün değildir. İlk ne zaman aklıma geldi bilemiyorum fakat üçgende yüksekliklerin bir noktada kesişiyor olması beni çok şaşırtmıştı. (Buna açıortayları, kenarortayları, kenar orta dikmeleri de ekleyebiliriz.). Bu nokta diklik merkezi olarak bilinir.

Düşünsenize özel bir üçgenden bahsetmiyoruz. Dar açılı, geniş açılı dik açılı, ya da eşkenar, ikizkenar… bunlardan biri olmak zorunda değil. Herhangi bir üçgen. Burada aklıma Yunan matematiğinin devrimsel nitelikteki matematiğe getirdiği fikir aklıma geldi. İspat!

Yunanlılardan önceki medeniyetlerde Pisagor teoremi biliniyordu. O dönemlerden elimize geçen kil tabletlerde, papirüslerde bunlara rastlamaktayız. O dönem insanları matematiği günlük ihtiyaçları doğrultusunda kullanmayı tercih etmişlerdir. Yani işin nedeniyle ilgilenmemişlerdir. “Neden böyle” sorusunun sorulmadığı bir ortamda tabi ki de ispat fikrinin oluşmadığını söylemek mümkündür.

Yani onlar 3-4-5 üçgenini, 5-12-13 üçgenini pekala biliyorlardı. Ama nedeninden bihaberlerdi. Gerçi onların düşüncesi dönem dönem günümüzde bile varlığını sürdürmektedir. Tabi bu durum bu düşüncenin yanlış olduğu anlamına gelmez.

Ama eksik desek hata da etmiş olmayız kanısındayım. Bir fikrin doğru olmasını yeterli bulmaktansa bununla birlikte neden doğru olduğunun da bilincinde olmak bize çok daha fazla fayda sağlayacaktır. Herhangi bir üçgende yükseklikleri çizmeye başlayalım: a kenarına ait yüksekliği çizelim.

Diklik Merkezini Oluşturalım

Şimdi de b kenarına ait yüksekliği çizelim. Acaba bu iki yükseklik bir noktada kesişir mi? Eğer iki doğru birbirine paralel değilse bunların bir noktada kesişmesi gerektiğini yüzyıllar öncesinden Euclid bize söylemektedir. (Beşinci postulat).

Bunun böyle olması gerektiğini sizde bazı çizimler yaparak görebilirsiniz. Ama bu çizimleri düzlemsel bir yerde yapın. Mesela elinizde bir top veya küremsi bir şey varsa bunda yaptığınızda bunun geçerli olamayacağını iddia edersiniz ki gayet haklısınız. Fakat biz bu çalışmamızı düzlemde yaptığımız için sizin de bu çalışmayı bir kağıt üzerinde yapmanız daha isabetli olacaktır. Devam edelim…

Şimdi asıl şaşırtıcı kısma geldik. C köşesinden c kenarına ait yüksekliği çizdiğimde bu yüksekliğin K noktasında geçeceğini iddia ediyorum! Ve her zaman, üçgen nasıl olursa olsun. Hukukta meşhur bir tabir vardır. “Müddei iddiasını ispatla mükelleftir.” bunu günümüz diline çevirecek olursak “İddia sahibi iddiasını kanıtlamak zorundadır.” Bu resmen matematikçilerin işidir. Hukuk-matematik ilişkisine bir de bu gözle bakmak da fayda var. O zaman bizde iddiamızı ispatla mükellefiz. Başlayalım o vakit:

İddia: Herhangi bir üçgende yükseklikler bir noktada kesişirler.

İspat: İddiamızın resmi bu. ABC üçgeninin üç kenarına ait yükseklikler bir noktada kesişir. A köşesinden [BC] kenarına, B köşesinden [AC] kenarına ve C köşesinden [AB] kenarına paralel doğrular çizildiğinde bu doğruların yeni bir üçgen oluşturduğu görülecektir. Şekildeki eşitlikler, paralelkenarda karşılıklı kenar uzunluklarının eşit olması sebebiyledir.

HIJ üçgenine ait kenar orta dikmeler çizildiğinde bunlar bir noktada kesişecektir. Burada “Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin bir noktada kesişeceği” iddiasında bulunduk. Neydi sihirli cümle “Müddei iddiasını ispatla mükelleftir.” O zaman burada asıl iddiamıza ara verip, ortaya çıkan bu iddiamızı ispatlayalım.

Ara iddia: Bir üçgenin kenar orta dikmeleri bir noktada kesişir.

İspat: [AC] ile [BC] kenarlarının orta dikmeleri G noktasında kesişsinler. Amacımız [AB] kenarına ait orta dikmenin de G noktasından geçeceğini göstermektir. G noktası ile üçgenin köşelerini birleştirelim. AGC üçgeni ile BGC üçgeni ikizkenar üçgen olurlar. Çünkü herhangi bir üçgende bir köşeden indirilen dikme tabanı iki eşit parçaya ayırıyorsa bu üçgen ikizkenar üçgendir. Burada bir iddiada daha bulunduk bunun ispatını size bırakalım. Biz kaldığımız yerden devam edelim. |AG|=|GC| ve |BG|=|GC| dir.

O halde |AG|=|GB| olur. O zaman AGB üçgeni de ikizkenar üçgen olur. Ve G noktasından [AB] kenarına indirdiğimiz dikme tabanı iki eşit parçaya ayırır. Dolayısıyla [AB] kenarına ait orta dikmenin de G noktasından geçmesi gerektiğini göstermiş olduk. Yani iddiamızı ispatladık.

“Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin bir noktada kesişeceği” iddiamızı ispatladığımıza göre asıl iddiamızın ispatına kaldığımız yerden devam edelim.

En son HIJ üçgenine (büyük üçgen) ait kenar orta dikmeler çizildiğinde bunların bir noktada kesişeceğini söylemiştik. Artık bunun doğru olduğunu biliyoruz. [HJ] ve [BC] kenarları birbirine, [IJ] ve [AB] kenarları birbirine ve de [HI] ve [AC] kenarları birbirine paralel olduğunda bunların kesenlerinin aynı tarafta olan açılarının toplamı 180 dir. Burada da yine bir iddia var. Bunun da ispatı size kalsın. Bu bilgiye dayanarak diğer dik açıları yerleştirelim.

Şimdi şekle baktığımızda ABC üçgeninin üç kenarına ait yüksekliklerin de bir noktada kesiştiği görülüyor. O halde asıl olan “herhangi bir üçgende yükseklikler bir noktada kesişir.” iddiamızı ispatlamış olduk.