Metre, cetvel ya da şerit metre kullandığımızda, ölçmeye çalıştığımız nesnenin gerçekten ölçülebilir olup olmadığını hiç sorgulamayız. Matematikçiler de uzun süre uzunluk, alan ve hacim gibi nicelikleri benzer biçimde ele aldılar.
Ancak 19. yüzyılın sonlarına doğru çok daha temel bir soruyla karşı karşıya kaldılar: Bir şeyin ölçülebilir olması tam olarak ne anlama gelir?
İntegraller ve türevler, geometrik şekillerin uzunluklarını, alanlarını ve hacimlerini büyük bir hassasiyetle hesaplamayı mümkün kılmıştı. Fakat matematiğin temelleri daha ayrıntılı biçimde incelenmeye başlanınca, ölçme kavramının kendisinin de açıkça tanımlanması gerektiği fark edildi.
Bu dönemde kümeler kuramı matematiğin temel araçlarından biri hâline geliyordu. Bir doğru parçasını da, bir geometrik şekli de noktalardan oluşan bir küme olarak düşünebiliriz. O hâlde yeni bir soru ortaya çıkıyordu: Bir kümeye uzunluk, alan ya da hacim gibi bir büyüklüğü nasıl atayabiliriz?
Sayı doğrusunda ([0,1]) aralığını düşünelim. Bu aralık sonsuz sayıda reel sayı içerir ama uzunluğu 1’dir. Benzer biçimde ([0,2]) aralığının uzunluğu 2, ([0,a]) aralığının uzunluğu ise (a)’dır.
Fakat matematikçiler bunun yalnızca sezgisel bir kabul olmasını istemiyordu. Ölçünün hangi kurallara uyması gerektiğini açıkça belirlemek gerekiyordu. Örneğin boş kümenin ölçüsü sıfır olmalı, bir küme başka bir yere taşındığında ölçüsü değişmemeli ve birbirinden ayrık parçaların ölçüleri toplandığında bütünün ölçüsü elde edilmeliydi.
İlk bakışta bunların hepsi son derece doğal görünür. Ancak birazdan göreceğimiz gibi, bu basit kuralları her kümeye uygulamak mümkün değildir.
Riemann İntegrali Her Zaman Yeterli Değildir
Bir eğrinin altında kalan alanı hesaplamak istediğimizde akla ilk gelen yöntem integraldir. Riemann integrali, x eksenini küçük aralıklara bölüp bu aralıkların üzerinde dikdörtgenler oluşturarak alanı hesaplar. Düzgün davranan fonksiyonlarda bu yöntem son derece başarılıdır.
Ancak bütün fonksiyonlar bu kadar düzenli değildir. Bazıları öylesine düzensiz davranır ki, x eksenini ne kadar küçük parçalara ayırırsak ayıralım Riemann yöntemiyle anlamlı bir integral elde edemeyiz. Matematikçilerin daha genel bir integral kavramına ihtiyaç duymasının nedeni de buydu.
1902’de Fransız matematikçi Henri Lebesgue, integrale farklı bir açıdan yaklaşan yeni bir yöntem geliştirdi. Riemann integrali, x eksenini küçük aralıklara bölerek ilerler. Lebesgue yaklaşımı ise fonksiyonun aldığı değerlere ve bu değerlerin hangi büyüklükteki kümelerde ortaya çıktığına odaklanır.
Düzgün fonksiyonlarda Riemann ve Lebesgue integralleri aynı sonucu verir. Ancak, Lebesgue integrali çok daha düzensiz fonksiyonları da ele alır. Bu sayede, soyut kümelere de anlamlı ölçüler atanır. Bunun klasik örneklerinden biri Dirichlet fonksiyonudur:
Dirichlet fonksiyonu, Riemann integralinin sınırlarını açık biçimde gösterir. Fonksiyon her aralıkta hem 0 hem de 1 değerini aldığı için Riemann yöntemi burada çalışmaz.
Lebesgue’in yaklaşımı ise farklıdır. Burada önemli olan yalnızca fonksiyonun aldığı değerler değil, bu değerlerin hangi büyüklükteki kümelerde ortaya çıktığıdır. [0,1] aralığında rasyonel sayıların ölçüsü 0 olduğundan, Dirichlet fonksiyonunun Lebesgue integrali de 0 çıkar. Bu örnek, ölçü kavramını integral hesabının merkezine taşır.
Ölçüm Problemi Ortaya Çıkıyor
Lebesgue’in çalışmalarıyla birlikte şu soru önem kazandı: Gerçek sayı doğrusundaki her kümeye tutarlı bir ölçü atamak mümkün mü? Giuseppe Vitali, 1905’te bunun her zaman mümkün olmadığını gösteren şaşırtıcı bir örnek verdi.
Vitali işe [0,1] aralığındaki reel sayılarla başladı. Bu sayıları belirli bir kurala göre gruplara ayırdı: İki sayı arasındaki fark rasyonel ise, bu iki sayı aynı grupta yer alacaktı. Başka bir deyişle, a−b rasyonel olduğunda a ile b aynı sınıfa ait kabul edilir. Bu yöntemle Vitali, [0, 1] aralığını sonsuz sayıda küçük parçaya ayırmış oldu.
Sonraki adımda Vitali, oluşturduğu her gruptan yalnızca bir tane sayı seçti ve yeni bir küme içinde topladı. Bu kümeye V kümesi adını verdi. Ardından V kümesini, –1 ile 1 arasındaki bir rasyonel sayı p kadar kaydırdı ve bu yeni kümeyi Vp = V + p olarak tanımladı. Bu durumda
- Eğer p = –1 olursa, V kümesi 1 birim sola kayar ve yaklaşık [–1, 0] arasına gelir.
- Eğer p = 1 olursa, 1 birim sağa kayar ve yaklaşık [1, 2] arasına gelir.
Bu kümelerin hepsini birleştirince ortaya V* adlı yeni bir küme çıktı. Bu küme [–1, 2] aralığında kalıyor, yani uzunluğu en fazla 3 birim olmalıdır. Aynı zamanda [0, 1] aralığını da kapsadığı için en az 1 birim uzunluğundadır. Bu yüzden ölçüsü 1 ile 3 arasında bir yerde olur.
Vitali kümesi bize oldukça şaşırtıcı bir şey gösterir: Bir kümenin sayı doğrusu üzerinde belirli bir aralıkta yer alması, onun mutlaka bir uzunluğa sahip olduğu anlamına gelmez.
Neden Vitali Kümesine Bir Ölçü Atayamıyoruz?
Şimdi V kümesinin bir ölçüsü olduğunu varsayalım ve bu ölçüye m diyelim. Bir kümeyi sağa ya da sola kaydırmak ölçüsünü değiştirmediği için, V’nin bütün rasyonel kaydırmalarının ölçüsü de m olacaktır. Şİmdi toplam uzunluğu bulmak için bu kaydırılmış kümelerin uzunluklarını toplayalım.
Eğer V kümesinin uzunluğu 0 ise, bütün kaydırılmış kopyalarının uzunluğu da 0 olur. Ancak bu kümelerin birleşimi [0,1] aralığının tamamını kapsıyor. Uzunluğu 1 olan bir aralığı kapsayan bir kümenin toplam uzunluğu 0 olamaz. Demek ki V’nin uzunluğu 0 olamaz.
Peki V’nin uzunluğu sıfırdan büyük olsun. Bu kez aynı pozitif uzunluğu sonsuz sayıda toplamak zorunda kalırız. Böyle bir toplam sonsuza gider. Fakat bütün bu kaydırılmış kümelerin birleşimi [−1,2] aralığının dışına çıkmıyor. Bu aralığın uzunluğu yalnızca 3’tür. Dolayısıyla onun içinde kalan bir kümenin uzunluğu sonsuz olamaz. Bu durumda V’nin uzunluğu pozitif de olamaz.
Böylece iki olasılık da imkânsız hâle gelir: V’nin ölçüsü ne 0 olabilir ne de pozitif bir sayı olabilir. Sorun tam olarak budur. Vitali kümesine, alıştığımız uzunluk kurallarını koruyarak bir ölçü atayamayız.
Sonuç Olarak
Vitali kümesi, sayı doğrusundaki her kümeye alıştığımız biçimde bir uzunluk atayamayacağımızı gösterir. Bir kümenin belirli bir aralık içinde yer alması, onun mutlaka ölçülebilir olduğu anlamına gelmez.
Benzer ölçülemez kümeler daha yüksek boyutlarda da oluşturulabilir. Ancak bunlar günlük hayatta karşılaştığımız geometrik şekiller değildir; özel matematiksel yöntemlerle inşa edilirler.
Asıl önemli sonuç şudur: Ölçü kavramını bütün kümelere, aynı temel kuralları koruyarak genişletmek mümkün değildir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Solovay, Robert. (1970). A Model of Set Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable. Annals of Mathematics. Second Series. 92. 10.2307/1970696.
- Mathematicians Explain Why Some Lengths Can’t Be Measured. Kaynak site: Scientific Americaç Yayınlanma tarihi: 18 Nisan 2024. Bağlantı: Mathematicians Explain Why Some Lengths Can’t Be Measured.
