Bütün çapları eşit çıkan kapalı bir eğri, mutlaka daire olmak zorunda değildir. Daire, sabit genişlikli eğrilerin en bilinen örneğidir; Reuleaux üçgeni ise daire olmayan örneklerin en tanınmışıdır.
Bu şekil adını, 19. yüzyılda yaşamış Alman mühendis Franz Reuleaux’dan alır. Sanayi çağının öne çıkan mühendis-bilim insanlarından biri olan Reuleaux, makinelerin hareketini sistemli biçimde inceleyen çalışmaları nedeniyle “modern kinematiğin babası” olarak anılmıştır.
Bugün ise adı en çok, kenarları çember yaylarından oluşan ve her yönde aynı genişliği koruyan bu sıra dışı şekille yaşamaktadır
Reuleaux Üçgeni Nedir?
Reuleaux üçgeni, bir eşkenar üçgenin köşeleri merkez alınarak çizilen üç çember yayından oluşur. Pergelin açıklığı üçgenin bir kenar uzunluğuna eşitlenir. Ardından her köşe merkez alınarak diğer iki köşeyi birleştiren bir yay çizilir. Düz kenarlı üçgen ortadan kaldırıldığında geriye, köşeleri sivri fakat kenarları dışarı doğru kavisli bir şekil kalır.
İlk bakışta bu biçim bir üçgene benzese de geometrik davranışı üçgenden çok farklıdır. Onu özel kılan, hangi yönden ölçülürse ölçülsün genişliğinin değişmemesidir.
Bir şeklin genişliğini ölçmek için ona iki taraftan değen paralel doğrular çizdiğimizi düşünelim. Sıradan bir üçgende bu doğrular arasındaki uzaklık, şeklin yönüne göre değişir. Reuleaux üçgeninde ise doğrular hangi açıyla yerleştirilirse yerleştirilsin aralarındaki mesafe aynı kalır. Bu nedenle Reuleaux üçgeni, sabit genişlikli bir eğridir.
Bunun nedeni şeklin çiziminde gizlidir. Paralel doğrulardan biri Reuleaux üçgeninin bir köşesine değdiğinde diğeri, merkezi o köşe olan karşıdaki çember yayına temas eder. Köşe ile yay arasındaki uzaklık her zaman çemberin yarıçapına eşit olduğundan toplam genişlik de değişmez.
Sabit genişlik özelliği, Reuleaux üçgeninin düz bir yüzey üzerinde yuvarlanabilmesini sağlar. Ancak bu, onun daire gibi kusursuz bir tekerlek olduğu anlamına gelmez.
Dairesel bir tekerleğin merkezi, hareket boyunca yerden sabit yükseklikte kalır. Reuleaux üçgeninde ise geometrik merkez aşağı yukarı hareket eder. Dolayısıyla şeklin merkezine bağlanan bir mil düzgün ilerlemez; her tam dönüşte üç kez yükselip alçalır.
Reuleaux üçgeninin çevresi, üç eş çember yayından oluşur. Her yay 60 derecelik bir çember parçasıdır. Bu nedenle genişliği (s) olan bir Reuleaux üçgeninin çevresi πs olur. İlginç olan, çapı (s) olan bir dairenin çevresinin de aynı değere sahip olmasıdır.
Alanlar ise aynı değildir. Aynı genişliğe sahip sabit genişlikli şekiller arasında daire en büyük alana sahiptir. Reuleaux üçgeni ise en küçük alana sahip şekildir. Genişliği (s) olan bir Reuleaux üçgeninin alanı ((π − √3) / 2) × s² formülüyle hesaplanır.
Günlük Hayatımızda Reuleaux Üçgeni
Reuleaux üçgeninin özelliklerinden çeşitli mekanik tasarımlarda yararlanılmıştır. Bunların en bilinenlerinden biri, kareye yakın delikler açabilen özel matkap uçlarıdır. Matkap ucu dönerken Reuleaux üçgenine benzer bir yol izler ve dairesel bir matkaba göre köşelere çok daha fazla yaklaşır.
Bazı eski film projektörlerinde de benzer bir mekanizma kullanılmıştır. Dönen hareketin belirli aralıklarla duraklayan ileri harekete dönüştürülmesi, film karelerinin ekranda kısa süre sabit kalmasını sağlamıştır.
Şekle bazı gitar penalarında ve kurşun kalemlerin kesitlerinde de rastlanır. Reuleaux üçgeni biçimindeki pena üç yönden de kullanılabilir. Benzer kesite sahip kalemler ise masadan kolayca yuvarlanmaz ve elde rahat tutulur.
Reuleaux üçgenine benzer biçimler hem tarihî hem de modern mimaride karşımıza çıkar. Taş ustaları bu formu kimi zaman süsleme ayrıntılarında kullanmış, kimi zaman da pencere ve kapı açıklıklarına uygulamıştır.
Bu zarif eğri Leonardo da Vinci’nin de ilgisini çekmişti. Notları arasında, Dünya yüzeyini sekiz parçaya ayırdığı ve her parçayı Reuleaux üçgenine benzer bir yüzey üzerine aktardığı bir harita taslağı vardır.
Reuleaux üçgeninin sıra dışı özellikleri, onu yalnızca matematiksel açıdan değil, günlük kullanım bakımından da ilginç kılar. Sabit genişliği, üç yönde kullanılabilen simetrik yapısı ve köşeli görünümüne rağmen yuvarlanabilmesi, bu şeklin mimariden mekanik tasarıma kadar pek çok alanda değerlendirilmesini sağlamıştır.
Ek Okuma: Matematikçiler Tekerleği Yeniden İcat Ederek Onlarca Yıllık Bir Problemi Çözdü
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Arman, Andrii & Bondarenko, Andriy & Nazarov, Fedor & Prymak, Andriy & Radchenko, Danylo. (2024). Small volume bodies of constant width.
- Shape with constant width irrespective of dimensions amazes mathematicians. Yayınlanma tarihi: 21 Haziran 2024. Bağlantı: Shape with constant width irrespective of dimensions amazes mathematicians
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
