MATEMATİK

Rastlantıların Hesaplanması: Doğum Günü Paradoksu

Matematik bilmeyenlerin en büyük özelliği rastlantıların oluşma sıklığının çok az sanma eğilimi göstermeleridir. Doğum günü paradoksu buna iyi bir örnektir…

***

Chicago’daki Sears Binasının yüksekliğinin New York’taki Woolworth Binasının yüksekliğine oranıyla, bir protonun kütlesinin bir elektron kütlesine oranını gösteren sayıların rakamları aynıdır. (1.816 ya karşılık 1.816).

Bunun ardında bir gizem var mıdır? Elbette hayır sadece rastlantı…

Zaman içinde, hayat öyle böyle devam ederken bir çok rastlantının doğal olarak oluşması hiç şaşırtıcı değildir. – Plutarch

Matematik bilmeyenlerin en büyük özelliği rastlantıların oluşma sıklığının çok az sanma eğilimi göstermeleridir.

Rastlantıların şaşırtıcılığı aşağıdaki ünlü olasılık sorusunda görülür…

SORU: Bir odadaki insanlardan en az ikisinin doğum günlerinin aynı olma olasılığının yüzde elliden fazla olması için odada en az kaç kişi bulunmalıdır?

Standart bir yılda 365 gün olduğuna göre (işleri karıştırmamak için artık-yılları görmeyelim), salonda 366 kişi olursa en az iki tanesinin doğum günü kesinlikle aynı olur. Şöyle düşünün, sonuçta kötü şans 365 kişi farklı günlerde doğmuş olsa bile son katılan kişi mutlaka birisi ile eşleşecektir.

Ancak kişi sayısını azaltınca işler ilginçleşmeye başlar…

Kulağa inanılmaz gelse de, odada 57 kişi var ise ikisinin doğum gününün aynı olma olasılığı %99’dur. Yani neredeyse kesin!

Fakat gerçek cevap bundan daha da şaşırtıcı…

Olasılığın %50’den fazla olması için gereken kişi sayısı 23’tür.

Başka bir deyişle, rastgele seçilen 23 kişinin içerisinde, kesin % 50 olasılıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacaktır.

Şimdi nereden çıktı bu 23 diyebilirsiniz, anlatmaya çalışalım…

Hiç artık yıl olmadığını, odada hiç ikiz olmadığını ve doğum günlerinin düzgün dağıldığını varsayılım.

Doğum günlerinin aynı olması için bize bir çift insan lazım. Ardından olası çift sayısını göz önüne almalıyız.

Örneğin odada 3 kişi var ise ( A,B,C) incelememiz gereken A-B, A-C,B-C çiftleri olacaktır. Dört kişi için incelememiz gereken altı çift vardır.

Matematikte bunu hesaplamak için kombinasyon formülü kullanırız. Bu durumda 23 kişi ile C(23,2)=23×22/2 hesabını yaparsak 253 farklı çift elde ederiz.

253 farklı çiftten birinin ortak doğum günü paylaşıyor olması akla şimdi daha yatkın geliyor elbette.

Şimdi bu 23’ün nereden çıktığını açıklayalım…

Olasılığı hesaplarken işi basitten tutalım, önce bir çiftle başlayalım. Ancak kişi sayısını arttırdıkça, iki kişinin aynı doğum günü paylaşma değil, paylaşmama olasılığına bakacağız.

Örneğin, ikinci kişinin ilk kişiden doğum gününün farklı olma ihtimali 364/365 çünkü bir gün hariç 364 günden herhangi birinde doğmuş olabilir. Üçüncü bir kişinin doğum gününün bu ikisinden farklı olma ihtimali 363/365 olur bu mantıkla.

Üçünün doğum günlerinin farklı olma ihtimali ise bu iki ikilinin çarpımı kadardır çünkü olasılık kuramında iki farklı olayın birlikte olma olasılığını hesaplarken ikisinin olasılıklarını çarparız.

(364/365) . (363/365) = 0,9918

Bu mantığı 4, 5, 6, … kişi için sürdürürsek doğum günü probleminin gizemini çözebiliriz.

23’üncü kişiye geldiğimizde kimsenin doğum gününün aynı olmama ihtimali için hesap makinemizde 0,4927 sayısını görürüz. Bunun tersi, yani “en az iki kişinin doğum günün aynı olma ihtimali ise 1- 0,4927=0,5073 kadardır ki bu sayı yüzde 50 den büyüktür.

Evet, herhangi ortak bir doğum günü bulunmasının % 50 kesinlik kazanması için en az 23 kişinin bulunması gerekir ancak bu belirli doğum günleri, örneğin 19 Mart, için geçerli değildir.

19 Mart gibi belirli bir doğum gününün gruptan birinin doğum günü olmasından % 50 emin olabilmek için daha büyük bir grup, tam bir sayı vermek gerekirse 254 kişi gerekir.

Bu son gerçek şöyle elde edilir: Gruptan bir kişinin doğum gününün 19 Mart olmama olasılığı 364/365 olduğu için ve doğum günleri bağımsız olduğu için iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı 364/365 x 364/365’tir.

Yani N kişinin 19 Martta doğmuş olmama olasılığı N tane (364/365)in birbiri ile çarpımıdır ki burada N=253 olduğunda sonuç yaklaşık 1/2’dir.

Böylece bu 254 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayan olasılığı 1/2 ya da % 50’dir.

Dünya inanılmaz rastlantılarla doludur. Bu rastlantıların olasılıklarını hesaplama yöntemlerini ise bize matematik sunar. Klasik doğum günü problemi bu anlamda buzdağının görünen kısmıdır olsa olsa…

Kaynak:

https://betterexplained.com/articles/understanding-the-birthday-paradox/

John Alien Paulos – Herkes İçin Matematik, syf: 46-50

Tonny Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri, syf: 133-135

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı