Rastlantıların Hesabı: Doğum Günü Problemi

Bazen öyle tesadüfler olur ki şaşırır ve arka planda neler olup bittiğini anlamaya çalışırız. Örneğin bir kişi arka arkaya iki kere piyangoda büyük ikramiyeyi kazanır. Ya da aynı sayılar farklı yerlerde karşımıza sık olarak çıkar. Çoğu zaman bu tarz hikayeler medya için ilgi çekicidir ve bu durumlardan bazı sonuçlar çıkarır. Ancak gerçek şu ki, matematik bilmeyenlerin en büyük özelliği rastlantıların oluşma sıklığını yanlış anlama eğilimidir. İşte bu durum bir paradoks olmasa da o şekilde anılan doğum günü probleminin temelini oluşturur.

Şimdi sizlere uzman olmayan kişileri olasılığın gücü konusunda ikna etmenin en iyi yollardan birini aktaralım. Varsayalım ki 35 öğrencisi olan bir sınıf içindesiniz. İki sı­nıf arkadaşının doğum günlerinin (yalnızca ay ve gün) aynı olma şansının (ya da olasılığının) ne kadar olduğunu düşünü­yorsunuz?

Rasgele kişilerin davetli olduğu bir partiye katılırsanız, iki kişinin aynı günde doğmuş olma şansı nedir?

Yılda 365 gün olduğu için bu olasılık ilk bakışta pek de yüksek görünmüyor. Ancak bu doğru değil. Bir gruptaki iki kişinin bir doğum gününü paylaşma olasılığı oldukça yüksektir. Aslında, sadece 35 kişilik bir grupta, bu oran yaklaşık % 80’dir. Kulağa inanılmaz gelse de, odada 57 kişi var ise ikisinin doğum gününün aynı olma olasılığı yaklaşık %99’dur. Bu nasıl olabildi diyorsanız okumaya devam ediniz. Merakınızı gidermek için durumu ayrıntılarıyla incelece­ğiz.

Standart bir yılda 365 gün olduğuna göre (işleri karıştırmamak için artık yılları görmeyelim), salonda 366 kişi olursa en az iki tanesinin doğum günü kesinlikle aynı olur. Şöyle düşünün. Sonuçta kötü şans 365 kişi farklı günlerde doğmuş olsun. Yine de son katılan kişi mutlaka birisi ile eşleşecektir. Ancak kişi sayısını azaltınca işler ilginçleşmeye başlar.

Doğum Günü Problemi Çözümü

Aslında 23 kişilik bir grubunuz varsa, en az iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı %50’dir. Şimdi bunun nasıl olduğunu anlamaya çalışalım. Hiç artık yıl olmadığını, sınıfta hiç ikiz olmadığını ve doğum günlerinin düzgün dağıldığını varsayalım.

Doğum günlerinin aynı olması için bize bir çift insan lazım. Ardından olası çift sayısını göz önüne almalıyız. Örneğin odada 3 kişi var ise ( A,B,C) incelememiz gereken A – B, A – C ve B – C çiftleri olacaktır. Dört kişi için incelememiz gereken altı çift vardır. Matematikte bunu hesaplamak için kombinasyon formülü kullanırız. Bu durumda 23 kişi ile C(23 , 2)=23 x 22/2 hesabını yaparsak 253 farklı çift elde ederiz. 253 farklı çiftten birinin ortak doğum günü paylaşıyor olması akla şimdi daha yatkın geliyor elbette.

Az evvel 23 kişinin içerisinde, kesin % 50 olasılıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacağını söylemiştik.

Olasılığı hesaplarken işi basitten tutalım, önce bir çiftle başlayalım. Ancak kişi sayısını arttırdıkça, iki kişinin aynı doğum günü paylaşma değil, paylaşmama olasılığına bakacağız. Örneğin, ikinci kişinin ilk kişiden doğum gününün farklı olma ihtimali 364/365 olacaktır. Sonucunda belli bir gün hariç 364 günden herhangi birinde doğmuş olabilir.

Üçüncü bir kişinin doğum gününün bu ikisinden farklı olma ihtimali 363/365 olur bu mantıkla. Üçünün doğum günlerinin farklı olma ihtimali ise bu iki ikilinin çarpımı kadardır. Çünkü olasılık kuramında iki farklı olayın birlikte olma olasılığını hesaplarken ikisinin olasılıklarını çarparız. (364/365) . (363/365) = 0,9918

Gruptaki İnsan sayısı İle Doğum Gününün Çakışması Arasındaki İlişki

Olasılık fonksiyonun do­ğasını incelemek isteyebilirsiniz. İşte size rehberlik etmesi için birkaç değer.

Bu mantığı 4, 5, 6, … kişi için sürdürürsek doğum günü probleminin gizemini çözebiliriz. 23’üncü kişiye geldiğimizde kimsenin doğum gününün aynı olmama ihtimali için hesap makinemizde 0,4927 sayısını görürüz. Bunun tersi, yani “en az iki kişinin doğum günün aynı olma ihtimali ise 1- 0,4927=0,5073 kadar olacaktır. Sonuçta bu sayı yüzde 50 den büyüktür.

Evet, herhangi ortak bir doğum günü bulunmasının % 50 kesinlik kazanması için en az 23 kişinin bulunması gerekir. Ancak bu belirli doğum günleri, örneğin 19 Mart, için geçerli değildir. 19 Mart gibi belirli bir doğum gününün gruptan birinin doğum günü olmasından % 50 emin olabilmek için daha büyük bir grup, tam bir sayı vermek gerekirse 254 kişi gerekecektir.

Bu son gerçek şöyle elde edilir. Gruptan bir kişinin doğum gününün 19 Mart olmama olasılığı 364/365 olduğu için ve doğum günleri bağımsız olduğu için iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı 364/365 x 364/365’tir. Yani N kişinin 19 Martta doğmuş olmama olasılığı N tane (364/365)in birbiri ile çarpımıdır. Burada N=253 olduğunda sonuç yaklaşık 1/2’dir. Böylece bu 254 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayan olasılığı 1/2 ya da % 50’dir.

Dünya inanılmaz rastlantılarla doludur. Bu rastlantıların olasılıklarını hesaplama yöntemlerini ise bize matematik sunar. Gördüğünüz gibi, yukarıdaki şaşırtıcı sonuçlar, sezgileri­mize güvenmenin o kadar da iyi bir şey olmadığı konusunda gözlerimizi açmaktadır.



Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz