Rastlantıların Hesaplanması: Doğum Günü Problemi

Zaman içinde, hayat öyle böyle devam ederken bir çok rastlantının doğal olarak oluşması hiç şaşırtıcı değildir.
— Plutarch

Chicago’daki Sears Binasının yüksekliğinin New York’taki Woolworth Binasının yüksekliğine oranıyla bir protonun kütlesinin bir elektron kütlesine oranını gösteren sayıların rakamları aynıdır. (1.816 ya karşılık 1.816).

Bunun ardında bir gizem var mıdır? Elbette hayır sadece rastlantı…

Matematik bilmeyenlerin en büyük özelliği rastlantıların oluşma sıklığının çok az sanma eğilimi göstermeleridir. Bu gibi kişiler her türlü rastlantıya büyük önem verirken oldukça kesin fakat daha az gösterişli istatistiki delillere çok daha az önem verirler.

Rastlantıların şaşırtıcılığı aşağıdaki ünlü olasılık sorusunda görülür…

Bir salonda kaç kişi olmalı ki en az ikisinin doğum gününün aynı olması kesin olsun?

Standart bir yılda 365 gün olduğuna göre (işleri karıştırmamak için artık-yılları görmeyelim), salonda 366 kişi olursa en az iki tanesinin doğumgünü kesinlikle aynı olur. Şöyle düşünün, sonuçta kötü şans 365 kişi farklı günlerde doğmuş olsa bile son katılan kişi mutlaka birisi ile eşleşecektir.

Ya % 50 emin olmakla yetinseydik?

Bir grupta doğum günleri aynı olan iki kişinin bulunma ihtimalinin yukarıdakinin yarısı olabilmesi için grupta kaç kişinin bulunması gerekir. İlk tahmininiz 183 olabilir, 365’in yaklaşık yarısı, fakat şaşırtıcı cevap, grupta sadece 23 kişinin olması gerektiğidir.

Başka bir deyişle, rastgele seçilen 23 kişinin içerisinde, kesin % 50 olasılıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacaktır.

Şimdi nereden çıktı bu 23 diyebilirsiniz, anlatmaya çalışalım…

Gelişigüzel bir insan seçelim. Başka birinin bu kişiyle aynı doğum gününe sahip olma ihtimali 1/365’tir. Dolayısıyla doğum günlerinin farklı olma ihtimali 364/365 olur. Üçüncü bir kişinin doğum gününün bu ikisinden biriyle aynı olma ihtimali 2/365, farklı olma ihtimali 363/365 olur. Üçünün doğum günlerinin farklı olma ihtimali ise bu iki ikilinin çarpımı kadardır.

(364/365) . (363/365) = 0,9918

Bu mantığı 4, 5, 6, … kişi için sürdürürsek doğum günü probleminin gizemini çözebiliriz. 23’üncü kişiye geldiğimizde kimsenin doğum gününün aynı olmama ihtimali için hesap makinemizde 0,4927 sayısını görürüz. Bunun tersi, yani “en az iki kişinin doğumgünün aynı olma ihtimali ise

1- 0,4927=0,5073 kadardır ki bu sayı yüzde 50 den büyüktür.

Evet, herhangi ortak bir doğum günü bulunmasının % 50 kesinlik kazanması için en az 23 kişinin bulunması gerekir ancak bu belirli doğum günleri, örneğin 19 Mart, için geçerli değildir.

19 Mart gibi belirli bir doğum gününün gruptan birinin doğum günü olmasından % 50 emin olabilmek için daha büyük bir grup, tam bir sayı vermek gerekirse 254 kişi gerekir.

Bu son gerçek şöyle elde edilir: Gruptan bir kişinin doğum gününün 19 Mart olmama olasılığı 364/365 olduğu için ve doğum günleri bağımsız olduğu için iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı 364/365 x 364/365’tir.

Yani N kişinin 19 Martta doğmuş olmama olasılığı N tane (364/365)in birbiri ile çarpımıdır ki burada N=253 olduğunda sonuç yaklaşık 1/2’dir.

Böylece bu 254 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayan olasılığı 1/2 ya da % 50’dir.

Dünya inanılmaz rastlantılarla doludur. Bu rastlantıların olasılıklarını hesaplama yöntemlerini ise bize matematik sunar. Klasik doğum günü problemi bu anlamda buzdağının görünen kısmıdır olsa olsa…

Kaynak:

John Alien Paulos – Herkes İçin Matematik, syf: 46-50

Tonny Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri, syf: 133-135

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Avatar
Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın!

Futbol Topunun Matematiksel Sırları: Top Yuvarlak Değildir

Hemen her gün siyaset, politika, ya da spor içerikli yazılarda “top yuvarlaktır” ifadesi ile karşılaşırız. …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.