Basit bir fikri asla küçümsemeyin çünkü bu fikirlerin bazen geniş kapsamlı etkileri olabilir. Böyle bir fikir için verilebilecek bir örnek, ilk olarak 1834’te Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) tarafından formüle edilen güvercin yuvası ilkesidir.
Sayı sayma fikri size oldukça basit gelse de aslında bakarsanız saymanın bilimsel olarak ele alınması nispeten yeni bir oluşumdur. Kriptografi, kodlama teorisi, kuyruk teorisi ve teorik bilgisayar bilimi, çeşitli sayma tekniklerini kullanır.
Sayma teorisinin ilk ustalarından biri başta da dediğimiz gibi Peter Gustav Lejeune Dirichlet’ti. Ve başlıca sayma tekniklerinden biri, orijinal olarak “Dirichletscher Schubfachschluss” (Dirichlet’in çekmece kapatma ilkesi) olarak adlandırılan tekniktir. Güvercinler işin içine daha sonradan karıştı. Aslında bu ilke bugünkü haline 1940 yılında matematikçi Raphael M. Robinson’ın çalışmaları sonucunda geldi.
Güvercin Yuvası İlkesi Nedir?
Matematiksel bir kavram olmasına rağmen Güvercin yuvası ilkesi günlük hayatımızda bir çok ilginç biçimde karşımıza çıkar. Örneklere geçmeden önce kısaca tanımı verelim. Üç güvercin yuvanız ve dört güvercininiz olduğunu düşünelim. Tüm güvercinlerin bir güvercin yuvasına girmesi gerekiyor. Bu durumda elbette bir güvercin yuvasında birden fazla güvercin bulunmalıdır.
Mantığa tamamen uygun. Bu durumda da bunun matematik ile ne ilgisi var diyebilirsiniz. Neticede bu, sağduyuyla tamamen uyumlu, üzerine birazcık kafa yoran herkesin ulaşabileceği bir sonuç. Ancak yanlış düşünüyorsunuz.
İlkeyi özellikle güvercinlere atıfta bulunmadan daha genel bir şekilde yazmak istersek N kümemiz ve M nesnemiz var. M kümesi, N kümesinden büyükse, kümelerden biri en az iki nesne içerecektir.
Güvercin Yuvası İlkesi İle İlgili Örnekler
Bu basit prensibi güvercin ve yuva özelinden çıkarıp çok geniş alanlarda işletebiliriz. Çok basit ve kolayca kavranabilir bir kavram olmasına rağmen, güvercin yuvası ilkesi, aşikar olmaktan uzak gerçekleri kanıtlayacak kadar güçlüdür.
Örneğin Georg Cantor’un (1845-1918), araştırmalarında güvercin yuvası ilkesini dolaylı olarak kullandığı bilinmektedir. Bir anlamda temel sayma argümanlarından biri olan güvercin yuvası ilkesi, örneğin aşağıdaki gibi ifadeleri kanıtlamamıza izin verir:
Örneğin, 8 kişinin bir odada toplandığını düşünün. Bu gruptan en az ikisinin doğum günü haftanın aynı gününe denk gelecektir. Bunu en az 13 kişinin olduğu bir grupta doğum aylarını kıyaslayarak da görebilirsiniz.
Bir örnekle devam edelim. 1 ile 200 aralığında 101 tane sayı seçin.. Bu sayılar arasında muhakkak öyle iki sayı vardır ki biri diğerini tam böler. Burada “muhakkak” kelimesi önemlidir çünkü güvercin yuvası prensibi ile bu kesinliği sağlarız.
Şöyle: Herhangi bir tam sayı; n tam sayı, a tek tam sayı olmak üzere 2𝑛. 𝑎 formunda yazılabilir. 1 ile 200 aralığında a sayısı 1, 3, 5,…, 199 sayılarından biri olabilir. Verilen aralıkta 101 sayı seçilince bu kümedeki iki sayının a çarpanları kesinlikle aynı olacaktır. Böylece bu iki sayı birbirine tam bölünecektir.
Güvercin Yuvası İlkesini İnceleyelim
Bu ilkeyi fonksiyonlar ile gösterirsek arka planda neler olup bittiğini daha iyi anlayabiliriz. Aşağıdaki kümelerde güvercinler (n) f fonksiyonu aracılığı ile güvercin deliklerine (f(n)) taşınsınlar. Bu durumda karşımıza aşağıdaki seçenekler çıkacaktır. Aşağıda gördüğünüz ilk fonksiyon eşlemesi Güvercin yuvası ilkesinin özünü bizlere göstermektedir.
Güvercin yuvası prensibi hem matematiksel teorem ispatlarında hem de güvercin yerleştirmek gibi matematik ile direkt bağlantısı olmadığını sandığımız bir çok yerde karşımızda arz-ı endam ediyor. Sanırım matematik hiçbir zaman hayattan kopuk değil, aksine tam da içinde.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The Pigeonhole Principle; tps://www.math.ust.hk
- 16 fun applications of the pigeonhole principle; yayınlanma tarihi: 25 Kasım 2018; Bağlantı: https://mindyourdecisions.com
- The Pigeonhole principle; Yayınlanma tarihi: 23 Ağustos 2019; Bağlantı: https://www.cantorsparadise.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
