Uygulamalı Matematik

Basit Ama Etkili: Güvercin Yuvası İlkesi

Basit bir fikri asla küçümsemeyin çünkü bu fikirlerin bazen geniş kapsamlı etkileri olabilir. Böyle bir fikir için verilebilecek bir örnek, ilk olarak 1834’te Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) tarafından formüle edilen güvercin yuvası ilkesidir. Güvercin yuvası ilkesi ilk ortaya konduğunda çekmece/raf sorunu olarak biliniyordu. Güvercinler işin içine daha sonradan karıştı. Aslında bu ilke bugünkü haline 1940 yılında matematikçi Raphael M. Robinson’ın çalışmaları sonucunda geldi.

Matematiksel bir kavram olmasına rağmen Güvercin yuvası ilkesi günlük hayatımızda bir çok ilginç biçimde karşımıza çıkar. Örneklere geçmeden önce kısaca tanımı verelim. Üç güvercin yuvanız ve dört güvercininiz olduğunu düşünelim. Tüm güvercinlerin bir güvercin yuvasına girmesi gerekiyor. Bu durumda elbette bir güvercin yuvasında birden fazla güvercin bulunmalıdır.

Mantığa tamamen uygun. Bu durumda da bunun matematik ile ne ilgisi var diyebilirsiniz. Neticede bu, sağduyuyla tamamen uyumlu, üzerine birazcık kafa yoran herkesin ulaşabileceği bir sonuç. Ancak yanlış düşünüyorsunuz. İlkeyi özellikle güvercinlere atıfta bulunmadan daha genel bir şekilde yazmak istersek N kümemiz ve M nesnemiz var. M kümesi, N kümesinden büyükse, kümelerden biri en az iki nesne içerecektir.

İşte size güzel bir örnek: Bu siteyi okuyan kişilerden en az ikisi kesinlikle aynı günde doğmuştur. Sonuçta 366 olası doğum günü vardır (29 Şubat dahil) ve bu web sitesinin muhtemel 367’den fazla okuyucusu var. ( Umarız) Bu nedenle iki okuyucu kesinlikle aynı doğum gününü paylaşmak zorundadır.

Güvercin Yuvası İlkesi İle İlgili Örnekler

Bu basit prensibi güvercin ve yuva özelinden çıkarıp çok geniş alanlarda işletebiliriz. Çok basit ve kolayca kavranabilir bir kavram olmasına rağmen, güvercin yuvası ilkesi, aşikar olmaktan uzak gerçekleri kanıtlayacak kadar güçlüdür. Örneğin Georg Cantor’un (1845-1918), araştırmalarında güvercin yuvası ilkesini dolaylı olarak kullandığı bilinmektedir. Bir anlamda temel sayma argümanlarından biri olan güvercin yuvası ilkesi, örneğin aşağıdaki gibi ifadeleri kanıtlamamıza izin verir:

Örneğin, 8 kişinin bir odada toplandığını düşünün. Bu gruptan en az ikisinin doğum günü haftanın aynı gününe denk gelecektir. Bunu en az 13 kişinin olduğu bir grupta doğum aylarını kıyaslayarak da görebilirsiniz.

Bir örnekle devam edelim. 1 ile 200 aralığında 101 tane sayı seçin.. Bu sayılar arasında muhakkak öyle iki sayı vardır ki biri diğerini tam böler. Burada “muhakkak” kelimesi önemlidir çünkü güvercin yuvası prensibi ile bu kesinliği sağlarız. Şöyle: Herhangi bir tam sayı; n tam sayı, a tek tam sayı olmak üzere 2𝑛. 𝑎 formunda yazılabilir. 1 ile 200 aralığında a sayısı 1, 3, 5,…, 199 sayılarından biri olabilir. Verilen aralıkta 101 sayı seçilince bu kümedeki iki sayının a çarpanları kesinlikle aynı olacaktır. Böylece bu iki sayı birbirine tam bölünecektir.

10 siyah ve 10 beyaz çorabınız varsa ve rastgele çorap seçiyorsanız, eşleşen bir çift bulmak için yalnızca üç tane seçmeniz gerekir. Bu durumda, en az ikisi kesinlikle aynı renkte olacaktır.

Güvercin Yuvası İlkesini İnceleyelim

Bu ilkeyi fonksiyonlar ile gösterirsek arka planda neler olup bittiğini daha iyi anlayabiliriz. Aşağıdaki kümelerde güvercinler (n) f fonksiyonu aracılığı ile güvercin deliklerine (f(n)) taşınsınlar. Bu durumda karşımıza aşağıdaki seçenekler çıkacaktır. Aşağıda gördüğünüz ilk fonksiyon eşlemesi Güvercin yuvası ilkesinin özünü bizlere göstermektedir.

1.Güvercin yuvalarından daha fazla güvercin |n| > |f(n)|. 2: Güvercin yuvalarıyla aynı sayıda güvercin |n| = |f(n)|. 3: Güvercinlerden daha fazla güvercin yuvası |n| < |f(n)|

Güvercin yuvası prensibi hem matematiksel teorem ispatlarında hem de güvercin yerleştirmek gibi matematik ile direkt bağlantısı olmadığını sandığımız bir çok yerde karşımızda arz-ı endam ediyor. Sanırım matematik hiçbir zaman hayattan kopuk değil, aksine tam da içinde.

Kaynaklar:

Matematiksel

Rumeysa Aslıhan Ertürk

Vefa Lisesi 143. dönem mezunu, İTÜ Bilgisayar Mühendisliği anadal, Fizik bölümü yandal öğrencisi. Küçük yaşlarda bilimin büyülü dünyası başını döndürmüş olacak ki tüm hayallerini onun peşinden koşmak üzerine kurdu. Cehaletin mutluluk olduğuna inanmadığı gibi bilmekten ve öğrendiklerini paylaşmaktan çok keyif alıyor. Okuyucusuna keyifli dakikalar dilerken kendilerinin olumlu veya olumsuz görüşlerini de dört gözle bekliyor.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu