Güvercin Yuvası Prensibi

Güvercin yuvası ilkesi, matematikte teorem ispatlarında sıkça kullanılmasının yanı sıra günlük hayatımızda bizi bir çok ilginç olgularla karşılaştırmakta…

Eğer 3 güvercininiz ve onları yerleştirebileceğiniz 2 yuvanız varsa en az ikisinin, siz yeni bir yuva alana kadar, oda arkadaşı olması gerekir (Tabii eğer hayvan sevgisinden yoksunsanız hepsini bir yuvaya da koyabilirsiniz ama matematik bununla ilgilenmez. Şimdilik…).

Bunun matematiksel bir prensip olmasını yadırgayanlarınız olabilir. Neticede bu, sağduyuyla tamamen uyumlu, üzerine birazcık kafa yoran herkesin ulaşabileceği bir sonuç. Ama bu basit prensibi güvercin ve yuva özelinden çıkarıp çok geniş alanlarda işletebiliriz.

Örneğin, 8 kişinin bir odada toplandığını düşünün. Bu gruptan en az ikisinin doğum günü haftanın aynı gününe denk gelecektir.

Diyelim ki bunu test etmek için arkadaşlarınızla toplandınız. Çaylar, kahveler hazırlandı ve sırayla herkes doğum gününün haftanın hangi gününe denk geldiğini söyleyecek. Siz ev sahibi olduğunuzdan en son siz söyleyeceksiniz ve liseden beri matematiğe beslediğiniz kinin intikamını almak için fırsat kolluyorsunuz. Bu kaideyi yanlışlayabilirseniz o gece rahat uyuyacaksınız.

Arkadaşlarınız söylemeye başladılar: “Pazartesi”, “Salı”, “Çarşamba”, “Perşembe”, “Cuma”, Cumartesi” ve “Pazar”. Sıra sizde…

Son arkadaşınızın cevabından sonra prensibin neden haklı olduğunu fark ediyorsunuz. Hile yapıp “Çarşamba-ertesi” diyemeyeceğinize göre bu sefer de matematiği yenemediğinizi anlıyor ve usulca “Perşembe” diyorsunuz.

Matematik haklıydı çünkü en kötü durumda, yani herkesin doğum gününün farklı güne geldiği durumda bile – eğer kişi sayısı haftanın günlerinin sayısından fazla ise- en az iki doğum günü haftanın aynı gününe denk gelecek. Bunu en az 13 kişinin olduğu bir grupta doğum aylarını kıyaslayarak da görebilirsiniz.

Burada anahtar, obje sayısının -güvercinler, kişiler- özellik sayısından –yuvalar, günler, aylar vs.- en az bir fazla olmasıdır. Matematiksel konuşmak gerekirse n+1 sayıda (veya daha fazla) objeniz varsa ve bunları n sınıfta kategorize etmek istiyorsanız en az iki objeniz aynı kategoriye ait olacaktır.

Bir örnekle devam edelim:

1 ile 200 aralığında 101 tane sayı seçilmiş olsun. Bu sayılar arasında muhakkak öyle iki sayı vardır ki biri diğerini tam böler. Burada “muhakkak” kelimesi önemlidir çünkü güvercin yuvası prensibi ile bu kesinliği sağlarız.

Şöyle: Herhangi bir tam sayı; n tam sayı, a tek tam sayı olmak üzere 2𝑛. 𝑎 formunda yazılabilir.

1 ile 200 aralığında a sayısı 1, 3, 5,…, 199 sayılarından biri olabilir. Verilen aralıkta 101 sayı seçilince bu kümedeki iki sayının a çarpanları kesinlikle aynı olacaktır. Böylece bu iki sayı birbirine tam bölünecektir.

Güvercin yuvası ilkesi (orijinal adıyla “Pigeon Hole Principle”), matematikte teorem ispatlarında sıkça kullanılmasının yanı sıra günlük hayatımızda –matematiksel herhangi bir anlamı olmasa da- bizi çok ilginç olgularla karşılaştırıyor.

Son bir örnek daha vereyim. Türkiye’de sizinle aynı saç teli sayısına sahip en az bir kişi daha bulunmaktadır. Bir insanın en fazla 500.000 saç teline sahip olabileceği düşünülürse yaklaşık 80 milyon içinde kesinlikle bir saç teli kardeşiniz vardır. Buradan kendi saç teli kardeşime selam gönderiyor ve sizi bir sonraki sefer bir güvercinle karşılaştığınızda matematiğimize
katkıları için kendisine teşekkür etmeye davet ediyorum.

Matematiksel için hazırlayan: Rumeysa Aslıhan Ertürk

Kaynaklar:
http://www.math.ucla.edu/~radko/circles/lib/data/Handout-123-153.pdf
https://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math391I/Pigeonhole.pdf
https://mindyourdecisions.com/blog/2008/11/25/16-fun-applications-of-the-pigeonhole-principle/
Fotoğraf: https://en.wikipedia.org/wiki/Pigeonhole_principle

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Asal Çarpanlar ve Şifreleme

İnsan asal sayıları tanımladığı zamandan itibaren, sürekli asal sayıların ardından koşar oldu. Verilen bir sayı …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');