Sayıları Göstermenin Bir Başka Yolu: Matrisler

Bir çok kişinin aklına matris (ing: matrix) dendiği anda ilk olarak baş rolünü Keanu Reeves’in oynadığı bilimkurgu filmi gelecektir. Aslında matematik ve bilgisayar bilimlerinde kullanılan matrisler ile bu filmin ilgisi var. Sonuçta, matrisler bilgisayar grafiklerinin olmazsa olmazı. Bu yazımızda gelin kısaca kendilerini tanıyalım.

Matris Nedir?

Dikdörtgen bir dizi oluşturacak şekilde satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş bir sayı kümesidir. Sayılara matrisin elemanları veya girdileri denir. Elemanların yerlerini satırlar ve sütunlar aracılığı ile gösteririz.

Aşağıdaki örnek sadece 6 eleman içerirken çok daha büyük veri grupları ile işlemler yapmak zorunda kalabiliriz. Örneğin matrisimiz 100×200 lük yani 20 000 elemandan oluşuyor olabilir. Kilit avantajları işte budur. Onlar sayesinde tüm bu sayılara tek bir girdi davranıp bu sayı blokları üzerinde kolayca işlem yapabiliriz.

Gündelik Hayatımızda Matrisler

Matrisler günlük yaşamda biz farkına varmasak da yoğun biçimde kullanılırlar. Örneğin, bir tren istasyonunda trenlerin hareket saatlerini gösteren tablo bir matristir. Bir lokantada müşteriye sunulan yemek listesi. bir sınıf listesi bir matristir. Şu an bu yazıyı okuduğunuz ekran bile aslında aynı mantıkla düzenlenmiştir.

800×600 çözünürlük olarak ifade ettiğimiz ekran çözünürlüğü aslında orada kaç piksel olduğu ve piksellerin yatay ve düşey olarak bir matris biçiminde nasıl yer aldığını bize anlatır. Sayılar verileri ve matematiksel denklemleri temsil edebilir.

Matrisler başlangıçta hepimizin aşina olduğu doğrusal denklem sistemlerini tanımlamanın bir yolu olarak ortaya çıkmıştır. “Doğrusal” kelimesi denklemlerdeki değişkenlerin hiç üssü olmadığı anlamına gelir, bu nedenle grafikleri her zaman düz çizgiler şeklinde olur.

Örneğin x – 2y = 0 denklemi, (0,0), (2,1), (4,2) noktalarından geçen düz bir çizgi olarak gösterilebilen sonsuz sayıda çözüme sahiptir. Ama eğer bunu x – y = 1 denklemiyle birleştirirseniz, o zaman sadece bir çözüm vardır: x = 2 ve y = 1. Nokta (2,1) iki denklemin grafiklerinin kesiştiği noktadır.

Bu iki denklemi tasvir eden matris, değişkenlerin katsayılarına karşılık gelecek biçimde [1 -2] ve [1 -1] olarak gösterilebilir. Görüntü işlemeden genetik analize kadar bir dizi uygulamada, bilgisayarlar genellikle ikiden fazla değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü ile uğraşırlar.

Matris tipi gösterimler antik Çin yazıtlarında karşımıza çıksa bile kelime ilk kez 1850 yılında James Joseph Sylvester kullanmış devamında da 1858 yılında Arthur Cayley, Matrislerin Kuramı Üzerine İnceleme adlı çalışmasını yayınlayarak günümüzde kullandığımız biçimde gösterilmesi fikrini ortaya atmıştır.

Matrisler İle İlgili Günlük Hayattan Bir Örnek

A matrisi KUANTUMCAN şirketinin bir haftalık üretimini göstersin. Bu şirketin ülkenin farklı yerlerinde olmak üzere üç fabrikası olsun. Üretim miktarı l000’er birimle ölçülen dört farklı ürün üretsin.

Bir sonraki haftanın üretim programı farklı olacaktır. Bunu da B matrisiyle gösterelim.

İki haftanın toplam üretimi nedir? Bunu iki matrisin toplamı olan A+B biçiminde gösterebiliriz.

Gördüğünüz gibi bu işlem oldukça kolay. Ancak çarpımı biraz daha karışıktır. Diyelim ki dört ürününün birim karı 3, 9, 8, 2 olsun. Birinci fabrikanın 7, 5, 0, 1 üretimi için toplam karı hesaplayabiliriz: 7 x3+5 x 9 +0x8 + 1 x2 = 68. Ancak tek bir fabrikayla uğraşmak yerine tüm fabrikaların toplam karlarını (T) şu şekilde hesaplayabiliriz:

Dikkatli bakarsanız birinci matristeki satırların ikincideki sütunlarla çarpıldığını fark edebilirsiniz. Bu çarpımın en temel özelliğidir. Eğer biri bunlara ek olarak hacimlerle ilgili de bilgi vermiş olsaydı tek bir matrisi çarpımı ile üç fabrikanın aynı anda hem karlarını hem de depolama gereksinimlerini hesaplayabilirdiniz.

Yüzlerce fabrikası ve binlerce ürünü olan bir şirket düşünün. Birim karları ve depolama gereksinimleri her hafta değişiyor olsun. Matris cebiri sayesinde hem hesaplamalar basitleşir, hem de ayrıntıları dert etmemiz gerekmez.

Buraya bir not düşmemiz gerekiyor. Bu cebir ile normal cebir arasında benzerlikler olsa da en belirgin fark çarpımında olur. A matrisini B matrisiyle ve B matrisini A matrisiyle çarpmak, çarpma işleminin tanımı dolayısıyla aynı sonucu vermeyecektir.

Artur Cayley düşüncesinin sadece notasyonda kolaylık sağlayacağını ve uygulama alanı bulamayacağını öngörmüştü zamanında. Ancak günümüzde matrislerle gerçekleştirilen cebirsel işlemler ekonomide, matematikte, bilgisayar bilimlerinde, elektronikte, fizikte, uzay bilimlerinde, atom altı parçacıkların incelenmesinde, kuantumda vb. şekilde sayabileceğimiz bir çok alanda aktif olarak kullanılmaktadır. Yazının devamı için: Dünyayı Değiştiren Günümüzü Biçimlendiren 17 Denklem

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• Explained: Matrices; http://news.mit.edu
• Matrix; https://www.britannica.com/

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel