Kümeler

Alt Küme Sorularını Çözmenin Farklı Bir Yolu

Lise sınıflarında alt kümelerle ilgili soruları öğrenciler genellikle sayma (permütasyon ve kombinasyon) bilgileriyle çözerler. Benim bu yazıda göstereceğim yöntem ise kümelerde doğruluk tablosu yapmaya dayanıyor. Bildiğim kadarıyla bu yazı, söz konusu yöntemden bahseden ilk yazı olacak… Şimdi bu farklı yöntemi bir örnek üzerinde açıklayalım.

Alt Küme Sorusu Örnekleri

Soru: A = {a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde a ve b elemanı bulunur, c elemanı bulunmaz?

Çözüm: Anlatacağım yöntemde soruyu önermeler mantığı ile çözeceğiz. Kümenin elemanlarını sanki birer mantıksal önermeymiş gibi düşünüp doğruluk tablosunu yapacağız. (Aşağıdaki şekli inceleyiniz.)

Yukarıdaki tablodaki her satır, bir alt kümeyi gösteriyor. 1 sayısı elemanın alt kümeye alındığı, 0 ise alınmadığı şeklinde yorumlanacak. Örneğin birinci satırda tüm elemanlar alınıyor (kümenin kendisi), ikinci satırda d hariç tüm elemanlar alınıyor, üçüncü satırda c hariç tüm elemanlar alınıyor vs. Böylece dört elemanlı A kümesinin tüm alt kümelerini eksiksiz olarak listelemiş oluyoruz. Tablonun, tüm alt kümeleri verdiğini görünüz. Artık soruyu çözmeye hazırız. Bize A’nın kaç alt kümesinde a ve b’nin bulunup c’nin bulunmadığı soruluyor. Yani tablodaki a ve b sütunlarının 1; c sütununun ise 0 olduğu satırların sayısının isteniyor. (Aşağıdaki şekilde sarı renkli hücreler.)

Bu şartlara uyan sadece iki satır vardır. Çünkü a, b ve c sütunlarını sadece bir farklı şekilde doldurabiliriz (a=1, b=1 ve c=0) ama d için iki itimal var d=0 ya da d=1 olabilir. Bir kez tablonun mantığını kavradığımızda artık soruyu zihinden de çözebiliriz. Şimdi bu bilgilerimizi aşağıdaki soruyu çözmek için kullanalım.

  • Soru: A={a, b, c, d} kümesinin alt kümelerinden kaçında b bulunur?
  • Çözüm: Bize tablodaki sütunların kaç tanesinde b’nin değerinin 1 olduğu sorulmaktadır. (4 elemanlı bir kümenin 16 alt kümesi olduğunu hatırlayalım.) Doğruluk tablosunda her sütunda 1 ve 0’ların sayısı eşit olduğuna göre 8 tane “1” ve 8 tane de “0” olmalıdır. O halde cevap 8’dir. Şimdi biraz daha zor bir soru çözelim.
  • Soru: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin, içinde 3 veya 4 elemanlarından en çok birinin bulunacağı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
  • Çözüm: A kümesinin tablosunu yapmak pratik olmaz çünkü 26 = 64 satır içeriyor. Ancak zaten tablo yapmamıza da gerek yok, önemli olan tablo mantığını kavramış olmak. Şimdi, bizden istenen 3 veya 4 elemanlarından en çok birinin bulunduğu alt kümelerin sayısı… Yani bize aşağıdaki tablodaki sarıya boyanmış satırlardan kaç tane olduğu soruluyor. Dikkat edilirse her satırda 4 tane “?” işareti var. Soru işaretlerinin yerini kaç farklı şekilde doldurabiliriz? Tabi ki cevap 24=16’dır. Ve bu şekilde üç farklı satır olduğuna göre cevap 3×16=48 olur. Bu yöntemle bir kez tablo mantığı anlaşıldıktan sonra her soru kolayca çözülebilir. (Aşağıdaki şekli inceleyiniz.)

Benim bu yazıda göstermeye çalıştığım şey, ilk anda tuhaf görünse de bir kez kavrandıktan sonra tablo yönteminin ne kadar şaşırtıcı ve kolay olduğu… O halde sorulara devam edelim.

Bir Başka Alt Küme Sorusu

  • Soru: A = {a, b, c, d, e , f, g} kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında e ve f bulunur, b bulunmaz?
  • Çözüm: Aşağıdaki şekilde sarı ile boyalı hücrelere dikkat ediniz. Soru işaretli yerlerin sadece bir tanesine 1 koyabiliriz, diğerleri sıfır olmak zorunda. (Üç elemanlı alt küme sayısı sorulduğu için.) b, e, f dışında doldurabileceğimiz sadece 4 pozisyon var. O halde yanıt 4’tür. (Şekli inceleyiniz.)

Bu yazıda sizlere soru çözerken kalıpların dışına çıkmanın bir yolunu göstermek istedim. Bu yöntemi kavradıktan sonra başka soru tiplerini nasıl çözebileceğinizi kendi kendinize keşfedeceğinize inanıyorum.

Not: Yazarımızın Beyin Kırıcı adlı romanını buradan satın alarak kendisine destek verebilirsiniz.

Şunlar da ilginizi çekebilir:

Matematiksel

SİNAN İPEK

Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar:TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik, 2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik, Ya Sonra Öykü Yarışması'nda finalist, Mimarlık Öyküleri Yarışması'nda finalist, 44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist. Ithaki yayınları Pangea serisinin 5. üyesi "Beyin Kırıcı" adlı bir romanı var. https://www.ilknokta.com/sinan-ipek/beyin-kirici.htm