Belirli bir kanser türünün nüfusun %1’ini etkilediğini varsayalım. Bu kanser için piyasa bir test var ama güvenilirliği mükemmel değil. Bu test kanserli kişilerin %90’ında pozitif sonuç veriyor yani doğru tanı koyuyor. Ancak aynı zamanda kansersiz kişilerin %5’inde de pozitif sonuç veriyor. Diğer bir deyişle bu kişiler de kanser olmadığı halde kanser olduğunu ortaya koyuyor. Endişelendiniz ve bir test yaptınız. Sonucunuz ne yazık ki pozitif çıktı. Bu durumda kanser olma olasılığınız nedir?
Çoğumuz kanser olma ihtimalimizin %90 olduğunu söyleriz. Ancak bu doğru değil. Aslında kanser olma ihtimaliniz %15 civarında. Bunun nedenini öğrenmek için Bayes teoremini anlamalısınız..
Bayes Teoremi, 18. yüzyılda İngiliz Bakan ve matematikçi olan Thomas Bayes (1702 – 1761) tarafından öne sürülmüş ve özellikle geçtiğimiz son yarım yüzyılda önemi giderek daha fazla anlaşılmış bir teorem. Günümüzde Bayes teoremi fizikten kanser araştırmalarına, çevre bilimden psikolojiye kadar bir çok yerde kendine bir uygulama alanı bulmuş durumda.
Fizikçiler, kuantum mekaniğinin Bayesçi yorumlarıyla sicim ve çoklu evren teorilerinin Bayes savunmasını önerdiler. Filozoflar, bilimin Bayesçi süreç olarak görülebileceğini ve Bayes’in bilimsel bakışının, Karl Popper tarafından öne sürülen yanlışlanabilirlik kuramına göre sahte bilimden ayırt edici bir yöntem olarak kullanımının uygun olduğunu iddia ediyorlar.
Google’ın kendi kendine giden arabalarının tasarımcıları da dahil olmak üzere yapay zeka araştırmacıları, makinelerin kalıpları tanımasına ve karar vermesine yardımcı olmak için Bayes yazılımını kullanıyor. Bilişsel bilimciler, beyinlerimizin algılarında ve karar mekanizmalarında Bayesçi algoritmalar içerdiğini varsayar. Tüm bunların anlamı sizin bu teorem hakkında daha fazla bilgi sahibi olmanızdır.
Bayes Teoremi Nedir?
Koşullu olasılık, başka bir şeyin doğru olması (test sonucunuz pozitif) durumunda, bir şeyin doğru olma olasılığıdır (bu örnekte, kansere sahip olmanız). Bayes teoremi, iki olayın koşullu olasılığını ilişkilendirmemizi sağlar. B olayının verildiği A olayının olasılığı, A olayının verildiği B olayının olasılığı ile ilgilidir. Bunlar eşit değillerdir ancak yukarıdaki denklem nedeniyle birbirleri ile ilişkilidir.
P, düşünce için B ve kanıt için E simgeleri kullanılsın. B’nin doğru olma olasılığı P(B) ve E’nin doğru olma olasılığı P(E)‘dir. P(B|E), eğer E doğruysa B’nin ve P(E|B) eğer B doğruysa E’nin olasılığını verir. Bu durumda Bayes teoremi için matematiksel formül aşağıdaki gibi olur.
P(B|E) = [P(B). P(E|B)] / P(E)
Formülü (veya bu konudaki herhangi bir formülü) ezberlemekten daha önemlisi ne yaptığını ve neden bilmeye değer olduğunu anlamaktır. Bunun için yazının başında verdiğimiz örneğe benzer bir örnekle devam edelim.
Bir Bayes Teoremi Uygulama Örneği
Diyelim ki yaş grubunuzdaki insanların yüzde birinde meydana geldiği tahmin edilen bir kanser türü için test yaptırdınız. Test yüzde 100 güvenilirse pozitif bir testin ne anlama geldiğini bilmek için Bayes teoremine ihtiyacınız yok. Ancak yine de teoremi sadece nasıl çalıştığını görmek için kullanalım.
Hastalık yüz kişiden birinde görüldüğü için P(B) yüzde bir veya 0,01’dir. Testin pozitif çıkma olasılığı olan P(E) de öyle. Pay ve payda birbirine eşit oldukları için bunları denklemde yerlerine yerleştirdiğiniz zaman birbirlerini sadeleştirirler ve P(B|E) = P (E|B) = 1 olur. Böyle bir durum da kanser olma olasılığınız kesindir.
Ancak gerçek bir dünyada testler nadiren yüzde yüz güvenilirdir. Diyelim ki testiniz yüzde 99 güvenilir. Peki bu durumda pozitif bir sonucun kanser olma olasılığı nedir? Bayes teoremi gücünü burada gösterir. P(B) hala 0,01’dir. Çünkü bu hastalık 100 kişiden birinde rastlanıyor. Kanser hastalığınız varsa testin pozitif çıkma olasılığı olan P(E|B) ise 0,99 olur. Çünkü test 100 vakadan 99’unu doğru hesaplayabiliyor.
Bu durumda P(B).P(E|B) = (0,01).(0,99) yani 0,0099’a eşittir. Bu, kanser olma yani gerçekten pozitif çıkma olasılığınızı gösteren değerdir. Peki, payda P(E) ne olacak? İşte burası işlerin zorlaştığı yer. P(E), kanser olup olmadığınıza bakılmaksızın testin pozitif çıkma olasılığıdır. Başka bir deyişle, P(E) kanser olma ile olmama olasılığınızın toplamı kadardır.
Şimdi bir kere daha hesap yapmamız gerekir. Testimiz yüzde 99 güveniliyor ise yüzde bir yani 0,01 hata veriyor demektir. Hastalık 100 kişiden birinde gözlemleniyorsa 100 kişiden 99’unda gözlemlenmez. Bu 0,99 anlamına gelir. Bu iki değeri de birbiri ile çarparsanız sonuç 0,0099’a olacaktır. Bu durumda P(E)= 0.0099 + 0.0099= 0.0198 olarak hesaplanır. Bunu da formüle eklerseniz sonuç aşağıdaki gibi olur. Yani test sonucunuz pozitif çıksa bile bu teste bakarak kanser olduğunuzu anlama olasılığınız yüzde 50’dir.
P(B|E) = 0,0198 / 0,0099 = 0,5
Bayes Teoremini Kullanırken Dikkatli Olmak Gerekir
Testi tekrar yaptırırsanız, belirsizliği büyük ölçüde azaltabilirsiniz. Çünkü kanser olma olasılığınız P(B), şimdi yüzde bir yerine yüzde 50’dir. İkinci testiniz de pozitif çıkarsa, Bayes teoremi size kanser olma olasılığınızın yüzde 99 olduğunu söyler. Bu örneğin gösterdiği gibi, Bayes teoremini yinelemek son derece kesin bilgiler verebilir. Ancak testinizin güvenilirliği yüzde 90 ise testin sonucunda iki kez pozitif çıksanız bile kansere yakalanma şansınız hala yüzde 50’den azdır. Doktorlar da dâhil olmak üzere çoğu insan için bu olasılıkları anlamak zordur. Kanser testi vakası örneği bize yanlış pozitiflere dikkat etmemiz konusunda bir uyarıdır.
Bayes teoremini genele yayarsak şu şekilde de yorumlayabiliriz. Düşüncenizin akla yatkınlığı kanıtları ne ölçüde açıkladığına bağlıdır. Kanıt için ne kadar alternatif açıklamalar varsa, düşünceniz o kadar az mantıklıdır. “Alternatif açıklamalar” birçok şeyi kapsayabilir. Kanıtınızın hatası; hatalı çalışan bir cihaz, hatalı bir analiz ve hatta sahtekârlık nedeniyle çarpıtılmış veriler olabilir. Başka bir deyişle, iyi bir kanıtınız varsa, Bayes teoremi iyi sonuçlar verebilir. Kanıtınız zayıfsa, Bayes teoremi pek işe yaramayacaktır.
Teoremin Kötüye Kullanımı Mümkün müdür?
Bayes’in kötüye kullanım potansiyeli, ilk tahmin olan P(B) ile başlar. Yukarıdaki kanser testi örneğinde önce bize kanser risk değeri için yüzde bir gibi bir bilgi verildi. Gerçek dünyada uzmanlar, kanserlerin olasılıkları konusunda hemfikir değiller. Bu nedenle gerçekte önceki bilginiz, genellikle tek bir sayı yerine bir dizi olasılıktan oluşacaktır. Yani önceki bilgi sadece bir tahminden ibarettir ve bu durum öznel faktörlerin hesaplamalara girmesine izin verir. İnançlar, çoklu evreler, enflasyon veya önyargılar gibi kanserin aksine var olmayan bir şeyin olasılığını tahmin ediyor iseniz şüpheli inancınızı desteklemek için şüpheli kanıtlardan beslenebilirsiniz. Bu durum da Bayes teoremi, sahte bilimi ve batıl inancı da teşvik edebilir.
Kanıtınız için alternatif açıklamalar aramada titiz değilseniz, kanıtlar zaten inandığınızı doğrulayacaktır. Bilim insanları genellikle bu hükmü dikkate almazlar ve bu da neden bu kadar çok bilimsel iddianın hatalı olduğunu açıklamaya yardımcı olur.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- John Horgan; Bayes’s Theorem: What’s the Big Deal?; Yayınlanma tarihi: 4 ocak 2016; Bağlantı: https://blogs.scientificamerican.com/
- Maths in a minute: Bayes’ theorem; yayınlanma tarihi: 25 Ocak 2016; Bağlantı: https://plus.maths.org/content/maths-minute-bayes-theorem
Matematiksel
