Dünya görüşümüz ve bunun sonucunda ortaya çıkan eylemlerimiz genellikle, 150 yıldan fazla bir süre önce bir İngiliz matematikçi Thomas Bayes tarafından tasarlanan basit bir teorem tarafından yönlendirilir.
Belirli bir kanser türünün nüfusun yalnızca %1’ini etkilediğini varsayalım. Bu kanseri tespit etmek için piyasada bir test mevcut, ancak mükemmel bir güvenilirliğe sahip değil. Test, kanserli bireylerin %90’ında doğru sonuç veriyor, yani pozitif sonuç çıkıyor. Ancak kansersiz bireylerin %5’inde de yanlış pozitif sonuç üretiyor. Yani bu kişiler kanser olmadıkları halde test sonuçları pozitif çıkabiliyor.
Endişelendiniz ve bu testi yaptırdınız. Sonuçlar geldi ve ne yazık ki pozitif çıktı. Şimdi aklınızdaki en önemli soru şu: Kanser olma olasılığınız nedir?
Çoğu kişi bu durumda kanser olma ihtimalinin %90 olduğunu düşünür. Ancak bu yanıt doğru değildir. Gerçekte, kanser olma olasılığınız yalnızca %15 civarındadır. Peki, bu oldukça düşük ihtimali nasıl hesaplıyoruz? Bunun cevabı Bayes teoreminde gizlidir.
Bayes Teoremi, 18. yüzyılda Thomas Bayes tarafından geliştirildi. Ancak Bayes, bu teoremin yayınlanmaya değer bir çalışma olduğunu düşünmüyordu. Bu nedenle, üyesi olduğu Kraliyet Cemiyeti’ne bile sunmadı. İlginç bir şekilde, Bayes Teoremi gerçek ününe, kendisinin ölümünden sonra, bir başka matematikçi tarafından yeniden keşfedilip yayımlandıktan sonra kavuştu.
Bayes Teoremi Nedir?
Bayes Teoremi, olasılıklar hakkında elimizdeki yeni bilgileri kullanarak önceki tahminlerimizi geliştirmemize olanak tanır. Teorem aşağıda gördüğünüz biçimdedir.
- P(A|B): B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığı (koşullu olasılık).
- P(B|A): A olayının gerçekleştiği durumda B olayının olasılığı.
- P(A): A olayının gerçekleşme olasılığı (ön bilgi).
- P(B): B olayının gerçekleşme olasılığı.
Başlangıçtaki örneğe geri dönelim. Pozitif bir test sonucu aldığınızda kansere sahip olma olasılığını, P(kanser | pozitif test sonucu) olarak ifade edebiliriz. Testi yaptırmadan önce kansere yakalanma olasılığınızın P(kanser) = 0,01 olduğuna inanıyordunuz.
Bu, 10.000 kişilik bir popülasyonda yaklaşık 100 kişinin kansere sahip olması anlamına gelir. Bu durumu kırmızı bir daire ile temsil edelim. Testin %90 doğruluk oranına göre, kansere sahip kişilerin %90’ı testi pozitif çıkaracaktır. Bu da mavi daire olsun.
Bu durumda topluluğumuzda 10.000 kişiden 10.000−100=9.900 kişinin kanser hastası olmadığını biliyoruz. Testin %5 yanlış pozitif oranına göre, kansersiz kişilerin %5’inin testi pozitif çıkaracaktır. Bu durum da 9.900×0,05=495 kişinin testi de yanlışlıkla pozitif çıkacaktır.
Peki test sonucunuz pozitif çıktığına göre bu kansere yakalanma olasılığınız nedir? Bu, kanser hastası olan ve test sonucu pozitif çıkan kişilerin (iki dairenin kesişimi) pozitif test sonucu olan tüm insanlara (mavi daire) oranıdır. Yani 90/585 = 0,154 diğer bir deyişle yaklaşık % 15 tir. Diğer bir deyişle, Test sonucu pozitif çıksa da kansere sahip olma ihtimaliniz yalnızca %15’tir. Bu, testin doğruluk oranı, yanlış pozitif oranı ve popülasyondaki kanser oranı gibi faktörlerin bir kombinasyonudur.
Bayes Teoremi Günlük Hayatımızda Her Yerdedir
Bayesci yaklaşımlar, belirsizlikleri netleştirmek ve geniş bir olasılıklar yelpazesinden kesin çözümler elde etmek için son derece güçlü araçlardır. Bu yaklaşımlar, özellikle karmaşık problemlerin çözümünde etkili olmuştur. Örneğin, İngiliz matematikçi Alan Turing‘in II. Dünya Savaşı sırasında Almanların Enigma şifreleme mekanizmasını çözmesi, Bayesci düşüncenin pratikteki en çarpıcı başarılarından biridir.
Savaşın patlak vermesiyle birlikte Turing, Alman Ordusu’nun gizli mesajlarını şifrelemek için kullandığı Enigma adlı karmaşık şifreleme makinesini çözmek üzere çalışmalara katıldı. Almanlar, Enigma’yı kullanarak hassas askeri bilgileri şifreliyor, özellikle U-boat denizaltılarının konumları gibi stratejik öneme sahip mesajları gizliyordu.
Enigma’nın algoritması her 24 saatte bir değişiyordu, bu da mesajların şifresini çözmeyi neredeyse imkânsız hale getiriyordu. Turing ve ekibi, bu zorluğu aşmak için “Bombe” adını verdikleri elektromekanik bir makine tasarladılar. Bu makine, olası tüm şifreleme kombinasyonlarını sistematik olarak inceleyerek doğru anahtarı bulmaya çalışıyordu.
Turing’in başarısının anahtarı, Bayesci düşüncenin uygulanmasıydı. Turing, bazı mesajların diğerlerinden daha olası olduğunu fark etti. Örneğin her mesajın başında rutin bir açılış metni ya da mesaj numarası vardı. Mesajların birçoğu hava durumu raporları gibi tahmin etmesi olası bilgiler içeriyordu.
Bu tür ön bilgiler, olası şifreleme kombinasyonlarının sayısını büyük ölçüde azaltarak Bombe’nin işini kolaylaştırdı. Bayesci yaklaşımla, düşük olasılıklı seçenekler elendi ve şifreleme mekanizması çözüldü
Bayes Teoremin Kötüye Kullanımı Mümkün müdür?
Bayesci düşüncenin yanlış uygulanması veya öncül bilgilerin yanlış yorumlanması, tarih boyunca ciddi hatalara yol açmıştır. Bu durum, özellikle adalet sistemi gibi kritik alanlarda büyük etkiler yaratır. Yanlış öncüller veya istatistiklerin yanlış yorumlanması, Sally Clark Davası gibi trajik sonuçlara neden olabilir.
Sally Clark‘ın iki çocuğu, birkaç yıl arayla ani bebek ölümü sendromu (SIDS) nedeniyle hayatını kaybetti. Ancak, bu trajik olaylar zinciri, savcılar ve mahkeme tarafından şüpheli olarak değerlendirildi. Savcılar, her iki çocuğun da doğal sebeplerden ölme olasılığını son derece düşük bularak Sally Clark’ı cinayetle suçladı.
Savcıların temel hatası, bağımsız olayların (her iki çocuğun da doğal sebeplerden ölmesi) olasılıklarını doğru bir şekilde ele almamalarıydı. Bir pediatri uzmanı, iki çocuğun da SIDS’ten ölme olasılığını 1’e 73 milyonda bir olarak sundu. Ancak bu sayı, Bayesci analiz kullanılarak hesaplanmamıştı. Bayes Teoremi’ne göre, iki çocuğun da SIDS’ten ölme olasılığı, verilen tıbbi geçmiş ve aile genetiği göz önüne alındığında çok daha yüksekti
Sonuç Olarak
Bayesci analiz, adalet sisteminde veya diğer alanlarda yanlılık ve önyargıyı azaltmak için güçlü bir araçtır. Ancak doğru kullanılmadığında, adaletsizliğe katkıda bulunabilir. Sally Clark vakası, bu teoremin doğru uygulanmasının ne kadar kritik olduğunu bir kez daha ortaya koymaktadır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Maths in a minute: Bayes’ theorem; yayınlanma tarihi: 25 Ocak 201. Kaynak site: Plus math.; Bağlantı: Maths in a minute: Bayes’ theorem/
- Bayes’ Theorem: the maths tool we probably use every day, but what is it?. Yayınlanma tarihi: 23 Nisan 2017. Bağlantı: Bayes’ Theorem: the maths tool we probably use every day, but what is it?
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
