Matematik Ne İşe Yarar?

Basit Bir Matematik İlkesine Göre Dünyada 8.000 Kişinin Kafasında Aynı Sayıda Saç Teli Vardır!

Dünyamızda 8 milyar civarında insan yaşıyor. Tüm bu insanlar arasında kafasında eşit sayıda saç teli olan iki insan bulmak mümkün mü? Güvercin Yuvası ilkesi evet diyor.

Basit bir fikri asla küçümsemeyin çünkü bu fikirlerin bazen geniş kapsamlı etkileri olabilir. Böyle bir fikir için verilebilecek bir örnek, ilk olarak 1834’te Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) tarafından formüle edilen güvercin yuvası ilkesidir.

Güvercin yuvası ilkesinin tahmin ettiğiniz gibi güvercinler ile en ufak bir ilgisi yoktur. İlk olarak 1834’te Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) tarafından formüle edilen bu ilke aslında başlangıçta çekmeceler ile ilgili idi. İşin içine güvercinler sonradan karıştı.

Güvercin Yuvası İlkesine Göre Dünyada 8.000 Kişinin Kafasında Aynı Sayıda Saç Teli Vardır!
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, (1805 – 1859) Almanya’nın Düren şehrinde doğdu. Analitik fonksiyonlar kuramının, sayı kuramındaki problemlere nasıl uygulanabileceğini gösterdi. Fourier serisini sıkı bir analizden geçirerek kesin bir yakınsaklık kanıtını verdi ve böylelikle bir fonksiyonun yapısının doğru bir kavrayışına ulaşılmasına katkıda bulundu.

Sayı sayma fikri basit gelse de saymanın bilimsel olarak ele alınması nispeten yeni bir oluşumdur.  Sayma teorisinin ilk ustalarından biri Peter Gustav Lejeune Dirichlet’ti.

Güvercin Yuvası İlkesi Nedir?

Elinizde n tane nesne ve k tane çekmece olsun. Bu nesneleri çekmecelere yerleştirmek istediğiniz zaman çekmecelerden daha fazla nesne varsa ( n > k ), o zaman birkaç nesne aynı çekmecede birlikte bulunmak zorundadır. Yani 5 tane kazağınız ve dört çekmeceli bir şifonyeriniz varsa, her çekmeceye bir kazak koyma şansınız yoktur.

Mantığa tamamen uygun. Bu durumda da bunun matematik ile ne ilgisi var diyebilirsiniz. Bir matematik teoreminden çok basit bir gözleme benzeyen bu ifade ilk kez 1622’de Fransız bilim insanı Jean Leurechon tarafından bir kitapta bahsedilmişti.

Jean Leurechon (c. 1591 – 17 Ocak 1670). Güvercin yuvası ilkesini icat etmesi ve termometreye adını vermesiyle tanınan bir Fransız Cizvit rahibi, astronom ve matematikçiydi.

Ancak bir kere daha, hiçbir bilimsel buluşa gerçek kaşifinin adının verilmediğini söyleyen Stigler yasası geçerliliğini göstermişti. Bu nedenle Jean Leurechon’dan neredeyse 200 yıl sonra yaşasa bile Güvercin yuvası ilkesi genellikle Peter Gustav Lejeune Dirichlet’e atfedilmektedir.

 Üç güvercin yuvanız ve dört güvercininiz olduğunu düşünelim. Tüm güvercinlerin bir güvercin yuvasına girmesi gereksin. Bu durumda güvercin yuvalarından birine en az iki güvercin girecektir. Bu sonuç kaçınılmazdır.

Basitliğine rağmen, güvercin yuvası ilkesi oldukça karmaşık ilişkileri kanıtlamayı mümkün kılar. Konu hakkında bir çok örneği bu yazımızda ele almıştık. Basit Ama Etkili: Güvercin Yuvası İlkesi. Şimdi yazının başındaki sorumuza dönelim.

Dünyadaki iki kişinin kafasında tam olarak aynı sayıda saç teli olup olmadığını nasıl anlarsınız?

 Bunu yapmak için öncelikle insanların sahip olabileceği maksimum saç miktarını bulmanız gerekir. Saç rengine bağlı olarak, ortalama bir kişinin kafasında 90.000 ila 150.000 saç teli bulunduğu bilinmektedir. Bu durumda hiç kimsenin bir milyondan fazla saç teline sahip olmadığını söylemek güvenlidir

Güvercin Yuvası İlkesine Göre Dünyada 8.000 Kişinin Kafasında Aynı Sayıda Saç Teli Vardır!
Bir kişinin sahip olduğu saç teli sayısı esasında saçın rengine bağladır. Görselde ortalama sayı hakkında bir fikir edinebilirsiniz.

Bununla birlikte, gezegenimizde yaşayan yaklaşık sekiz milyar insan var. Bu da kafalarında tamı tamına aynı sayıda saç teli bulunan insanların mutlaka olduğu anlamına da gelir. Belki sizin yan komşunuz ile kafalarınızdaki saç teli sayısı arasında bir, iki fark vardır. Ancak bir tarak darbesi ile komşunuzdaki fazladan bir kaç telin de dökülmesi ve eşit sayıda saça sahip olmanız olasıdır.

Şimdi 1 milyon odalı bir eviniz olduğunu hayal edin. ( Olası maksimum saç teli sayısı) Bu odaları 0, 1, 2, 3… biçiminde sıralandıralım. Sonrasında da herkes kafasındaki saç sayısına göre belli bir odaya girsin. Bu durumda bir odayı paylaşan minimum insan sayısı ne olacaktır? Sanırız sorunun varmaya çalıştığı yeri sezmişsinizdir.

Gezegendeki herkes eşit sayıda saç teline sahip olsaydı, sonucunda hepsi aynı odaya girerdi. Bu durumda da 999.999 oda boş kalırdı. Ancak biz bir odada bulunacak minimum insan sayısını hesaplamaya çalışıyoruz. Bunu hesaplamak için odaları azar azar doldurmayı deneyebilirsiniz. Yani önce oda başına bir kişi, sonra iki, sonra üç, vb. kişi yerleştirerek hesaplama yapabilirsiniz. Ancak bu da oldukça zaman alacaktır.

Oysa ki sekiz milyar insanı bir milyon odaya eşit olarak bölerseniz, her odada 8.000 kişi olur. Ancak er ya da geç bir kişinin kafasından bir kaç tel düşecektir ve eşitlik bozulacaktır. Bu durumda 8.000’den fazla insanı barındıran bir oda mutlaka olacaktır.

Sonuç olarak bu insanlar nasıl bölünmüş olursa olsun, herhangi bir senaryoda, bir odanın en az 8.000 kişi içerdiği anlamına gelir. Yani gezegende aynı miktarda saça sahip en az 8.000 insan var.

Güvercin Yuvası İlkesi Şaşırtıcı Sonuçlar Elde Etmemizi Sağlar

Güvercin Deliği İlkesi, matematikte ilk başta önemsiz gibi görünen, ancak önemli sonuçlara sahip bir kavramdır. Güzelliği basitliğinde yatmaktadır. Uygulamalarına pek çok günlük senaryoda tanık olunabilmektedir.

Böylece güvercin yuvası ilkesinin daha da güçlü bir versiyonunu göstermiş olduk. Eğer n nesne k kategori arasında bölünürse ve n > k ise o zaman en azından n ⁄ k nesne aynı kategoriye aittir. Yani, nesneler çekmeceler arasında eşit olarak dağıtılırsa, ortalama olarak n ⁄ k nesne aynı çekmecede son bulur. ( Eğer n ⁄ k bölümü bir tamsayı değilse, aradığımız minimum değeri bir üst sayıya yuvarlamak gereklidir.)

Başka bir ilginç örnek verelim. 8,5 milyon kişinin yaşadığı bir şehirde en az 23.000 kişi aynı gün doğmuştur. Şehrin nüfusu yaklaşık 8,5 milyon ve birinin doğabileceği 366 farklı takvim günü var. Buna göre en az 8.500.000 / 366 = 23.000 kişi aynı doğum gününe sahip sonucu ortaya çıkar.

Güvercin yuvası ilkesi, görünüşte apaçık ifadelerin bile matematikte büyük bir değere sahip olduğunu gösterir. Ancak bu çok da şaşırtıcı olmamalı. Ne de olsa, matematiğin bir çok alanındaki çalışmalar, olabildiğince basit olan birkaç temel varsayıma dayanmaktadır.


Kaynaklar ve ileri okumalar


Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir Yorum

  1. yani benimle aynı günde doğmuş yaklaşık 230 bin insan var türkiyede. gerçekten ilginçmiş. hiç böyle olacağını tahmin edemezdim. peki aylara göre doğum tarihlerini sıralayacak olursak herkes eşit miktarda mı dağılır ya da daha farklı bir şekilde mi?

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu