Algılarımıza Bile Yön Veren Büyük Sayılar Yasası Nedir?

Büyük sayılar kanunu ya da büyük sayılar yasası, olasılık teorisi ve istatistiğin temellerinden biridir. Uzun vadede, gelecekteki olayların sonuçlarının makul bir doğrulukla tahmin edilebileceğini garanti eder. Bu, finans şirketlerine sigorta fiyatlarını belirleme konusunda güven verir. Aynı zamanda kumarhanelerin müşterilerinden her zaman kâr etmelerini sağlar.

Bir madeni para bir kez havaya atıldığında, tura gelme olasılığının 1/2 olduğu bilinen bir gerçektir. Peki madeni para 50 kez havaya atıldığında ne olur? 25 kez tura mı gelir? Elbette her zaman değil. Çünkü işin içine şans ve başka faktörler karışır. Tura gelme olasılığı az sayıda deneme ile hesaplanırsa beklenen olasılığa uygun bir sonuç ortaya çıkmaz. Yani 4 denemede 2 defa tura gelmeyebilir. Bununla birlikte eğer madeni para adil ise, deneme sayısı arttıkça, tura gelmenin ampirik olasılığı teorik olasılığa yaklaşacaktır. Bu fenomen, büyük sayılar yasasının bir örneğidir. Artık tanıma geçebiliriz.

Büyük Sayılar Yasası Nedir?

İstatistik veriler ile ilgilenir. Ancak elinizde küçük bir veri setiniz varsa, bazı testlerin doğruluğu yanıltıcı olabilir. Bu sorunla mücadele etmenin yolu, büyük veri gruplarıyla çalışmak yani daha fazla gözlem yapmaktır. Büyük sayılar yasası, istatistiksel testlerin en iyi şekilde büyük veri gruplarıyla yapıldığını belirtir. Yasaya göre, meydana gelen bir olay hakkında daha fazla gözlem yaptıkça, o sonucun ölçülen olasılığı (veya şansı), herhangi bir gözlem başlamadan önce hesaplanan teorik şansa daha da yaklaşır.

Başka bir deyişle, çok sayıda denemeden elde edilen ortalama sonuç, olasılık teorisi kullanılarak hesaplanan beklenen değere yakın bir eşleşme olacaktır. Bu durumda deneme sayısının arttırılması, ortalamanın daha da yakın hale gelmesine neden olacaktır.

Grafik bir zarın atılması deneyinin sonuçlarını göstermektedir. Bu deneyde görürüz ki, ilk başta zar atışlarının ortalaması dalgalanmaktadır. Büyük sayılar yasası tarafından öngörüldüğü üzere, gözlem sayısı arttıkça, ortalama, beklenen değerin yani 3,5’in etrafında dengelenmektedir.

Zayıf ve Güçlü Büyük Sayılar Yasası

Rastgele dizilerin sınırlayıcı davranışıyla ilgilenen iki büyük sayı yasası vardır. Birine büyük sayıların “zayıf” yasası, diğerine ise büyük sayıların “güçlü” yasası denir. Adil bir zar attığınızda, 1’den 6’ya kadar olan altı sayıdan her biri için eşit şansınız vardır. Bu durunda zarın beklenen değeri ise 3.5’tir. Bu 3,5 sayısının nasıl meydana çıktığını merak edebilirsiniz. Olasılık teorisinde beklenti veya beklenen değer, bir şeyin olası sonuçlarının olasılığını yansıtan idealleştirilmiş bir ortalamadır. Hesaplama biçimini aşağıda görebilirsiniz.

Bir zarı n defa atarsanız, sayıların her biri n/6 defa gelecektir.

Zayıf büyük sayılar yasasında örneklem ortalaması olasılık sınırları içinde ama bilinmeyen bir olasılıkla ilgili dağılımın ortalamasına yakınsar. Güçlü büyük sayılar yasası ise n büyüdükçe gerçek ortalamanın 3.5’e yaklaştığını söyler. Tahmin ettiğiniz gibi, zayıf Yasa, güçlü Yasa ile karşılaştırıldığında, çok doğru olmayan bir sonuç verir.

Normal Dağılım Eğrisi; Merkezi limit teoremi ile zayıf büyük sayılar yasası birbirine çok yakındır. Her ikisi de dağılımın ortalamasının eğilimini anlatır. Ancak merkezi limit teoremi ortalamaların şekli konusunda fikir sunar. Zayıf büyük sayılar yasası ise gözlem sayısı büyüdükçe ortalamanın alacağı yaklaşık değeri kestirir.

Büyük Sayılar Yasasının Kısaca Tarihçesi

Aslında konuya ilk eğilen 16. yüzyılda yaşamış İtalyan matematikçi Gerolama Cardano olmuştu. Cardano, adil bir zarın altı gelme şansının altıda bir olduğunu bilmenin, bir kumarbaz için hiçbir faydası olmadığını, çünkü olasılığın geleceği tahmin etmediğini ortaya koymuştu.  Olasılık hakkındaki bu fikirler ilerleyen süreçte, Jacob Bernoulli tarafından 1713 yılında yayınlanan Ars Conjectandi adlı çalışmasında toplanmıştır.

1655’te İsviçre’nin Basel kentinde doğan Jacob Bernoulli, teoloji okudu, ancak matematiğe ilgi duydu. 1687’de Basel Üniversitesi’nde matematik profesörü oldu ve hayatının geri kalanında bu pozisyonda kaldı.

Jacob Bernoulli’nin çalışmaları üzerine inşa edilen olasılık teorisi, on sekizinci yüzyılda Laplace ve yirminci yüzyılda Fisher, Neyman ve Pearson gibiler tarafından geliştirildi. İstatistikle birlikte, olasılık teorisi bilim insanının temel bir aracı haline geldi. Ancak 1933 yılına kadar matematiğe tam olarak entegre edilmedi. Olasılık Andrei Kolmogorov sayesinde bugün bildiğimiz halini alabildi. Böylece büyük sayılar kanununun gerçekleşmesini sağlayacak ilkeleri açığa çıkarmıştır. Kolmogorov, şimdi kabul ettiğimiz olasılık aksiyomlarını formüle etti.

Büyük Sayılar Yasasının Algılarımız Üzerine Etkileri

Bu kanunlar sayesinde geleceğe yönelik yapılan kestirimlerde, gerçeği yansıtan değerlere ulaşma şansımız artacaktır. Hayatımızın belli riskler altında sürdüğünü düşünürsek bu kanunların ne kadar işlevsel olduğunu da anlarız. Çağımızın önemli alanlarından biri olan veri madenciliği çalışmaları da bu kanunlarla yol almaktadır.

Mesela sosyal medyada sıklıkla karşımıza çıkan kişilik testleri büyük yüzdelere varan başarı oranlarına sahiptir. Belli soruların cevaplarını bizden ister ve cevapları verip testin sonucuna baktığımızda vay be ne kadar da iyi bildi diye düşünürüz. Testlerin başarısı aslında çoklu sayıda veri kullanımının getirdiği başarıdan kaynaklanır.

Bir başka örneği internet alışverişlerimizden verebiliriz. Son aldığımız ürünlere baktığımızda -diğer insanların alışverişlerde edinmiş oldukları benzer ürünlerin bilgisiyle- alınabilecek diğer ürünlerle karşılaşırız. Bir öneri listesi önümüze düşer. Bu da bizi ihtiyacımız olsun olmasın yeni ürünler almaya yönlendirir.

Yine sıklıkla başımıza gelen bir örnek daha var. Uygulamalar üzerinden dinlediğimiz müzik, izlediğimiz dizi veya programların akışında öneriler sekmesiyle izlenme sayıları sürekli karşımıza çıkar. Bu durumun etkisel olarak en basit hali -zaman yönetimi problemi günümüzün artan şikayetlerinden biri- belki de izleyerek zaman kaybetmek istemeyeceğimiz yeni videoları izlememize yol açmasıdır. Hayatımızın içinden verebileceğimiz örnekleri pek çok farklı alanda çoğaltmamız mümkündür. Örneklerin temelinde ise hakkımızda toplanan bilgilerin oluşturduğu bilgi havuzuyla algılarımıza nasıl yön verildiği yatmaktadır.

Bireysel Etkiden Toplumsal Etkiye Uzanış

Bunlar basit ama önemli bir bireysel etkidir. Çünkü algılarımızı ve değer yargılarımızı değiştirmeye yönelik çalışmaları içerir. Aynı stratejinin kullanımının topluma etkisi ise her alanda muazzam ölçüde artmakta ve geleceğimize yön vermektedir. Üstelik son zamanlarda artan sosyal medya ve internet protokollerinin kullanımındaki güvenlik ihlalleri konusu bu kadar gündemdeyken durumun ciddiyeti daha iyi anlaşılır.

İstatistik bilimi anlatılmaz ölçüde güzelliklerini, çıkar gruplarının elinde bize karşı olumlu ya da olumsuz yapıda göstermektedir. Bu yüzden ünlü oyuncu Sidney Poitier’ın da dediği gibi dilerim herkes yaptığı çalışmaları, pozitif değerlerinin bir yansıması olarak kullanmayı seçer.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Olgun Duran

Ömür boyu öğrencilik felsefesini benimsemiş amatör tiyatro oyuncusu ve TEGV gönüllüsü; kitaplarından, doğaya hayranlığından, yeni yerleri görmekten, gittiği yerlerin kültürünü keşfetmekten ve bunların uğruna çabalamaktan vazgeç(e)meyen kişi...  
Başa dön tuşu