Uygulamalı Matematik

Algılarımıza Bile Yön Veren Büyük Sayılar Yasası

İstatistik veriler ile ilgilenir. Ancak elinizde küçük bir veri setiniz varsa, bazı testlerin doğruluğu yanıltıcı olabilir. Bu sorunla mücadele etmenin yolu, büyük veri gruplarıyla çalışmaktır. Büyük sayılar kanunu ya da büyük sayılar yasası, istatistiksel testlerin en iyi şekilde büyük veri gruplarıyla yapıldığını belirtir. Yani istatistikte tutarlı bir sonuca varabilmek için büyük bir veri noktası grubuna sahip olmak önemlidir.

Bir madeni para bir kez havaya atıldığında, tura gelme olasılığının 1/2 olduğu bilinen bir gerçektir. Peki madeni para 50 kez havaya atıldığında ne olur? 25 kez tura mı gelir? Elbette her zaman değil. Çünkü işin içine şans ve başka faktörler karışır. Tura gelme olasılığı az sayıda deneme ile hesaplanırsa beklenen olasılığa uygun bir sonuç ortaya çıkmaz. Yani 4 denemede 2 defa tura gelmeyebilir. Bununla birlikte eğer madeni para adil ise, deneme sayısı arttıkça, tura gelmenin ampirik olasılığı teorik olasılığa yaklaşacaktır. Bu fenomen, büyük sayılar yasasının bir örneğidir.

Grafik bir zarın atılması deneyinin sonuçlarını göstermektedir. Bu deneyde görürüz ki, ilk başta zar atışlarının ortalaması dalgalanmaktadır. Büyük sayılar yasası tarafından öngörüldüğü üzere, gözlem sayısı arttıkça, ortalama, beklenen değerin yani 3,5’in etrafında dengelenmektedir.

Rastgele dizilerin sınırlayıcı davranışıyla ilgilenen iki büyük sayı yasası vardır. Birine büyük sayıların “zayıf” yasası, diğerine ise büyük sayıların “güçlü” yasası denir. Zayıf büyük sayılar yasasında örneklem ortalaması olasılık sınırları içinde ama bilinmeyen bir olasılıkla ilgili dağılımın ortalamasına yakınsar. Güçlü büyük sayılar kanununda ise örneklem ortalaması, bilinen olasılık değeriyle dağılımın ortalamasına yakınsar. Zayıf Yasa, Güçlü Yasa ile karşılaştırıldığında, çok doğru olmayan bir sonuç verir.

Normal Dağılım Eğrisi; Merkezi limit teoremi ile zayıf büyük sayılar yasası birbirine çok yakındır. Her ikisi de dağılımın ortalamasının eğilimini anlatır. Ancak merkezi limit teoremi ortalamaların şekli konusunda fikir sunar. Zayıf büyük sayılar yasası ise gözlem sayısı büyüdükçe ortalamanın alacağı yaklaşık değeri kestirir.

Büyük Sayılar Yasasının Kısaca Tarihçesi

Aslında konuya ilk eğilen 16. yüzyılda yaşamış İtalyan matematikçi Gerolama Cardano (1501 – 1576) olmuş. Fakat bu yasa, Jacob Bernoulli (1655 – 1705) tarafından 1713 yılında yayınlanan “Ars Conjectandi” adlı eserinde kanıtlanmıştır. Pafnuty Chebyshev (Rus Matematikçi, 1821 – 1894) ise bu yasayı geliştirmeye devam etmiş ve bir rasgele değişkenin dağılımının bilinmediği durumlarda alabileceği değerler için alt veya üst sınırı bulmaya yarayan Chebyshev Eşitsizliğini göstermiştir.

Jacob Bernoulli

Andrey Markov (1856 – 1922), Chebyshev Eşitsizliğini bağımlı rasgele değişkenler üzerine genelleştirmiştir. Ardından Émile Borel (1871 – 1956), Bernoulli teoremini geliştirerek güçlü büyük sayılar kanununu ispatlamıştır. Andrei Kolmogorov ise bağımsız değişkenler için gerek ve yeter koşulları içeren aksiyomlarını sunmuştur. Böylece büyük sayılar kanununun gerçekleşmesini sağlayacak ilkeleri açığa çıkarmıştır.

Büyük Sayılar Yasasının Algılarımız Üzerine Etkileri

Bu kanunlar sayesinde geleceğe yönelik yapılan kestirimlerde, gerçeği yansıtan değerlere ulaşma şansımız artacaktır. Çünkü olasılık teorisi, bir dizi tesadüfi olayın gerçekleşme şansını, uzun bir gözlem neticesinde görülebileceğini öngörür. Bu yüzdendir ki büyük sayılar yasası, deneme sayısı arttıkça tahmin başarısının artacağını belirtir. Hayatımızın belli riskler altında sürdüğünü düşünürsek bu kanunların ne kadar işlevsel olduğunu da anlarız. Çağımızın önemli alanlarından biri olan veri madenciliği çalışmaları da bu kanunlarla yol almaktadır. Büyük veriler (big data), sağlıktan ekonomiye, sosyal iletişim araçlarından pazarlama yöntemlerine kadar yaşantımıza yön verir.

Mesela sosyal medyada sıklıkla karşımıza çıkan kişilik testleri büyük yüzdelere varan başarı oranlarına sahiptir. Belli soruların cevaplarını bizden ister ve cevapları verip testin sonucuna baktığımızda vay be ne kadar da iyi bildi diye düşünürüz. Testlerin başarısı aslında çoklu sayıda veri kullanımının getirdiği başarıdan kaynaklanır. Bir başka örneği internet alışverişlerimizden verebiliriz. Son aldığımız ürünlere baktığımızda -diğer insanların alışverişlerde edinmiş oldukları benzer ürünlerin bilgisiyle- alınabilecek diğer ürünlerle karşılaşırız. Bir öneri listesi önümüze düşer. Bu da bizi ihtiyacımız olsun olmasın yeni ürünler almaya yönlendirir.

Yine sıklıkla başımıza gelen bir örnek daha var. Uygulamalar üzerinden dinlediğimiz müzik, izlediğimiz dizi veya programların akışında öneriler sekmesiyle izlenme sayıları sürekli karşımıza çıkar. Bu durumun etkisel olarak en basit hali -zaman yönetimi problemi günümüzün artan şikayetlerinden biri- belki de izleyerek zaman kaybetmek istemeyeceğimiz yeni videoları izlememize yol açmasıdır. Hayatımızın içinden verebileceğimiz örnekleri pek çok farklı alanda çoğaltmamız mümkündür. Örneklerin temelinde ise hakkımızda toplanan bilgilerin oluşturduğu bilgi havuzuyla algılarımıza nasıl yön verildiği yatmaktadır.

Bireysel Etkiden Toplumsal Etkiye Uzanış

Bunlar basit ama önemli bir bireysel etkidir. Çünkü algılarımızı ve değer yargılarımızı değiştirmeye yönelik çalışmaları içerir. Aynı stratejinin kullanımının topluma etkisi ise her alanda muazzam ölçüde artmakta ve geleceğimize yön vermektedir. Üstelik son zamanlarda artan sosyal medya ve internet protokollerinin kullanımındaki güvenlik ihlalleri konusu bu kadar gündemdeyken durumun ciddiyeti daha iyi anlaşılır.

İstatistik bilimi anlatılmaz ölçüde güzelliklerini, çıkar gruplarının elinde bize karşı olumlu ya da olumsuz yapıda göstermektedir. Bu yüzden ünlü oyuncu Sidney Poitier’ın da dediği gibi dilerim herkes yaptığı çalışmaları, pozitif değerlerinin bir yansıması olarak kullanmayı seçer.

İleri Okumalar ve Büyük Sayılar Yasasının İspatı İçin:

Matematiksel

Olgun Duran

Ömür boyu öğrencilik felsefesini benimsemiş amatör tiyatro oyuncusu ve TEGV gönüllüsü; kitaplarından, doğaya hayranlığından, yeni yerleri görmekten, gittiği yerlerin kültürünü keşfetmekten ve bunların uğruna çabalamaktan vazgeç(e)meyen kişi...  

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu