Aritmetik

Asal Sayılar Şifrelemede Neden ve Nasıl Kullanılır?

Asal sayılar ile ilgili yenir bir gelişme haberi duyurulduğu zaman çoğu kişinin kafasında klişe bir cümle olan “iyi de bu benim ne işime yarayacak?” ister istemez oluşmaktadır. Aslında bir zamanlar, asal sayılarla ilgili keşifler, yalnızca keşfin özü için saygı görmekteydi. Ancak internetin hayatımıza dahil olduğu zamanlardan itibaren bu durum tamamen değişti. Günümüzde internetle iletişime girdiğimiz hemen her noktada asal sayıların bize sağladığı güvenlik sayesinde içimiz rahat bir biçimde işlemlerimize devam ediyoruz. Kısacası asal sayılar şifreleme yani kriptografinin de temelini oluşturuyor.

Asal sayılar, her sayıyı oluşturan temel, bölünmez birimler oldukları için genellikle sayıları oluşturan atomlar olarak adlandırılır. Örneğin, 10 sayısı iki asal sayı olan 2 ve 5’in çarpımı olarak yazılabilir. Aynı biçimde istersek 150 sayısı da 2, 3 ve 5 cinsinden yazılabilir. Yaptığımız bu işlemin adı asal çarpanlara ayırmadır. Ve aslında belli bir uzunlukta bir sayının asal çarpanlarına ayrılması temel eğitim almış herhangi bir kişi için fazla da zor bir süreç değildir. Çarpanlara ayırma için bildiğimiz en etkili teknik verilen sayıyı sırayla kendisinden küçük asal sayılara bölerek sonucun tamsayı çıkıp çıkmayacağını kontrol etmektir. Bir bilgisayar için, her biri 100 basamak uzunluğundaki iki asal sayıyı çarpmak o kadar da zor değildir. Ancak büyük bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak süper bilgisayarlar için bile oldukça zaman alıcıdır.

kriptoloji

Asal Sayılar ve Şifreleme

Kriptografi ya da şifreleme okunabilir durumdaki bir verinin içerdiği bilginin istenmeyen taraflarca anlaşılamayacak bir hale dönüştürülmesinde kullanılan yöntemlerin tümüdür. Kriptoloji bir matematik bilimidir ve genelde sayılar teorisi üstüne kuruludur. Bu sayıların başında da asal sayılar gelir. İletişim kurmak isteyen iki kişinin birbirlerine e-posta aracılığı ile ileti göndermesini göz önünde tutalım. Bu iletiler birçok bilgisayardan geçmektedir. Bir kullanıcıdan diğer kullanıcıya gittiğinde daha önce açılıp okunmadığını veya açılıp üstünde değişiklik yapmadığını bilemeyiz. Bu yüzden devreye şifreleme girmektedir.

Şifreleme teknikleri genelde bu yazıyı daha önce hazırlanmış bir algoritma ile şifreli bir metin haline getirir. Bilgiler sizin bilgisayarınızca kilitleme anahtarı işini gören özel bir sayı kullanılarak şifrelenir ve diğer kullanıcıya vardığında oradaki bilgisayar tarafında açma anahtarı yardımıyla özgün haline dönüştürülür. Açma anahtarına sahip olmayan biri bu mesajı okuyamaz. Bu durumda biri kilitlemek diğeri de açmak için birbirine uyumlu iki sayıya ihtiyaç vardır. Ayrıca açma anahtarı bilgilerinin de internet sağlayıcı tarafından gizli tutulması gerekmektedir. Buna karşılık kilitleme anahtarı da sizin bilgisayarınızda olmalıdır.

RSA Şifreleme Algoritması

RSA şifreleme
Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman

Bu anlattığımız süreç RSA şifreleme sistemi olarak bilinir. Amerikalı Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman bu algoritmayı 1977 yılında geliştirilmiş ve isimlerinin baş harflerini de bu algoritmaya vermişlerdir. RSA algoritması, en popüler ve güvenli açık anahtar şifreleme yöntemlerinden biridir. Algoritma, çok büyük (100-200 basamaklı) sayıları çarpanlarına ayırmanın etkili bir yolu olmadığı gerçeğinden yararlanır. Detaylara girmeden açıklamak gerekirse internet sağlayıcı rastgele iki tane asal sayı belirler. Sonra bu iki sayının çarpımları olan sayıyı herkesin görebileceği şekilde yayınlar. İşte bu çarpım mesajınızın kilitleme anahtarıdır. İnternet sağlayıcı güvenli iletişim için mesajları bu anahtar ile şifreler. Bu şifreyi açabilmek için gizlenen iki asal sayıyı bilmek gereklidir.

Diyelim ki C sayısı P ve Q asal sayılarının çarpımından oluşmaktadır. Bu durumda kredi kartı bilgilerinizi şifrelerken, C numarası “genel” anahtarı oluşturmak için kullanılır. Bu anahtar, adından da anlaşılacağı gibi, ağdaki herhangi biri tarafından okunabilir. Ancak okumak bu şifreyi çözmeye yetmez çünkü bankaların, işlemlerinizi güvence altına almak için 617 basamak uzunluğunda genel anahtarlar kullandığı bilinmektedir. Bu sayıların asal çarpanlarını bulabilmek çok güçlü bilgisayarlar için bile şimdilik neredeyse imkansızdır. Bu şifreyi sadece siz sahip olduğunuz özel anahtar yani bildiğiniz P ve Q asal sayıları sayesinde açabilirsiniz.

Yukarıda şimdilik dememizin nedeni teknolojinin akıl almaz bir hızla ilerlemesidir. Kuantum bilgisayarlar çarpanlara ayırma konusunda kullandığımız sıradan bilgisayarlara göre çok daha hızlı ve başarılı olabilirler. Neyse ki yaygınlaşmaları için muhtemelen on yıllar var. Ancak söz konusu güvenli sistemi sürdürebilmek için matematikçiler de hiç durmadan daha büyük asal sayılar aramaya devam ediyorlar.

Kaynaklar ve ileri okumalar: The science of encryption: prime numbers and mod n arithmetic; https://math.berkeley.edu

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler