Matematikte “en zor problem” diye nesnel bir sıralama yapmak mümkün değildir. Yine de bazı sorular, çözülmeleri için geçen süre, geliştirdikleri yeni matematiksel yöntemler veya kanıtlarının büyüklüğü nedeniyle diğerlerinden ayrılır. Bu yazıda, matematik tarihine damga vurmuş dokuz çözülmüş problem ve teoremi ele alacağız.
1) Kepler Varsayımı
1611 yılında Johannes Kepler çok basit görünen bir soru sordu: Eş büyüklükteki küreleri uzayda en sıkı biçimde nasıl dizeriz?
Aslında bu düzeni günlük hayatta sık sık görürüz. Manavda üst üste dizilmiş portakallar buna iyi bir örnektir. Kepler, portakalların bu şekilde dizilmesinin mümkün olan en verimli yerleşim olduğunu düşündü. Başka bir deyişle, küreleri ne kadar farklı dizersek dizelim, uzayda bundan daha az boşluk bırakmak mümkün olmayacaktı.
Kepler’in önerdiği düzenlerde küreler toplam hacmin yaklaşık %74’ünü doldurur. Geri kalan bölüm boşluk olarak kalır. Ancak asıl soru şuydu: Daha karmaşık ve düzensiz bir yerleşim bu oranı aşabilir miydi?
Bu soru yaklaşık dört yüzyıl boyunca açık kaldı. 1998’de Amerikalı matematikçi Thomas Hales, çok sayıda olası yerleşimi bilgisayar yardımıyla inceleyen kapsamlı bir kanıt sundu. Kanıt öylesine karmaşıktı ki hakemler bütün ayrıntıları geleneksel yöntemlerle tamamen doğrulamakta zorlandı.
Hales bunun üzerine kanıtı bilgisayarların adım adım denetleyebileceği biçimde yeniden kurmaya girişti. Flyspeck adı verilen bu proje yıllarca sürdü ve 2014’te tamamlandı.
Böylece Kepler’in 1611’de ortaya attığı fikir yaklaşık 400 yıl sonra kesinlik kazandı: Eş küreleri uzayda daha sıkı paketlemek mümkün değildi.
2) Poincaré Sanısı
2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü, matematiğin en büyük çözülememiş sorularından yedisini “Milenyum Problemleri” adıyla duyurdu. Enstitü, bu problemlerden herhangi birini çözen kişiye 1 milyon dolar ödül vereceğini açıkladı. Bugün bu yedi problemden yalnızca Poincaré Sanısı çözüldü.
Henri Poincaré, 1904 yılında üç boyutlu uzayların yapısıyla ilgili temel bir soru sordu. Kapalı ve basit bağlantılı bir üç boyutlu uzay, mutlaka üç boyutlu bir küreyle aynı topolojik yapıya mı sahipti?
“Basit bağlantılı” olmak, kabaca şu anlama gelir: Uzayın içine çizilen herhangi bir kapalı halka, yüzeyi terk etmeden bir noktaya kadar küçültülebilir. İki boyutta bunu anlamak daha kolaydır. Bir kürenin yüzeyindeki her halka büzülebilirken, simidin deliğini çevreleyen bir halka bunu yapamaz.
Buradaki “üç boyutlu küre” ifadesi gündelik hayattaki dolu bir top anlamına gelmez. Matematikte üç boyutlu küre, dört boyutlu uzayda düşünülebilen bir yüzeydir. Nasıl ki iki boyutlu bir küre yüzeyi, üç boyutlu uzayda bir topun dış yüzeyi olarak düşünülebiliyorsa, üç boyutlu küre de bunun bir boyut yüksek karşılığıdır.
Poincaré’nin sorusu yaklaşık bir yüzyıl boyunca çözülemedi. Rus matematikçi Grigori Perelman, 2002 ve 2003 yıllarında arXiv’de yayımladığı üç çalışmayla problemi çözdü. Matematikçiler kanıtı birkaç yıl boyunca ayrıntılı biçimde inceledikten sonra sonucu kabul etti.
Perelman 2006’da Fields Madalyası’na, 2010’da ise Clay Matematik Enstitüsü’nün 1 milyon dolarlık Milenyum Ödülü’ne layık görüldü. Ancak her iki ödülü de reddetti.
3) Fermat’ın Son Teoremi
Pierre de Fermat, matematiği meslek olarak yapmıyordu; hukukçuydu. Buna rağmen sayı teorisinin gelişiminde büyük iz bıraktı ve ölümünden sonra matematikçilerin yüzyıllarca uğraşacağı birçok problem bıraktı. Bunların en ünlüsü Fermat’nın Son Teoremi oldu.
Teorem, ilk bakışta Pisagor teoremini hatırlatır. Bazı pozitif tam sayılar için x² + y² = z² eşitliği sağlanabilir. Örneğin 3² + 4² = 5².
Fermat ise üs 2’den büyük olduğunda ne olacağını sordu. Acaba xⁿ + yⁿ = zⁿ denkleminin, n > 2 için pozitif tam sayı çözümleri var mıydı?
Fermat’nın cevabı hayırdı. Bu iddiayı, Diophantos’un Arithmetica adlı kitabının kenarına yazdı ve elinde “gerçekten harika bir kanıt” bulunduğunu, ancak sayfa kenarının bunu yazmak için fazla dar olduğunu belirtti. Bu kısa not, matematik tarihinin en uzun süren bilmecelerinden birine dönüştü.
Genel kanıt üç yüzyıldan uzun süre bulunamadı. İngiliz matematikçi Andrew Wiles, 1993’te bir kanıt sundu. Ancak kısa süre sonra kanıtta bir boşluk fark edildi. Wiles, Richard Taylor ile birlikte bu sorunu giderdi ve nihai kanıt 1995’te yayımlandı.
Wiles’ın yöntemi, Fermat’nın döneminde bilinmeyen eliptik eğriler ve modüler formlar gibi modern matematiksel araçlara dayanıyordu. Bu nedenle matematikçilerin çoğu, Fermat’nın gerçekten genel bir kanıta sahip olduğundan kuşku duyar.
4) Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılması
Soyut cebirin temel kavramlarından biri gruptur. Gruplar, bir nesnenin simetrilerini ya da belirli işlemlerin nasıl birleştiğini matematiksel olarak incelememizi sağlar. Sonlu grupların eleman sayısı sınırlıdır. Ancak eleman sayısı arttıkça farklı grup yapılarının sayısı ve aralarındaki ilişkiler hızla karmaşıklaşır. Matematikçiler bu karmaşıklığı anlamak için grupların temel yapı taşlarını araştırdı.
Bu yapı taşlarına basit grup denir. Basit gruplar, kabaca, daha küçük gruplara ayrılarak açıklanamayan yapılardır. Bu yönleriyle asal sayılara benzetilebilirler. Nasıl asal sayılar doğal sayıların temel çarpanlarını oluşturuyorsa, basit gruplar da sonlu grupların yapısını anlamada temel rol oynar.
20. yüzyılın en büyük matematik projelerinden biri, bütün sonlu basit grupları sınıflandırmak oldu. Onlarca yıl süren çalışmalar sonunda bunların belirli sonsuz ailelere ve bunların dışında kalan 26 sporadik gruba ayrıldığı ortaya çıktı.
Bu sonuç yüzlerce matematikçinin katkısıyla, yüzlerce makaleye yayılan ve toplamda binlerce sayfayı bulan bir kanıt ortaya çıktı.
5) Dört Renk Teoremi
Dört Renk Teoremi, anlatması kolay ama kanıtlaması son derece zor bir problemi ele alır. Bir harita ve dört renkli kalem düşünün. Kural basittir: Ortak sınır paylaşan iki bölge aynı renge boyanmayacaktır.
Bu fikir ilk kez 1852’de Francis Guthrie tarafından ortaya atıldı. 19. yüzyılda her haritanın beş renkle boyanabileceği kanıtlandı. Ancak beş rengi dörde indirmek çok daha zor çıktı ve problem bir yüzyıldan fazla süre çözülemedi.
1976’da Illinois Üniversitesi’nden Kenneth Appel ve Wolfgang Haken, problemi sonlu sayıda özel duruma indirgedi. Ardından bu durumları bilgisayar yardımıyla tek tek kontrol ettiler. Çalışmalarında 1936 temel yapı incelendi ve bunların hiçbirinin teoreme karşı örnek oluşturamayacağı gösterildi.
Bu sonuç matematik tarihinde önemli bir dönüm noktasıydı. Dört Renk Teoremi, bilgisayar desteğiyle kanıtlanan ilk büyük teoremlerden biri oldu. Ancak bu durum başlangıçta tartışma yarattı. Bazı matematikçiler, insan eliyle baştan sona denetlenemeyen bir kanıtın ne kadar güvenilir sayılabileceğini sorguladı.
Zamanla Appel ve Haken’in kanıtı kabul gördü. 1990’larda Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour ve Robin Thomas daha kısa ve düzenli bir kanıt geliştirdi. Yine de bilinen kanıtlar bilgisayar desteğine dayanmaya devam ediyor.
6) Süreklilik Hipotezi
19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor, sonsuzluğun tek bir büyüklüğü olmadığını gösterdi. Örneğin doğal sayılar sonsuzdur, reel sayılar da sonsuzdur; ancak reel sayıların oluşturduğu sonsuzluk daha büyüktür.
Buradan şu soru doğdu: Doğal sayıların sonsuzluğu ile reel sayıların sonsuzluğu arasında başka bir sonsuzluk büyüklüğü var mıdır?
Süreklilik Varsayımı, böyle bir ara büyüklük olmadığını söyler. Başka bir deyişle, reel sayıların sonsuzluğu doğal sayıların sonsuzluğundan sonra gelen ilk daha büyük sonsuzluk olmalıdır. Matematikçiler uzun süre bu varsayımı kanıtlamaya ya da çürütmeye çalıştı. Ancak ortaya çok daha şaşırtıcı bir sonuç çıktı.
Kurt Gödel, 1938’de Süreklilik Varsayımı’nın matematikte yaygın olarak kullanılan standart küme teorisi kurallarıyla çelişmediğini gösterdi. Paul Cohen ise 1963’te ters yönde ilerledi ve varsayımın reddedilmesinin de aynı kurallarla çelişmeden mümkün olduğunu kanıtladı.
Bu standart kurallar bütününe genellikle ZFC aksiyomları denir.. Gödel ve Cohen’in çalışmaları, Süreklilik Varsayımı’nın bu aksiyomlardan bağımsız olduğunu gösterdi. Yani yalnızca ZFC’yi kullanarak varsayımın ne doğru olduğunu kanıtlayabiliriz ne de yanlış olduğunu gösterebiliriz.
Bu sonuç modern matematik açısından çok önemliydi. Çünkü bazı sorularda mesele daha güçlü bir hesaplama ya da daha yaratıcı bir kanıt bulmak değildir. Bazen cevap, hangi temel aksiyomları kabul ettiğimize bağlıdır.
7) Gödel’in Eksiklik Teoremleri
Matematik uzun süre, yeterince sağlam kurallar üzerine kurulursa her doğru önermenin sonunda kanıtlanabileceği bir alan olarak düşünüldü. 20. yüzyılın başlarında birçok matematikçi, tüm matematiği tek ve eksiksiz bir sistem içinde temellendirmeyi umuyordu. Ancak Kurt Gödel, 1931’de yayımladığı Eksiklik Teoremleri ile bunun mümkün olmadığını gösterdi.
Birinci Eksiklik Teoremi kabaca şunu söyler. Yeterince güçlü ve tutarlı bir matematik sisteminde, doğru olduğu hâlde o sistemin kurallarıyla kanıtlanamayan ifadeler vardır.
Gödel bu fikri, kendi kanıtlanabilirliği hakkında konuşan özel bir matematiksel ifade kurarak gösterdi. Bu ifade sezgisel olarak şöyle okunabilir: “Bu sistem içinde kanıtlanamam.” Eğer sistem bu ifadeyi kanıtlarsa çelişkiye düşer. Sistem tutarlıysa ifadeyi kanıtlayamaz; ancak bu durumda ifade gerçekten doğru olur.
Gödel’in İkinci Eksiklik Teoremi de benzer biçimde şaşırtıcıdır. Yeterince güçlü ve tutarlı bir matematik sistemi, kendi içinde çelişki olmadığını yalnızca kendi kurallarını kullanarak kanıtlayamaz.
Gödel böylece matematiğin gücünü değil, biçimsel sistemlerin sınırlarını ortaya koydu. Ne kadar güçlü olursa olsun, tek bir sistemin bütün matematiksel doğruları kendi içinde kanıtlaması mümkün değildir.
8) Katalan Varsayımı
1844 yılında Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan, sayıların kuvvetleri arasında dikkat çekici bir örüntü fark etti. 8 ve 9 ardışık iki sayıdır; üstelik her ikisi de birer tam kuvvettir.
Catalan şu soruyu sordu: 1’den büyük üsler söz konusu olduğunda, buna benzer başka iki ardışık tam kuvvet var mı? Başka bir deyişle, xᵐ − yⁿ = 1 denkleminde, x, y, m ve n sayıları 1’den büyük olduğunda başka çözümler bulunabilir miydi?
Catalan’ın tahmini, cevabın hayır olduğuydu. Ona göre 8 ve 9 bu özelliğe sahip tek ardışık sayı çiftiydi. Fakat bunu kanıtlamak sanıldığı kadar kolay değildi. Problem 150 yıldan fazla süre boyunca açık kaldı. Sonunda Romen matematikçi Preda Mihăilescu, 2002 yılında varsayımı kanıtladı.
Böylece gerçekten de 3² − 2³ = 1 eşitliğinin, 1’den büyük tam sayı taban ve üsler için tek çözüm olduğu gösterildi. Bugün bu sonuç çoğu zaman Mihăilescu Teoremi olarak anılır.
9) Beşinci Derece Denklemler Neden Genel Bir Formülle Çözülemez?
Lisede öğrendiğimiz ikinci dereceden denklem formülünü hatırlarsınız. Ezberlemesi çok kolay değildir ama büyük bir avantajı vardır. Her ikinci derece denklemin köklerini doğrudan bulmamızı sağlar.
Benzer genel formüller üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için de vardır. Ancak beşinci dereceye geldiğimizde durum değişir. Her beşinci derece denklem için geçerli tek bir kök formülü yoktur.
19. yüzyılın başlarında Paolo Ruffini ve Niels Henrik Abel, genel beşinci derece denklemlerin yalnızca dört işlem ve kök alma işlemleriyle çözülemeyeceğini gösterdi. Fakat asıl derin soru şuydu: Neden bazı denklemler bu yöntemlerle çözülebiliyor da bazıları çözülemiyordu?
Bu soruya en güçlü yanıtı genç Fransız matematikçi Évariste Galois verdi. Galois, bir denklemin kökleri arasındaki simetrileri inceleyerek bugün Galois Teorisi dediğimiz yapının temelini attı.
Bu teori sayesinde matematikçiler yalnızca genel bir formülün olmadığını öğrenmekle kalmadı. Ayrıca hangi denklemlerin radikallerle çözülebileceğini belirleyen yapısal ölçütü de elde etti. Galois 1832’de, yalnızca 20 yaşındayken bir düelloda öldü. Fikirleri ise ölümünden sonra modern cebirin en önemli temellerinden birine dönüştü.
Bu yazının ardından hâlâ çözüm bekleyen problemleri de merak ediyorsanız, “Henüz Çözülememiş 11 Matematik Problemi ile Tanışın” başlıklı yazımıza göz atabilirsiniz.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved. Yayınlanma tarihi: 28 Kasım 2022. Bağlantı : The 10 Hardest Math Problems That Were Ever Solved (popularmechanics.com)
Matematiksel
