Matematik, çözülmüş ve hâlâ çözülememiş birçok zor matematik problemi ile doludur. Bu yazıda, bir dönem çözümsüz görülen ancak matematikçilerin çığır açan çalışmalarıyla yanıt bulan dokuz probleme bakacağız.
1) Üç Küp Problemi
Douglas Adams’ın bilim kurgu serisi Otostopçunun Galaksi Rehberi’nde bir süper bilgisayara “yaşamın, evrenin ve her şeyin nihai cevabı” sorulur. Derin Düşünce adlı bu bilgisayar, 7,5 milyon yıl süren hesaplamadan sonra cevabı verir: 42. Ancak ortada küçük bir sorun vardır. Kimse bu cevabın hangi soruya ait olduğunu bilmez.
Üç küp problemi de ilginç bir tesadüfle 42 sayısına bağlanır. Problem modern biçimiyle 1950’lerde gündeme geldi. Soru basit görünüyordu: Bir k sayısı için x³ + y³ + z³ = k denklemini sağlayan tam sayılar bulunabilir mi?
Modern matematikçiler 1 ile 100 arasındaki uygun sayılar için çözümleri yavaş yavaş buldu. Bazı sayılar kolaydı. Örneğin 29 sayısı 3³ + 1³ + 1³ biçiminde yazılabilir. Bazı sayılar ise onlarca yıl boyunca direnç gösterdi. 2016’ya gelindiğinde 100’den küçük uygun sayılar arasında yalnızca 33 ve 42 için çözüm bilinmiyordu.
2019’da Bristol Üniversitesi’nden Andrew Booker, 33’ün gerçekten üç küpün toplamı olarak yazılabildiğini gösterdi. Böylece 100’den küçük sayılar arasında tek eksik sayı 42 kaldı.
Fakat 42 daha zor çıktı. Booker bu kez MIT’den matematikçi Andrew Sutherland ile çalıştı. İkili, Charity Engine adlı küresel bilgisayar ağını kullandı. Bu ağ, dünyanın farklı yerlerindeki yüz binlerce gönüllü bilgisayarın boşta kalan işlem gücünü birleştiriyordu. Hesaplama 1 milyon saatten fazla sürdü. Sonunda 2019’da 42 için çözüm bulundu.
Çözüm şuydu: 42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³. Böylece Douglas Adams’ın ünlü 42’si, bu kez matematikte de uzun süredir beklenen bir cevaba dönüştü.
2) Poincaré Sanısı
2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü, matematiğin en büyük çözülememiş sorularından yedisini “Milenyum Problemleri” adıyla duyurdu. Enstitü, bu problemlerden herhangi birini çözen kişiye 1 milyon dolar ödül vereceğini açıkladı. Bugün bu yedi problemden yalnızca Poincaré Sanısı çözüldü.
Henri Poincaré, 1904 yılında şu soruyu ortaya attı: Kapalı ve sınırsız bir üç boyutlu uzayda her kapalı eğri bir noktaya kadar büzülebiliyorsa, bu uzay mutlaka üç boyutlu bir küre midir?
Daha basit söylersek, Poincaré şunu anlamaya çalışıyordu: Üzerinde hiçbir delik bulunmayan üç boyutlu kapalı bir uzay, zorunlu olarak küreyle aynı yapıya mı sahiptir?
Buradaki “üç boyutlu küre” ifadesi gündelik hayattaki dolu bir top anlamına gelmez. Matematikte üç boyutlu küre, dört boyutlu uzayda düşünülebilen bir yüzeydir. Nasıl ki iki boyutlu bir küre yüzeyi, üç boyutlu uzayda bir topun dış yüzeyi olarak düşünülebiliyorsa, üç boyutlu küre de bunun bir boyut yüksek karşılığıdır.
Poincaré’nin sorusu yaklaşık bir yüzyıl boyunca çözülemedi. Sonunda Rus matematikçi Grigori Perelman, 2002 ve 2003 yıllarında arXiv adlı çevrim içi arşivde yayımladığı üç makaleyle bu sorunu aştı.
İspat, matematikçiler tarafından yıllar süren incelemeden sonra kabul edildi. 2006’da Perelman’a Fields Madalyası verildi, ancak o bu ödülü reddetti. 2010’da Clay Matematik Enstitüsü, Poincaré Sanısı’nı çözdüğü için ona 1 milyon dolarlık Milenyum Ödülü’nü verdi. Perelman bu ödülü de kabul etmedi.
3) Fermat’ın Son Teoremi
Pierre de Fermat, 17. yüzyılda yaşamış Fransız bir hukukçu ve matematikçiydi. Matematik onun için resmi bir meslekten çok, tutkuyla uğraştığı bir alandı. Buna rağmen sayı teorisinin gelişiminde büyük iz bıraktı. Ölümünden sonra geriye, matematikçilerin yıllarca hatta yüzyıllarca uğraşacağı birçok iddia bıraktı.
Bu iddiaların en ünlüsü Fermat’nın Son Teoremi’ydi. Bugün “zor matematik problemi” denince akla gelen ilk örneklerden biri hâlâ budur. Teorem, ilk bakışta Pisagor teoremini hatırlatır. Pisagor teoreminde bazı pozitif tam sayılar için x² + y² = z² denklemi sağlanabilir. Örneğin 3² + 4² = 5² olur.
Fermat ise aynı denklemin üs 2’den büyük olduğunda ne olacağını sordu. Örneğin x³ + y³ = z³ denkleminin pozitif tam sayı çözümleri var mıydı? Peki üs 4, 10, 50 ya da çok daha büyük bir sayı olursa sonuç değişir miydi?
Fermat’nın cevabı hayırdı. Ona göre n sayısı 2’den büyükse, xⁿ + yⁿ = zⁿ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümü yoktu.
Fermat, Diophantos’un Arithmetica adlı kitabının kenarına bu iddiayı kanıtladığını yazdı. Ancak ardından ünlü notunu ekledi: Sayfa kenarı, bu kanıtı yazmak için fazla dardı. Bu kısa not, matematik tarihinin en uzun süren bilmecelerinden birine dönüştü.
Yüzyıllar boyunca matematikçiler, Fermat’nın gerçekten bir kanıta sahip olup olmadığını tartıştı. Ancak genel kanıt uzun süre bulunamadı.
Bu soru, Fermat’nın ölümünden 330 yıl sonra çözüldü. İngiliz matematikçi Andrew Wiles, 1993’te Fermat’nın Son Teoremi için bir ispat sundu. Fakat kısa süre sonra ispatta bir boşluk bulundu. Wiles, eski öğrencisi Richard Taylor ile birlikte bu boşluğu kapattı ve matematik dünyası tarafından kabul edildi.
Wiles’ın kanıtı, Fermat’nın yaşadığı dönemde bilinmeyen birçok modern fikre dayanıyordu. Eliptik eğriler, modüler formlar ve Taniyama-Shimura sanısı bu kanıtın merkezinde yer aldı. Bu nedenle çoğu matematikçi, Fermat’nın gerçekten genel bir kanıta sahip olmadığına inanır.
4) Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılması
Soyut cebir, Rubik Küpü’nü çözmekten Futurama dizisindeki beden değiştirme sahnelerini açıklamaya kadar pek çok yerde karşımıza çıkar. Bu alanın temel kavramlarından biri “grup”tur.
Bir grup, kabaca, belirli kurallara göre birleştirilebilen simetrilerden ya da işlemlerden oluşur. Gruplar sonlu ya da sonsuz olabilir. Sonlu gruplar, yalnızca belirli sayıda elemana sahiptir. Örneğin 2 ya da 3 elemanlı gruplarda yalnızca bir olasılık vardır. Ancak 4 elemanlı gruplara geldiğimizde iki farklı yapı ortaya çıkar. Eleman sayısı büyüdükçe olasılıklar hızla karmaşıklaşır.
Bu nedenle matematikçiler, sonlu grupları anlamak için önce onların yapı taşlarına odaklandı. Bu yapı taşlarına “basit grup” denir. Basit gruplar, daha küçük ve anlamlı parçalara ayrılamayan gruplardır. Bir bakıma asal sayıların doğal sayılar içindeki rolüne benzer bir rol oynarlar.
20. yüzyılın en büyük matematiksel projelerinden biri bu yüzden Sonlu Basit Grupların Sınıflandırması oldu. Amaç, tüm sonlu basit grupların eksiksiz listesini çıkarmaktı. Sonuçta bu grupların birkaç büyük aileye ve 26 istisnai gruba ayrıldığı anlaşıldı.
Bu sınıflandırma tek bir makaleyle tamamlanmadı. Yüzlerce matematikçinin onlarca yıl süren çalışmasıyla ortaya çıktı. Bugün Sonlu Basit Grupların Sınıflandırması, modern matematiğin en büyük ortak başarılarından biri sayılır. Yine de hikâye tamamen bitmiş değildir. Kanıtın daha kısa, daha düzenli ve daha okunabilir bir biçimde yeniden yazılması için çalışmalar hâlâ sürüyor.
5) Dört Renk Teoremi
Dört Renk Teoremi, söylenmesi kolay ama kanıtlanması çok zor bir problemi anlatır. Bir harita ve dört renkli kalem alın. Kural basittir: Ortak sınır paylaşan iki bölge aynı renge boyanamaz.
Dört renk fikri ilk kez 1852’de Francis Guthrie tarafından ortaya atıldı. 19. yüzyılda her haritanın beş renkle boyanabileceği kanıtlandı.
Ancak beş rengi dörde indirmek çok daha zor çıktı. Problem 1976’ya kadar çözülemedi. Illinois Üniversitesi’nden Kenneth Appel ve Wolfgang Haken, kanıtı sonlu sayıda özel duruma indirgedi. Ardından bu durumları bilgisayar yardımıyla kontrol etti. Çalışmalarında 1936 temel yapı incelendi ve bunların hiçbirinin teoreme karşı örnek oluşturamayacağı gösterildi.
Bu sonuç matematik tarihinde büyük bir dönüm noktasıydı. Çünkü Dört Renk Teoremi, bilgisayar yardımıyla kanıtlanan ilk büyük teoremlerden biri oldu. Ancak tam da bu yüzden başlangıçta tartışma yarattı. Birçok matematikçi, insan eliyle satır satır kontrol edilemeyen bir kanıtın ne kadar güvenilir sayılabileceğini sorguladı.
Zamanla Appel ve Haken’in kanıtı kabul gördü. Daha sonra 1990’larda Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour ve Robin Thomas kanıtı sadeleştirdi. Yine de bilinen kanıtlar bilgisayar desteğine dayanmayı sürdürdü.
6) Süreklilik Hipotezi
19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor, sonsuzluk kavramını kökten değiştirdi. Cantor, tüm sonsuzlukların aynı büyüklükte olmadığını gösterdi. Örneğin doğal sayıların sonsuzluğu ile reel sayıların sonsuzluğu aynı değildir.
Buradan önemli bir soru doğdu: Reel sayıların sonsuzluğu, doğal sayıların sonsuzluğundan hemen sonraki büyüklük müdür? Başka bir deyişle, doğal sayılar ile reel sayılar arasında büyüklüğü bu ikisinin arasında kalan başka bir sonsuz küme var mıdır?
Bu soru Süreklilik Varsayımı olarak bilinir. Eğer varsayım doğruysa, doğal sayıların sonsuzluğu ile reel sayıların sonsuzluğu arasında başka bir sonsuzluk derecesi yoktur. Eğer yanlışsa, bu ikisinin arasında başka sonsuz büyüklükler vardır.
Uzun süre matematikçiler bu sorunun doğru mu yanlış mı olduğunu bulmaya çalıştı. Ancak sonuç beklenenden daha garip çıktı.
Kurt Gödel, 1938’de bu varsayımın kabul edilmesinin küme teorisiyle çelişmediğini gösterdi. Paul Cohen ise 1963’te bunun tersini yaptı. Süreklilik Varsayımı’nın reddedilmesinin de çelişkiye yol açmadığını kanıtladı.
Buradaki sonuç şudur: Elimizdeki standart kurallar, Süreklilik Varsayımı hakkında karar vermeye yetmez. Bu kurallarla çalışırsak, varsayımın doğru olduğunu da kanıtlayamayız, yanlış olduğunu da gösteremeyiz.
Diğer bir deyişle, Süreklilik Varsayımı’nı doğru kabul eden bir sistem kurmak mümkündür. Ya da onu yanlış kabul eden başka bir sistem de kurulabilir. Her iki durumda da, sistem kendi içinde çelişkiye düşmez.
Bu sonuç modern matematik için çok önemliydi. Çünkü bazı soruların cevabı yalnızca daha fazla hesaplama yapmakla ya da daha iyi bir kanıt bulmakla ortaya çıkmaz. Bazen hangi başlangıç kurallarını kabul ettiğimiz, alacağımız cevabı belirler. Süreklilik Varsayımı bunun en ünlü örneklerinden biridir.
7) Gödel’in Eksiklik Teoremi
Matematik, uzun süre boyunca mutlak kesinliğin alanı olarak görüldü. Ancak Kurt Gödel, Eksiklik Teoremleri ile bunun bir yanılsama olduğunu gösterdi.
1931 yılında Kurt Gödel, matematik hakkında çok şaşırtıcı bir sonuç buldu. O dönemde birçok matematikçi, tüm matematiği tek ve sağlam bir temel üzerine kurmak istiyordu. Gödel bunun mümkün olmadığını gösterdi.
Birinci Eksiklik Teoremi şunu söyler: Yeterince güçlü bir matematik sisteminde, doğru olduğu hâlde o sistem içinde kanıtlanamayan ifadeler vardır.
Bunu şöyle düşünebiliriz. Bir ifade şöyle desin: “Ben kanıtlanamam.” Eğer bu ifade gerçekten kanıtlanırsa, söylediği şey yanlış çıkar. Çünkü ifade kanıtlanamayacağını söylüyordu. Bu durumda sistemde çelişki doğar. Eğer ifade kanıtlanamazsa, söylediği şey doğru olur. O zaman elimizde doğru ama kanıtlanamayan bir ifade vardır.
Gödel’in ikinci teoremi de benzer biçimde şaşırtıcıdır. Buna göre yeterince güçlü bir matematik sistemi, kendi içinde çelişki olmadığını yine kendi kurallarıyla kanıtlayamaz.
Bu sonuç matematikçiler için büyük bir dönüm noktasıydı. Çünkü Gödel, matematiğin çok güçlü olsa bile bazı sınırları olduğunu gösterdi. Her doğruyu aynı sistem içinde kanıtlamak mümkün değildir.
8) Asal Sayı Teoremi
Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır. 2, 3, 5, 7 ve 11 buna örnektir. Sayılar büyüdükçe asal sayıları bulmak zorlaşır. Çünkü asal sayılar sayı doğrusu üzerinde düzenli aralıklarla yer almaz.
Küçük sayılar arasında asal sayılara daha sık rastlarız. Büyük sayılara gittikçe asal sayılar arasındaki boşluklar genellikle artar.
Asal Sayı Teoremi tam da bu konuda bize bilgi verir. Teorem, hangi sayıların asal olduğunu tek tek söylemez. Bunun yerine, belirli bir sayıya kadar yaklaşık kaç asal sayı bulunduğunu söyler. Örneğin çok büyük bir N sayısı seçelim. Asal Sayı Teoremi’ne göre, N’den küçük asal sayıların sayısı yaklaşık olarak N / log(N) kadardır.
Bu fikri ilk olarak Gauss ve Legendre gibi matematikçiler fark etti. Teoremi ise Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée Poussin 1896’da birbirlerinden bağımsız olarak kanıtladı.
9) Galois Teorisi ve Çözülemeyen Denklemler
Lisede öğrendiğimiz ikinci dereceden denklem formülünü hatırlarsınız. Ezberlemesi kolay değildir, ama çok kullanışlıdır. Çünkü herhangi bir ikinci dereceden denklemin köklerini doğrudan bulmamızı sağlar.
Benzer formüller üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için de vardır. Ancak bu formüller çok daha karmaşıktır. Beşinci dereceden denklemlerde ise durum değişir. Her beşinci derece denklem için geçerli genel bir kök formülü yoktur.
Bu sonuç, Évariste Galois’nın çalışmalarıyla anlam kazandı. Galois, 1832’de henüz 20 yaşındayken bir düelloda öldü. Fikirleri yaşadığı dönemde tam anlaşılamadı. Ancak ölümünden sonra bu fikirler, bugün Galois Teorisi dediğimiz büyük bir matematiksel yapıya dönüştü.
Galois Teorisi, bir denklemin köklerle çözülüp çözülemeyeceğini anlamamızı sağlar. Günümüzde biliyoruz ki ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için böyle formüller vardır. Ama beşinci dereceden itibaren her denklem için geçerli bir formül yoktur.
Galois’nın büyük katkısı, bu farkı açıklayan ölçütü bulmasıydı. Böylece matematikçiler yalnızca “çözüm formülü yok” demekle kalmadı; neden olmadığını da anlamış oldu.
Sonuç Olarak;
Bir zamanlar çözümsüz görülen bu dokuz zor matematik problemi, bugün matematik tarihinin önemli başarıları arasında yer alıyor. Ancak bu, matematiğin tamamlandığı anlamına gelmiyor. Hâlâ yanıt bekleyen birçok büyük soru var. Matematiği etkileyici kılan da tam olarak bu: Her çözüm, yeni soruların kapısını açıyor.
Bu yazının ardından hâlâ çözüm bekleyen problemleri de merak ediyorsanız, “Henüz Çözülememiş 11 Matematik Problemi ile Tanışın” başlıklı yazımıza göz atabilirsiniz.
Kaynaklar ve İleri Okumalar
- These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved. Yayınlanma tarihi: 28 Kasım 2022. Bağlantı : The 10 Hardest Math Problems That Were Ever Solved (popularmechanics.com)
Matematiksel
