Açıyı Üçe Bölme Sorunu: Ellisli Hippias Ve Kuadratriks Eğrisi

Antik çağda geometrinin en önemli sorunlarından bir tanesi sadece işaretli olmayan bir cetvel ve pergel kullanarak verilen bir açıyı üç eşit parçaya bölme ile ilgiliydi. Bu problemi çözme çabalarında da bir dizi dahiyane eğri icat edilmişti. İşte bu eğrilerden bir tanesi de Ellisli Hippias tarafından bulunmuştur. Kendisi kuadratriks ( Quadratrix ) eğrisi vasıtasıyla açıyı üçe bölen mekanik bir çözüm geliştirmiştir. Çalışması hareketli parçalar tarafından oluşturulan bir kinetik eğri örneğidir.

M.Ö. beşinci yüzyılın sonlarına doğru Atina’da adlarına Sofistler dediğimiz halka açık özel dersler vererek maddi kazanç sağlayıp yaşamını sürdüren bir grup profesyonel öğretmen ortaya çıktı. İşte bu öğretmenlerden biri de diğer arkadaşlarına nazaran daha çok maddi kazanç sağlamasıyla övünen Ellis’li Hippias’dır. Aslında övünmesi gereken asıl noktalardan biri kendi adıyla anılan ve günümüze kadar ulaşan kuadratriks eğrisidir.

Hippias’ın aklına bu yöntem nasıl geldi bilemiyoruz ama işlerliği noktasında hemfikir olmak durumundayız. Hippias işe öncelikle bir kare çizmekle başlamış. Sonrasında bu kare içerisine karenin bir kenar uzunluğu yarıçapında köşesi karenin bir köşesi olan çeyrek çember çizmiş. Herhangi bir oranda eşit parçalara bölünecek açı ABC olsun. Şimdi AB doğ­ru parçasını BC doğru parçasına paralel kalmak üzere düzgün bir hareketle aşağı doğru kaydırırken, DA doğru parçasını da D noktası sabit kalmak üzere saat ibresi yönünde yine düzgün bir hareketle döndürelim. Bu düzgün hareketler sonunda DA doğru parçası ile AB doğru parçalarının kesim noktalarının geometrik yeri Hippias’ın kuadratriks eğrisidir. Bu yay yardımıyla her açı istenilen oranda eşit parçalara bölünebilir. Aşağıdaki animasyonda bunu daha net bir biçimde görebilirsiniz.

Kuadratriks Eğrisi İle Açıyı Üçe Bölme

Kırmızı eğri Hippias’ın kuadratriksidir

Amacımız HBC açısını üçe bölmek olsun. HB doğru parçasının kuadratriksi kestiği nokta olan K noktasından BC ye bir dikme indirelim. İndirdiğimiz dikme olan KI doğru parçasını üç eş parçaya bölelim. Biraz geometri bilgisi ile şu eşitliği yazabiliriz:

L noktasından tabana paralel olarak çizilen doğru parçasının kuadratriksi kestiği nokta ile B noktası birleştirildiğinde oluşan NBC açısı HBC açısının üçte biri olacaktır. Dolayısıyla HBC açısını üçe bölme görevini tamamlamış olduk. Hippias’ ın bulduğu bu eğri ile verilen bir açıyı istenen oranda eşit açılara bölmesinden bir kaç yıl sonra, Dinostratus bu eğriyi dairenin alanını kareleştirmede kullanmıştır. Gerçekten, bu eğriyle dairenin alanına eşit bir kare çizme olanağı vardır. Dikkat edilirse, Hippias’ın eğrisi yalnız pergel ve ölçüsü olmayan cetvelle çizilecek türde değildir. Bu nedenle çözüm Platon tarafından kabul edilmemiştir.

Kaynakça:

  1. Matematik Tarihi, David M. BURTON (çev. edt. Prof. Dr. Soner DURMUŞ)
  2. Hippias; https://tr.wikipedia.org/wiki/Hippias
  3. Quadratrix of Hippias; https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratrix_of_Hippias

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

2 Yorum

  1. Yazabiliriz dediğiniz eşitlik nerede , bunu bir deklemle ifade edersek dediğiniz denklem nerede ?
    Bu arada ; denklem= eşitlik

  2. Mükemmele yakın bir şekilde açıyı üçe bölme yöntemini biliyorum. Mükemmel mi değil mi bi bakmak isteye bilirsiniz belki 🙂

Başa dön tuşu