Antik Çağ’ın üç klasik geometri probleminden biri, verilen herhangi bir açıyı yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergel kullanarak üç eşit parçaya bölme problemiydi. İlk bakışta oldukça basit görünen bu soru, yüzyıllar boyunca birçok matematikçiyi meşgul etti.
Burada dikkat edilmesi gereken nokta, problemin herhangi bir açı için geçerli olmasıdır. Çünkü 90° ya da 45° gibi bazı özel açılar kolayca üçe bölünebilir. Ancak amaç, verilen her açıyı aynı yöntemle üçe bölebilmekti.
Yunan matematikçileri bu problemi çözmek için uzun süre uğraştı. Klasik araçlarla başarılı olamayınca yeni yöntemler geliştirmeye başladılar. Bu arayışların en ilginçlerinden biri, MÖ 5. yüzyılda Elisli Hippias’ın geliştirdiği kuadratriks eğrisiydi.
Elisli Hippias Kimdir?
Elisli Hippias, MÖ 460 dolaylarında yaşamış bir sofistti. Sofistler, farklı kentleri dolaşarak ücret karşılığında ders veren gezgin öğretmenlerdi. Hippias da matematik, astronomi, tarih, şiir, müzik ve hitabet gibi birçok alanda ders verdiği anlatılan çok yönlü bir kişiydi.
Hippias hakkında bildiklerimizin önemli bir bölümü Platon’un diyaloglarından gelir. Ancak Platon sofistlere eleştirel yaklaştığı için bu anlatıları dikkatli değerlendirmek gerekir. Platon, Hippias’ı gösteriş meraklısı biri olarak tanıtır. Buna karşılık kaynaklar onun güçlü hafızası, geniş ilgileri ve gezgin öğretmen kimliğiyle tanındığını gösterir.
Hippias’ın matematik tarihindeki en önemli katkısı, yaklaşık MÖ 420 yılında geliştirdiği kuadratriks eğrisidir. Ona atfedilebilen başka bir matematik çalışması bilinmemektedir. Buna rağmen kuadratriks, doğru ve çember dışında tanımlanan ilk özel eğrilerden biri kabul edilir. Eğri başlangıçta açıyı üçe bölmek için tasarlanmış, daha sonra çemberi kareleme probleminde de kullanılmıştır.
Kuadratriks Eğrisi Nedir?
Kuadratriks adı Latince quadratrix sözcüğünden gelir ve “kareleştiren eğri” anlamına gelir. Oysa Hippias bu eğriyi başlangıçta çemberi karelemek için değil, herhangi bir açıyı üçe bölmek amacıyla geliştirmişti. Eğri, daha sonra çemberi kareleme probleminde de kullanılınca bu adla anılmaya başlandı.
Kuadratriks, yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergelle çizilemeyen ilk özel eğri örneklerinden biridir. Bu eğri tek hamlede çizilmez. Nokta nokta oluşturulur ve iki hareketin birlikte işlemesiyle tanımlanır. Bu yönüyle kuadratriks, Yunan matematikçilerinin klasik araçların dışına çıkmaya başladığını gösteren önemli bir örnektir.
Şekilde ABCD bir kare olsun. Aynı anda iki hareket başlar. AD doğrusu, A noktası etrafında sabit açısal hızla dönerek AB doğrusuyla çakışacak konuma gelir. Aynı anda A’B’ doğrusu, DC kenarından başlayarak kendisine paralel biçimde sabit hızla aşağı iner ve sonunda AB doğrusuna ulaşır.
Hareket boyunca dönen doğru ile aşağı inen A’B‘ doğrusunun kesiştiği nokta F olur. Hareket devam ettikçe F noktası yer değiştirir. F noktasının izlediği yol, şekilde kırmızı renkle gösterilen kuadratriks eğrisini oluşturur.
Kuadratriks Açıyı Nasıl Üçe Böler?
Kuadratriksin en önemli özelliği, açının büyüklüğü ile F noktasının konumu arasında sabit bir ilişki kurmasıdır. Dönen doğru hangi açıdaysa, F noktası da aşağı doğru aynı oranda ilerlemiş olur. Böylece açının büyüklüğü, doğru üzerindeki bir uzunluğa dönüştürülmüş olur.
Bundan sonra işlem oldukça basittir. Önce FH uzunluğu üç eşit parçaya bölünür. Daha sonra bu bölme noktalarından geçen yatay doğrular kuadratriksi keser. Elde edilen kesişim noktaları A noktasıyla birleştirildiğinde, başlangıçtaki açı da üç eşit parçaya ayrılmış olur.
Bu yöntem, açıyı doğrudan üçe bölmek yerine, önce bir doğru parçasını üçe bölme problemine dönüştürür. Kuadratriks eğrisi de bu dönüşümü sağlayan araçtır.
Bu yapım yöntemi daha sonra eleştirildi. Çünkü kuadratriksin tanımı, iki hareketin tam olarak aynı anda başlayıp aynı anda bitmesine dayanır. Bu da yalnızca basit bir cetvel ve pergel çizimi değildir.
Ayrıca kuadratriksin çemberi kareleme probleminde kullanılması daha büyük bir sorun doğurur. Eğrinin alt kenar üzerindeki son noktası doğrudan elde edilemez. Bu nokta ancak bir limit noktası olarak düşünülebilir. Bu nedenle kuadratriks, çemberi kareleme problemine klasik kurallar içinde geçerli bir çözüm sağlamaz.
Yine de kuadratriks, açıyı üçe bölme probleminde yeni eğrilerin nasıl kullanılabileceğini göstermesi bakımından matematik tarihinde önemli bir yere sahiptir.
Açıyı üçe bölme problemi, Antik Çağ’ın üç klasik geometri probleminden yalnızca biridir. Diğer iki problem de en az bunun kadar ilginçtir. Okumak isterseniz: Antik Çağ’ın Üç Problemi Nedir?
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Kopp, Ekkehard. (2020). Chapter 9.: Counting beyond the finite. 10.11647/obp.0236.09.
- Heilbron, J.L.. “Trisecting the Angle: The Quadratrix of Hippias”. Encyclopedia Britannica, 27 Apr. 2001, https://www.britannica.com/topic/Trisecting-the-Angle-The-Quadratrix-of-Hippias-1688521. Accessed 22 May 2024.
- Quadratrix of Hippias; https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratrix_of_Hippias
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
Yazabiliriz dediğiniz eşitlik nerede , bunu bir deklemle ifade edersek dediğiniz denklem nerede ?
Bu arada ; denklem= eşitlik
Mükemmele yakın bir şekilde açıyı üçe bölme yöntemini biliyorum. Mükemmel mi değil mi bi bakmak isteye bilirsiniz belki 🙂