Geometri

Antik Çağın Çözülemeyen Üç Problemi

Çözümsüz soruların cazibesi, matematiğin can damarıdır. Herkes biraz gizemi sever ve bu durum matematikçiler için de geçerlidir. Sayılar teorisi veya soyut cebir gibi konular onların oyun alanıdır. Çoğu zaman, bir sorunun çözümü yenilerini ortaya çıkarır. Muhtemelen sonu asla gelmeyecek bu süreç devam eder. Antik Yunanlılar da zamanında geometri konusunda takıntılıydı. Öklit’in Elementler kitabı çeşitli geometri problemlerine çözümler getirmiştir. Ancak bazı soruları da cevapsız bırakmıştı. Bu sorular antik çağın üç problemi olarak bilinir.

antik çağ

Antik Çağın Üç Problemi

Birazdan okuyacağınız üç problem de sadece ölçüsüz cetvel ve pergel kullanarak bir çözüm bulmanız gerekiyor. ( Unutmayın Antik Çağ’da yaşıyorsunuz). Ölçüsüz cetvel ve ile sadece verilen iki noktayı birleştiren bir doğru çizebiliriz. Pergel ile de merkezi ve yarıçapı verilen bir çember çizebiliriz. Bu iki aletin bunlar dışında kullanımına izin yok. Üç problem siz ce bu biçimde çözülebilir mi? Gelin göz atalım.

1.Çemberin Karelenmesi: Bir çember verildiğinde, yine sadece bir cetvel ve pusula kullanarak, daire ile aynı alana sahip bir kare oluşturmak mümkün müdür?

On dokuzuncu yüzyıla gelindiğinde matematikçiler bunun mümkün olmadığını ispatladılar. Ve bu ispat geometri değil cebir fikrini barındırıyordu. Belki de ispatın bu kadar gecikmesinin bir sebebi de bu olabilir. Şimdi nedenine göz atalım. Yarıçapı r olan bir dairenin alanı π x r2  dir. Aynı alana sahip bir karenin bir kenarı da a birim olsun. Bu durumda π x r2 = a2 olmalıdır. Buradan da a değerini hesaplamak için pi sayısının karekökünü almamız gerekir. Yani sadece bu iki aracı kullanarak karekök pi uzunluğunu çizersek problem çözülmüş olur. Ama ne yazık ki bu mümkün değildir. Ferdinand von Lindemann tarafından 1882 yılında pinin aşkın bir sayı olduğu ve aşkın sayıların da sadece cetvel ve pergel yardımıyla çizilemeyeceğinin gösterilmesiyle bu serüven son bulmuş oldu.

2. Delos Problemi – Küpün Hacmini İki Katına Çıkartmak: Ölçüsüz cetvel ve pergel ile verilen bir küpün hacmini iki katına çıkarmak mümkün müdür?

Ölçüsüz cetvel ve pergel ile verilen bir karenin alanını iki katına çıkarmanın yolu: Bir kenarı a birim olan karenin alanının iki katına eşit olan bir kare çizmek istiyoruz. Karenin alanı a2 dir. Bizden istenen yeni karenin bir kenarı b birim olsun. Bu durumda b2=2a2 olmalıdır. Buradan da b=a√2 biçiminde olacaktır. O halde bize verilen bir a birim uzunluğundaki doğru parçasının kök iki  katını çizebilirsek problem çözülmüş olur. Çözüm de aşağıdaki şekilde görülmektedir.

Verilen bir karenin alanının iki katına eşit olan bir kareyi bu araçlarla elde ettikten sonra, akla üç boyuta geçerek bu sorunun gelmesi gayet tabi bir durumdur. Lakin düzlemde başarılabilen uzayda başarılamamıştır.

3. Bir Açının Üçe Bölünmesi: Rasgele bir açı verildiğinde, sadece bir cetvel ve pergel kullanarak onu üç eşit parçaya bölmek mümkün müdür?

Açımız 90 derece olursa bunu yapmak zor değildir. Ayrıca ölçüsüz cetvel ve pergel ile herhangi bir açı çok kolay bir şekilde iki eş parçaya ayrılabilir. Aşağıdaki şekilde bunu görmek mümkündür. Peki üç eş parçaya ayrılması mümkün mü?

Antik Çağın Üç Problemi Neden Çözülememişti?

1837’de Paris’teki Ecole Polytechnique’den Pierre Wantzel (1814-1848) herhangi bir açının sadece ölçüsüz cetvel ve pergel kullanılarak üçe bölünemeyeceği ile ilgili ilk formel ispatı verdi. Liouville’in  Journal de Mathematiques dergisinde yayınlanan aynı makalede, Wantzel küpün iki katına çıkartılması probleminin anlamsızlığını da özel bir yöntemle gösterdi. Bu sonucun anahtarı bu iki problemin denklemler teorisindeki sorulara dönüştürülmesiydi. Wantzel ölçüsüz cetvel ve pergelle inşa edilebilecek rasyonel katsayılı polinom bir denklemin çözümüne izin veren basit cebirsel kriterler elde etti. Klasik geometri problemleri olan açının üçe bölünmesi ve küpün iki katına çıkartılması Wantzel’in şartlarını sağlamayan bir kübik denklem vermektedir ve sonuç olarak söz konusu inşalar gerçekleştirilemez.

Artık biliyoruz ki, Antik Yunanlıların bu problemleri çözme girişimleri, başından itibaren başarısızlığa mahkumdu. Bunun nedeni bir şeyi gözden kaçırmış olmaları ya da işlerin yolunda gitmemesi değildi. Sadece günümüzde sahip olduğumuz sıradan hesaplama araçlarına sahip değillerdi.

Kaynakça: BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel Yaşam: Mart 2017

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu