Yunan matematikçileri, geometriyi yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvelle kurmaya çalışıyordu. Ancak zamanla bu iki araçla tam olarak çözülemeyen problemlerle karşılaştılar. Bunlardan üçü geometri tarihinde ayrı bir yere sahip oldu. Bugün bunlar Antik Çağ’ın üç klasik geometri problemi olarak bilinir.
Bugün biliyoruz ki bu üç problem, yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanılarak çözülemez. Böyle bir çözüm için ya doğru ve çember dışında yeni eğriler kullanmak ya da klasik geometrinin izin verdiğinin ötesine geçen çizim araçlarından yararlanmak gerekir.
Yunan matematikçileri bunu bilmiyordu. Bu yüzden yüzyıllar boyunca farklı yöntemler geliştirdiler, yeni eğriler tanımladılar ve çeşitli mekanik araçlar tasarladılar. Bu arayışlar problemleri çözmedi. Ancak geometrinin gelişmesine önemli katkılar sağladı
Antik Çağın Üç Klasik Problemi Nedir?
1.Çemberin Karelenmesi:
Plutarkhos’un aktardığına göre Anaksagoras, hapisteyken zamanını çemberi kareleme problemiyle geçirdi. Bu, matematikçileri iki bin yıldan fazla süre meşgul edecek problemin bilinen ilk kaydıdır. Daha sonra problemin amacı netleşti. Yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanılarak, verilen bir çemberle aynı alana sahip bir kare çizilmek isteniyordu.
Verilen bir çemberle tam olarak aynı alana sahip bir kare çizme problemi, günümüz matematiğinde analizle ilişkilidir. Bu nedenle konu bugün matematiksel analiz içinde ele alınır. Yunan matematikçileri ise problemi daha çok geometrik bir çizim sorunu olarak gördü.
Bu konuda ilk dikkat çekici girişimlerden biri, MÖ 5. yüzyılda yaşamış Sakızlı Hippokrates’ten geldi. Burada sözünü ettiğimiz kişi, hekim Koslu Hipokrat değil, Antik Yunan matematikçisi Sakızlı Hippokrates’tir.
6. yüzyılda filozof Simplikios’un aktardığına göre Hippokrates, iki çemberin alanları arasındaki oranın, çaplarının ya da yarıçaplarının kareleri arasındaki orana eşit olduğunu göstermişti.
Hippokrates’in bu sonuca, çemberlerin içine benzer düzgün çokgenler çizerek ulaştığı düşünülür. Çokgenlerin kenar sayısı arttıkça şekiller çembere giderek daha fazla yaklaşır. Böylece çokgenler için geçerli olan alan oranının çemberler için de geçerli olduğu sonucuna varılmıştır.
On dokuzuncu yüzyıla gelindiğinde matematikçiler bu problemin neden çözülemediğini gösterdi. Yarıçapı r olan bir çemberin alanı πr²’dir. Bu çemberle aynı alana sahip bir karenin bir kenarı a olsun. Bu durumda a² = πr² olur. Buradan da a = r√π olur.
Ferdinand von Lindemann, 1882 yılında π’nin aşkın bir sayı olduğunu kanıtladı. Bu kanıt, √π uzunluğunun ölçüsüz cetvel ve pergelle elde edilemeyeceğini de gösterdi. Böylece çemberi kareleme probleminin klasik kurallar altında çözülemeyeceği kesin olarak açıklanmış oldu.
2. Delos Problemi – Küpün Hacmini İki Katına Çıkartmak:
Küpü iki katına çıkarma problemi, daha çok Delos problemi adıyla bilinir. Delos, bugün Mykonos yakınlarında, Ege Denizi’ndeki Kiklad Adaları içinde yer alan bir Yunan adasıdır. Antik dönemde ise önemli bir kutsal merkezdi.
Rivayete göre Delos halkı, büyük bir veba salgını sırasında Apollon kahinine başvurdu. Kahin, Apollon’a adanmış küp biçimindeki sunağın hacminin iki katına çıkarılmasını istedi.
İlk bakışta çözüm basit görünüyordu. Küpün kenar uzunluklarını iki katına çıkarmak yeterli olmalıydı. Ancak bu işlem hacmi iki katına değil, sekiz katına çıkarıyordu. Böylece yeni bir soru ortaya çıktı. Verilen bir küpün hacmini tam iki katına çıkaracak yeni küpün ayrıtı nasıl bulunabilirdi?
Sakızlı Hippokrates, bu problemi farklı bir bakış açısıyla ele aldı. Soruyu doğrudan küpü büyütmek yerine, iki ara orantı bulma problemine dönüştürdü. Bu yaklaşım, sonraki bütün çözüm denemelerine yön verdi.
Yaklaşık bir yüzyıl sonra Antik Yunan matematikçisi Menaikhmos, bu fikri daha da ileri taşıdı. Menaikhmos, iki ara orantıyı bulmak için parabol ve hiperbol kullandı. Bu eğrilerin kesişim noktası, aranan uzunluğu veriyordu. Ancak bu çözüm yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergel kullanılmadığı için klasik geometri kuralları içinde geçerli sayılmadı.
Delos problemi Antik Yunan’dan sonra da önemini korudu. Osmanlı matematikçisi Molla Lütfi, Taz’îfü’l-Mezbah adlı eserini bu probleme ayırdı. Delos efsanesini aktardı, küpün kenarlarını iki katına çıkarmanın hacmi sekiz katına çıkardığını açıkladı ve problemi iki ara orantı yöntemiyle ele aldı.
Bugün bu problemin neden çözülemediğini biliyoruz. Küpü iki katına çıkarmak için yeni küpün ayrıtının, başlangıçtaki ayrıtın ∛2 katı olması gerekir. Ancak yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergelle oluşturulabilen uzunluklar belirli cebirsel kurallarla sınırlıdır.
Bu nedenle Delos problemi, klasik geometri araçlarıyla çözülemez. Bu durum 1837 yılında Fransız matematikçi Pierre Wantzel tarafından matematiksel olarak kanıtlandı
3. Bir Açının Üçe Bölünmesi:
Antik Çağ’ın üçüncü klasik problemi, verilen herhangi bir açıyı üç eşit parçaya bölmekti. Bu problem de birçok Yunan matematikçisini uzun süre uğraştırdı.
Bazı özel açılar yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergelle üçe bölünebilir. Ancak problem, herhangi bir açının aynı yöntemle üçe bölünüp bölünemeyeceğiydi. Yunan matematikçileri bunu başaramayınca başka yöntemler geliştirdi. Farklı eğrilerden, işaretli cetvellerden ve mekanik araçlardan yararlandılar.
Açıyı üçe bölme problemi için geliştirilen yöntemlerden biri, Elisli Hippias’a aittir. Hippias, bir açıyı istenen sayıda eş parçaya bölmek için özel bir eğri düşündü. Bu eğriye daha sonra quadratrix adı verildi.
Bir kare düşünelim. Karenin üst kenarı, başlangıçtaki konumuna paralel kalacak biçimde sabit hızla aşağı doğru iner. Aynı anda karenin sol kenarı, sol alt köşe etrafında sabit açısal hızla saat yönünde döner. İki hareket aynı anda başlar ve aynı anda biter. Dönen doğru parçasının üst ucu, karenin içinde bir eğri çizer.
Quadratrix yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvelle çizilebilen bir eğri değildir. Bu yüzden klasik kurallar içinde çözüm sağlamaz. Yine de fikri anlamak zor değildir. Eğri, iki düzenli hareketin birleşimiyle oluşur.
Sonunda Pierre Wantzel, 1837’de bu konuda ilk kesin kanıtı verdi. Paris’teki École Polytechnique’de çalışan Wantzel, herhangi bir açının yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergelle üçe bölünemeyeceğini gösterdi.
Sonuç Olarak
Tüm bu çabalar boşa gitmedi. Yunan matematikçileri imkânsız olanı başarmaya çalışırken, bazen de kuralları değiştirmek zorunda kaldı. Bu arayışlar yeni eğrilerin, yeni yöntemlerin ve daha gelişmiş matematiksel düşüncenin ortaya çıkmasını sağladı.
Klasik kurallar içinde amaçlarına ulaşamadılar. Ancak bu başarısızlık, matematik tarihinde başka açılardan büyük bir başarıya dönüştü.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- BURTON, M. David. Matematik Tarihi Giriş, (çev. editörü Prof. Dr. Soner DURMUŞ), Nobel;: Mart 2017
- Trisecting the angle with a straightedge; Yayınlanma tarihi: Bağlantı: https://plus.maths.org
- Rediske, Arthur. (2018). The Trisection of an Arbitrary Angle. JOURNAL OF ADVANCES IN MATHEMATICS. 14. 7640-7669. 10.24297/jam.v14i2.7402.
Matematiksel
