Temel Matematik

Bir Dakikada Matematik: Asal Sayı Teoremi Nedir?

Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil bilim ile yolu kesişen tüm insanların ilgisini çekmiştir. Bunun temel nedeni tüm pozitif tamsayıların, asal sayılardan oluşturulabilmesidir. Bu nedenle de asal sayılar bir yerde tamsayıların temel yapı taşları gibidir. Bu yüzden de insanlar onları ilginç bulur. Binlerce yıldır sonsuz sayıda asal sayı olduğunu biliyoruz. (İspatı için buraya bakın). Ancak bir sayının asal sayı olup olmadığını bize söyleyen basit bir formül yok. Günümüzde bilgisayar algoritmaları, giderek daha büyük asal sayıları bulmamızı sağlasa da elimizde bir formül olmadığı için hiçbir zaman hepsini yazamayacağız. Neyse ki asal sayı teoremi bize asal sayıların diğer tam sayılar arasında nasıl dağıldığı hakkında bir şeyler söyler.

Asal Sayı Teoremi Nedir?

Asal sayı teoremi bize verilen herhangi bir pozitif reel sayıya eşit veya ondan küçük olan asal sayıların sayısını verir. Başka bir deyişle bir pozitif n tamsayısı verildiğinde, n’ye kadar ve n dahil kaç tam sayı asal sayı olduğunu söyler. Ancak asal sayı teoremi bunu tam olarak yanıtlamaz. Bunun yerine yaklaşık bir değer verebilir. Basitçe söylemek gerekirse, n tamsayısı için n/ ln(n) n dahil ve n’ye kadar olan asal sayıların sayısı için iyi bir tahmindir ve n büyüdükçe tahmin daha doğru olur.

Örnek olarak, n=1.000 alalım. 1.000’e kadar (bu listeden bakabilirsiniz) asal sayıların gerçek sayısı 168’dir. Tahminimiz ise 1000/ln(1000) hesaplaması sonucunda yaklaşık olarak 145 yapar. Bu oldukça iyi bir tahmindir. Bunun neden iyi bir tahmin olduğunu görelim. Örneğimizde gerçek değer 168 ve bizim bulduğumuz yaklaşık değer ise 145 idi. Bu ikisini birbirine oranlarsak 145/168 sonucu 0,86 yapacaktır. Diğer bir deyişle tahminimizin gerçek sonucun %86 kadarını bilebildiğini anlarız. Bu çok da fena sayılmaz.

Bir başka örnek verelim. Bu sefer n=100.000 alalım. Bu sayıya kadar normalde 9.592 tane asal sayı vardır. n= 100.000 değerini formülümüzde yerine yazarsak da yaklaşık 8686 elde ederiz. Bu iki değeri birbirine oranlarsak da 8686/ 9592 sonucu bize yaklaşık 0,9 verecektir. Bu mevcut asal sayıların %90’ını bulabildiğimiz anlamına gelir. Kesinlikle biraz önceki tahminden daha iyidir. Bu nedenle asal sayı teoremi bize büyük n değerleri için n/log (n) hesaplamasının gerçek değerin %100’üne yakın olduğunu söyler. Yeterince büyük n değerleri seçerseniz sonucun neredeyse %100 olmasını sağlayabilirsiniz.

Kırmızı eğri, n’ye kadar ve n dahil olmak üzere asal sayıların sayısını gösterir. ( n yatay eksendir) Mavi eğri ise n/ln(n) değerini gösteriyor. Gerçek sonuç ile yaklaşık arasındaki fark n büyüdükçe artar, ancak iki değer arasındaki oran 1’e yaklaşma eğilimindedir.

Asal Sayı Teoreminin Genellenmesi

Daha genel bir biçimde ifade etmek gerekirse asal sayı teoremi aşağıdaki formüldeki gibi ifade edilir. π (n) n’den küçük veya ona eşit olan asal sayıların sayısı anlamına gelmektedir. Buradaki π ifadesinin bizim bildiğimiz π sayısı ile bir ilgisi yoktur. π (n) asal sayı sayma fonksiyonu gibi düşünülmelidir. Örneğin, π(10) = 4 olur. Çünkü 10’a eşit veya daha küçük dört asal sayı vardır (2, 3, 5 ve 7). Benzer şekilde, π(100) = 25 tir. Çünkü ilk 100 tam sayının 25’i asaldır.

1 trilyona kadar sıralı bir pozitif tamsayı listeniz olsa bile, kimse manuel olarak kaçının asal sayı olduğunu belirlemek istemez. π(1,000,000,000,000) burada devreye girer. Teorem bize π(n)’nin n/ ln(n)’ye “asimptotik olarak eşit” olduğunu söyler.(Asimptotik bir eşitliği yaklaşık bir eşitlik olarak düşünebilirsiniz, ancak teknik olarak bundan daha fazlasıdır.) 1 triyonu teoremde yerine yazarsak gerçek yanıttan yalnızca yaklaşık %4 oranında hata payı oluşur. Bu da oldukça iyi bir tahmindir.

x sayısı yeterince büyük π(x) yaklaşık olarak x/ ln(x ) sayısına eşittir

Kısacası asal sayı teoremi asal sayıların pozitif tam sayılar arasında asimptotik dağılımını tanımlar. Asal sayıların büyüdükçe daha az yaygın hale geldiği sezgisel fikrini, bunun meydana gelme hızını kesin olarak ölçerek resmileştirir. Teorem, 1896’da Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée Poussin tarafından Bernhard Riemann’ın ortaya attığı fikirler (özellikle Riemann zeta fonksiyonu) kullanılarak kanıtlanmıştır.

Ayrıca Göz Atmak İsterseniz…

Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Marianne on August; Maths in a minute: The prime number theorem; Yayınlanma tarihi: 25Ağustos 2021; Yayınlandığı Yer: plus.maths; Bağlantı: https://plus.maths.org
  • Prime number theorem; https://en.wikipedia.org
  • Mathematicians Will Never Stop Proving the Prime Number Theorem; Yayınlanma tarihi: 22 Temmuz 2020; Yayınlandığı Yer: Quantamagazine.; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu