Temel Matematik

Asal Sayı Teoremi Nedir? Neden Gereklidir?

Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil, bilim ile yolu kesişen tüm insanların ilgisini çekmiştir. Bunun temel nedeni tüm pozitif tamsayıların, asal sayılardan oluşturulabilmesidir. Bu nedenle de asal sayılar bir yerde tamsayıların temel yapı taşları gibidir. Bunun sonucunda da insanlar onları ilginç bulur.

2000 yıldan daha uzun bir süre önce, Öklid sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtlamıştı, (İspatı için buraya bakın). Ancak bir sayının asal sayı olup olmadığını bize söyleyen basit bir formül yok. Günümüzde bilgisayar algoritmaları, giderek daha büyük asal sayıları bulmamızı sağlasa da elimizde bir formül olmadığı için hiçbir zaman hepsini yazamayacağız. Neyse ki asal sayı teoremi bize asal sayıların diğer tam sayılar arasında nasıl dağıldığı hakkında bir şeyler söyler.

Asal Sayı Teoremi Nedir?

Asal sayı teoremi bize verilen herhangi bir pozitif reel sayıya eşit veya ondan küçük olan asal sayıların sayısını verir. Başka bir deyişle bir pozitif n tamsayısı verildiğinde, n’ye kadar ve n dahil kaç tam sayı asal sayı olduğunu söyler. Ancak asal sayı teoremi bunu tam olarak yanıtlamaz. Bunun yerine yaklaşık bir değer verebilir. Basitçe söylemek gerekirse, n tamsayısı için n/ ln(n) n dahil ve n’ye kadar olan asal sayıların sayısı için iyi bir tahmindir ve n büyüdükçe tahmin daha doğru olur.

Örnek olarak, n=1.000 alalım. 1.000’e kadar (bu listeden bakabilirsiniz) asal sayıların gerçek sayısı 168’dir. Tahminimiz ise 1000/ln(1000) hesaplaması sonucunda yaklaşık olarak 145 yapar. Bu oldukça iyi bir tahmindir. Örneğimizde gerçek değer 168 ve bizim bulduğumuz yaklaşık değer ise 145 idi. Bu ikisini birbirine oranlarsak 145/168 sonucu 0,86 yapacaktır. Diğer bir deyişle tahminimizin gerçek sonucun %86 kadarını bilebildiğini anlarız. Bu çok da fena sayılmaz.

Bir başka örnek verelim. Bu sefer n=100.000 alalım. Bu sayıya kadar normalde 9.592 tane asal sayı vardır. n= 100.000 değerini formülümüzde yerine yazarsak da yaklaşık 8686 elde ederiz. Bu iki değeri birbirine oranlarsak da 8686/ 9592 sonucu bize yaklaşık 0,9 verecektir. Bu mevcut asal sayıların %90’ını bulabildiğimiz anlamına gelir. Kesinlikle biraz önceki tahminden daha iyidir. Bu nedenle asal sayı teoremi bize büyük n değerleri için n/log (n) hesaplamasının gerçek değerin %100’üne yakın olduğunu söyler. Yeterince büyük n değerleri seçerseniz sonucun neredeyse %100 olmasını sağlayabilirsiniz.

Kırmızı eğri, n’ye kadar ve n dahil olmak üzere asal sayıların sayısını gösterir. ( n yatay eksendir) Mavi eğri ise n/ln(n) değerini gösteriyor. Gerçek sonuç ile yaklaşık arasındaki fark n büyüdükçe artar, ancak iki değer arasındaki oran 1’e yaklaşma eğilimindedir.

Asal Sayı Teoreminin Genellenmesi

Daha genel bir biçimde ifade etmek gerekirse asal sayı teoremi aşağıdaki formüldeki gibi ifade edilir. π (n) n’den küçük veya ona eşit olan asal sayıların sayısı anlamına gelmektedir. Buradaki π ifadesinin bizim bildiğimiz π sayısı ile bir ilgisi yoktur. π (n) asal sayı sayma fonksiyonu gibi düşünülmelidir. Örneğin, π(10) = 4 olur. Çünkü 10’a eşit veya daha küçük dört asal sayı vardır (2, 3, 5 ve 7). Benzer şekilde, π(100) = 25 tir. Çünkü ilk 100 tam sayının 25’i asaldır.

1 trilyona kadar sıralı bir pozitif tamsayı listeniz olsa bile, kimse manuel olarak kaçının asal sayı olduğunu belirlemek istemez. π(1,000,000,000,000) burada devreye girer. Teorem bize π(n)’nin n/ ln(n)’ye “asimptotik olarak eşit” olduğunu söyler.(Asimptotik bir eşitliği yaklaşık bir eşitlik olarak düşünebilirsiniz, ancak teknik olarak bundan daha fazlasıdır.) 1 triyonu teoremde yerine yazarsak gerçek yanıttan yalnızca yaklaşık %4 oranında hata payı oluşur. Bu da oldukça iyi bir tahmindir.

x sayısı yeterince büyük π(x) yaklaşık olarak x/ ln(x ) sayısına eşittir

Kısacası asal sayı teoremi asal sayıların pozitif tam sayılar arasında asimptotik dağılımını tanımlar. Asal sayıların büyüdükçe daha az yaygın hale geldiği sezgisel fikrini, bunun meydana gelme hızını kesin olarak ölçerek resmileştirir. Asal sayı teoremi 1700’lerin sonunda Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre tarafından ortaya atılmıştı.

Sonrasında da 1896’da Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallée Poussin tarafından bu teorem birbirinden bağımsız olacak kanıtlanacaktı. Devamında bir çok matematikçi asal sayıların dağılımı ile ilgili çalışmalar yaptı. Bunlardan birisi de Bernhard Riemann idi. Konu ile ilgili araştırmalarının ardından onun ortaya attığı fikirler matematiğin yeni bir araştırma alanının kapılarını aralayacaktı.


Ayrıca Göz Atmak İsterseniz…


Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Marianne on August; Maths in a minute: The prime number theorem; Yayınlanma tarihi: 25Ağustos 2021; Yayınlandığı Yer: plus.maths; Bağlantı: https://plus.maths.org
  • Prime number theorem; https://en.wikipedia.org
  • Mathematicians Will Never Stop Proving the Prime Number Theorem; Yayınlanma tarihi: 22 Temmuz 2020; Yayınlandığı Yer: Quantamagazine.; Bağlantı: https://www.quantamagazine.org/

Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Başa dön tuşu