Geometride “taşınan kanepe problemi” adıyla bilinen soru, dar bir koridorda sıkışmadan dik açılı bir köşeyi dönebilecek en büyük şeklin ne olduğunu sorar.
Yeni bir eve taşınırken en büyük sorunlardan biri, mevcut mobilyaları yeni evin odalarına yerleştirebilmektir. Çünkü bu mobilyalar çoğu zaman önceki evin ölçülerine ve yerleşimine göre seçilmiştir. Bu yüzden onları yeni evin dar ya da kıvrımlı koridorlarından geçirmek ciddi bir mücadeleye dönüşür.
Özellikle koridor düz ilerlemiyor ve keskin bir köşe yapıyorsa, sorun daha da büyür. Günlük yaşamda sıkça karşılaşılan bu durum, matematik dünyasında uzun yıllardır çözülmeye çalışılan bir bilmeceye de temel oluşturur. Bu bilmece, Taşınan Kanepe Problemi olarak bilinmektedir.
Kanadalı matematikçi Leo Moser, bu problemi 1966 yılında ortaya attı. Problem, dar bir koridorda dik açılı bir köşeyi dönebilecek, bükülmeyen sabit bir şekli inceler. Buradaki “kanepe”, ittiğinizde biçim değiştirmeyen sert bir cisimdir.
Leo Moser (1921-1970), matematiksel analiz, kombinatorik ve geometri alanlarında çalışmış Kanadalı bir matematikçidir. En çok Moser teoremi ve Moser sayıları ile tanınır.
Üstelik bu kanepe, bildiğimiz bir kanepe gibi görünmek zorunda da değildir. Herhangi bir geometrik şekil olması mümkündür. Hem koridor hem de kanepe iki boyutlu kabul edilmek zorundadır. Yani nesneyi yerden kaldırmanıza izin yoktur. Onu yalnızca kaydırarak hareket ettirebilirsiniz.
Taşınan Kanepe Problemi Nedir?
Taşınan Kanepe Problemi, ilk bakışta eğlenceli ve soyut bir düşünce deneyi gibi görünecektir. Ancak aslında geometri ve optimizasyon alanında derin bir meydan okumayı temsil eder. Matematikçiler bu problemi çözmeye çalışırken, geometri, analiz ve optimizasyonun kesiştiği yeni ve beklenmedik sonuçlarla karşılaşırlar.
Boş bir L biçimli koridor düşünün. Soru şudur: Bu koridordan geçirebileceğiniz en büyük şekil hangisidir? Koridorun iki kolunun genişliği birer birim olsun. Bu durumda bir kenarı bir birim olan kareyi koridordan rahatça geçirirsiniz. Ancak kareyi biraz uzatıp dikdörtgene çevirdiğiniz anda sorun başlar. Çünkü şekil köşeye geldiğinde dönecek yeterli alan bulamaz.
Matematikçiler zamanla şunu fark etti: Şeklin kenarlarını düz tutmak zorunda değilsiniz. Eğri bir biçim seçerseniz köşeyi daha verimli kullanabilirsiniz. Örneğin çapı iki birim olan bir yarım çember düşünün. Bu şekil köşeye ulaştığında bir bölümü koridorun ilk kolunda kalır. Ama yuvarlak kısmı sayesinde köşeye takılmadan dönmeyi başarır.
Buradaki amaç, bu köşeyi dönecek en büyük “kanepeyi” bulmaktır. Yarım çemberin alanını hesapladığınızda π/2 sonucunu elde edersiniz. Bu da yaklaşık 1,571’e eşittir. Kareyse yalnızca 1 birimlik alana sahiptir. Yani yarım çember, kareye göre belirgin bir üstünlük sağlar.
Ama problem yalnızca en büyük şekli bulmaktan ibaret değildir. O şeklin koridor içinde nasıl hareket edeceğini de belirlemek gerekir. Çünkü kanepe bazen kayar, bazen döner, bazen de bu ikisini aynı anda yapar. Kare yalnızca kayarak ilerler.
Yarım çember ise önce kayar, sonra köşede döner, ardından yeniden kayar. Fakat en iyi çözüm genellikle yalnızca kaymaya ya da yalnızca dönmeye dayanmaz. Şekil, bu iki hareketi birlikte en verimli biçimde kullanmalıdır. Matematikçilerin çözmeye çalıştığı asıl nokta da budur.
Yıllar İçinde Birbirinden İlginç Kanepeler Bulunmaya Başladı
İngiliz matematikçi John Hammersley, 1968 yılında yarım çemberi uzatıp köşeye takılacak kısmından bir parça çıkararak daha büyük bir kanepe elde edilebileceğini gösterdi. Hammersley’nin bulduğu şekil, yalnızca kaymaz ya da yalnızca dönmez. İkisini birlikte kullanır. Bu yüzden kanepe köşeyi daha verimli biçimde aşar. Ortaya çıkan şekil de eski tip sabit telefon ahizesini andırır.
Bu farklı değişkenleri en iyi biçimde düzenlediğinizde, alanı π/2 + 2/π olan bir kanepe elde edersiniz. Bu da yaklaşık 2,2074’e karşılık gelir. Yani bu şekil, yarım çembere göre çok büyük bir ilerleme sağlar.
Ancak bu noktadan sonra ilerleme 24 yıl boyunca durdu. Bir sonraki büyük adım aynı zamanda son adım olacaktı. Rutgers Üniversitesinden Joseph L. Gerver, 1992 yılında adeta matematiksel bir ustalık eseri ortaya koydu. Bugün artık onun bulduğu şeklin mümkün olan en büyük kanepe olduğunu biliyoruz.
İlk bakışta Gerver’in kanepesi, Hammersley’ninkiyle aynıymış gibi görünecektir. Oysa çok daha karmaşık bir yapıya sahiptir. Gerver, bu şekli oluşturmak için 18 ayrı eğriyi bir araya getirdi.
Gerver’in ulaştığı bu şeklin alanı 2,2195 birimdir. Yani Gerver’in bulduğu şekil, kendisinden önceki çözüme göre sadece çok küçük bir farkla daha büyüktü. Buna rağmen Gerver, mümkün olan en büyük boyutu bulduğundan kuşkulanmıyordu. Ancak bunu kanıtlayamadı. Ondan sonraki 32 yıl boyunca da hiç kimse bunu kanıtlayamadı.
Taşınan Kanepe Problemi Çözülmüş Olabilir
Ortada kesin bir kanıt olmayınca, birçok araştırmacı yoğun bilgisayar benzetimlerine yöneldi. Bu çalışmalar, köşeyi dönebilecek en büyük kanepenin alanı için yeni alt ve üst sınırlar ortaya koydu.
Bu problem yaklaşık 60 yıl boyunca çözümsüz kaldı. Ardından Kasım 2024’te, Seul’deki Yonsei Üniversitesinde doktora sonrası araştırmacı olarak çalışan Jineon Baek, problemi çözdüğünü öne süren bir makaleyi internette yayımladı. Baek’in ispatı henüz ayrıntılı bir hakem incelemesinden geçmedi. Ancak Baek’i ve Taşınan Kanepe Problemi’ni yakından tanıyan matematikçilerin ilk yorumları umut veriyor.
Baek, doktora tezini Taşınan Kanepe Problemi üzerine yazdı ve probleme adım adım ilerleyen çeşitli katkılar yaptı. Aynı yıl, geliştirdiği bütün bu yeni fikirleri bir araya getirerek etkileyici bir çalışma ortaya koydu. Bu çalışma, Gerver’inkinden daha büyük hiçbir kanepenin bu koridordan geçemeyeceğini gösteriyor.
Sonuç olarak
Bu çözümün taşınma günü size doğrudan yardım etmesi pek olası görünmüyor. Ama matematiğin sınırları giderek daha soyut alanlara kaydıkça, matematikçiler herkesin anlayabileceği çözümsüz problemlere özel bir yakınlık duyuyor.
Nitekim popüler matematik forumu MathOverflow, “özellikle ünlü olmayan ama uzun süredir açık duran ve herkesin anlayabileceği problemler” diye bir liste tutuyor. Taşınan kanepe problemi de şu anda bu listede ikinci sırada yer alıyor. Yine de her yeni ispat, matematiksel anlayışımızı biraz daha genişletir. Bu problemi çözmek için geliştirilen teknikler de muhtemelen ileride başka geometrik bulmacalarda işe yarayacaktır.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Kallus, Yoav and Dan Romik. “Improved upper bounds in the moving sofa problem.” Advances in Mathematics (2017): n. pag.
- This 100-Page Proof Claims to Have Solved the World’s. Most Frustrating Math Puzzle: What’s The Largest Sofa That Fits Around a Corner? Kaynak site: ZME Science. Yayınlanma tarihi: 12 Aralım 2024. Bağlantı: This 100-Page Proof Claims to Have Solved the. World’s Most Frustrating Math Puzzle: What’s The Largest Sofa That Fits Around a Corner?
- Why Mathematicians Cannot Solve the Problem of Moving Your Sofa. Yayınlanma tarihi: 24 Mart 2017; Kaynak site: Popular Mechanics. Bağlantı: Why Mathematicians Cannot Solve the Problem of Moving Your Sofa/
Matematiksel
