Matematikçiler Taşınan Kanepe Problemini 50 Yıldır Neden Çözemiyor?

Yeni bir eve taşındığımız zaman en büyük sorunlardan bir tanesi, mevcut mobilyaları yeni evin odalarından birine taşımaktır. Sonuçta mobilyalar bir önceki eve göre alındığı için çoğu zaman koridorlardan geçmez. Hele ki koridor düz biçimde değil ise bu daha da büyük bir dert halini alır.

Sonuçta matematikçilerin de sıradan insanlar gibi bir hayatı var. Bir taşınma esnasında akla gelip gelmediği bilinmese de bu konu matematikte daha özelinde geometride bir problemin ortaya çıkmasına neden olmuştur. Bu problem yani taşınan kanepe problemi ( İng: moving sofa problem) hala çözümsüz bekleyen problemler arasında yer almaktadır.

1950’li 1960’lı yılların en önemli matematikçilerinden biri olan Avusturya-Kanadalı Leo Moser ( 1921- 1970), matematik konusunda pek çok çalışma yürütmüş, araştırmalarını sayılar teorisi üzerine yoğunlaştırmış matematikçilerden birisidir. Moser, matematiksel problemlere ayrı bir ilgi duyardı. İlk önce dikkatini çeken sayılar teorisi problemleriydi, ancak daha sonra çizge teorisindeki problemlere de ilgi duymaya başladı.

Kendisi, birçoğu matematik öğretimine ayrılmış dergilerde 100’den fazla makale de yayınladı. Tüm bunlara rağmen adı günümüzde en çok taşınan kanepe problemi ile anılıyor. Mose bu problemi ölümünden 4 sene evvel geliştirdi. Ancak üzerinden 50 yıldan fazla zaman geçmesine rağmen kesin bir çözüme henüz ulaşılamadı. Matematikçiler için en büyük zorluk, hem en büyük kanepeyi bulmak hem de en büyük olduğunu kanıtlamaktır. Kanıt olmadan, birinin daha iyi bir çözüm getirmesi her zaman mümkündür.

Taşınan Kanepe Yani Moving Sofa Problemi Nedir?

Öncelikle gerçek dünyanın aksine problemi iki boyutlu düşünmeniz gerekiyor. Bu nedenle kanepeyi yukarı kaldırma şansınız yok. Taşınma esnasında aşağıdaki gibi bir koridora denk geldiğinizi düşünelim. Bu tip bir koridordan itekleyerek bir mobilya taşımaya çalıştığınız zaman elbette bazı mobilyalar kolayca L kısmından dönecektir ve bazıları da doğal olarak dönemeyecektir. Peki, bu köşeden dönmesi mümkün olan en büyük koltuğun alanı sizce nedir? ( Olaylar iki boyutlu bir dünyada geçtiği için büyüklük dediğimiz zaman alandan bahsetmek zorunda kalıyoruz)

Şimdi adım adım ilerleyelim. İlk olarak taşımak zorunda olduğumuz kanepemizin kenar uzunluğu 1 cm olan kare biçiminde olduğunu düşünelim. Aşağıda da gördüğünüz gibi alanı 1 cm2 olan bu karemiz köşeden kolayca geçecektir.

Bu ölçülerde bir eşya, gerçekten de köşeye takılmadan taşınabilir. Fakat asıl sorun, bu kare şeklin, söz konusu bölgeden geçebilecek en büyük alana sahip olmayışı.

Akla gelecek bir sonraki şekil, yarım daire biçiminde bir kanepe olabilir. Bu durumda kanepemizin yarıçapını 1 cm olarak kabul edersek alanı , π/2 (yani yaklaşık 1.57) olacaktır. Ancak bu şeklin en büyük alana sahip olduğundan emin miyiz?

Aslında değiliz. Sonuçta kare şeklindeki bir kanepeyi döndürmeden köşeden geçirmek mümkündü. Yarım daire biçimindeki bir kanepeyi ise tam köşede 90 derece döndürerek geçirebiliyoruz. Peki ya döndürme ve öteleme işlemlerini birleştirirsek ne olur?

Yıllar İçinde Birbirinden İlginç Kanepeler Bulunmaya Başladı

1990 yılında matematikçi John Hammersley, yarım daireyi iki çeyrek daireye böldü, aralarına bir dikdörtgen ekledi ve L biçimindeki bir köşede hareket ettirilebilen daha büyük bir kanepe şekli elde etti. Köşeden dönebilmesi içinde bu şeklin içinden bir başka yarım daire çıkardı. Elde edilen bu şeklin alanı  2/π+π/2 yani yaklaşık 2.2074 kadardı.

Hammersley, yapısının optimal çözüm olduğunu düşündü, ancak bunun yanlış olduğu kısa süre sonra anlaşıldı. 1992’de Joseph Gerver, 2.2195 civarında bir alana sahip bir başka şekil buldu. Aslında bu şekli tam olarak tarif etmek mümkün değil. Çünkü şekil bilinen hiç bir geometrik şekle benzemiyor. Bu şekil 3’ü düz 15’i farklı denklemler ile ifade edilen toplam 18 parçadan oluşuyor. Şu anda, köşeye sığan bilinen en büyük bu şekle, Gerver kanepesi denir. Bunun aslında mümkün olan en büyük şekil olduğu düşünülse de, kesin olarak kabul etmemiz ya da etmememiz mümkün değil.

Taşınan Kanepe Problemine Farklı Bir Yorum

Ayrıca taşınan kanepe probleminin farklı versiyonları da zaman içinde ortaya atılacaktı. Örneğin bir zamanlar matematikçi John Horton Conway tarafından incelenen bir versiyonu hem sağa hem de sola doğru dönüş yapmanız gereken bir koridora bu problemi uyguluyor. Yukarıda sizlere aktardığımız şekillerin kare hariç hiçbiri bu tip bir koridorda işe yaramıyor. Hem sağa hem de sola 90 derecelik bir dönüşle hareket eden en büyük alanlı bir kanepe ise Gerver’in 1992 tarihli makalesinde kullandığı tekniklerin genişletilmesi sayesinde Dan Romik tarafından geliştirildi.

Bu kanepenin yaklaşık olarak alanı  yaklaşık 1.64495 cm kare kadardır.

Bilgisayarların matematik problemlerini çözmek için giderek daha fazla kullanılmasıyla, yakın gelecekte bir bilgisayar analizinin problemi çözmesi mümkündür. Ayrıca birisinin sonunda gerçek bir kanıt bulması da mümkündür. Ya da belki de problem hiç bir zaman çözülemeyecek. Her durumda, bundan sonra ev taşırken düz bir koridora sahip bina kiralamanız daha iyi bir fikir olacaktır.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz