BEYİN JİMNASTİĞİ

Beşinci Dereceden Kök Bulmak İçin Basit Bir Yöntem

Bir sayıyı beş defa kendisi ile çarptığımız zaman sayının beşinci kuvvetini buluruz. Örneğin 2 sayısını beş defa çarptığımız zaman 25 yani 32 sonucunu elde ederiz. Şimdi bu işlemin tersini düşünelim; yani herhangi bir sayı verildiğinde bu sayının hangi sayının kendisiyle 5 kez çarpımı olduğunu bulabilir miyiz?  

Bu sorunun cevabını bulmak amacıyla yapılan işleme beşinci dereceden kök alma işlemi denir. Örneğin 32 sayısını düşünelim. 32 sayısının 5’nci dereceden kökü 5√32=2 olarak gösterilir.

Elinizde bir hesap makinesi var ise bu işlemi yapmak çok da zor sayılmaz. Ama verilen herhangi bir iki basamaklı sayının beşinci kuvvetine bakarak da kısa süre içinde sayıyı bulmanın ilginç bir yolu daha var. Üstelik bu yöntemi bir matematik dehası olmanıza gerek kalmadan temel bir kaç şeyi ezberleyerek sizde uygulayabilir ve etrafınızı şaşırtabilirsiniz.

Ne demek istediğimizi daha iyi açıklayabilmek adına bir örnek üzerinden ilerleyelim.

Örneğin sayımız 38 olsun. Bu sayının beşinci kuvveti ise 385 = 79 235 168 olacaktır. Birazdan detaylarını aktaracağımız kuralı bilen bir kişi bu sayının hangi sayının 5. kuvveti olduğunu bir dakikadan az zamanda söyleyebilir.

İşin İçine Euler Karışırsa

Matematikte her taşın altından Euler çıkıyor desek yanlış demiş olmayız. Bu şaşırtıcı çözüm ise aslında temelini Euler teoreminden almaktadır. Euler teoremine göre herhangi bir a pozitif tamsayısı için a5 ve a sayılarının birler basamağı aynıdır.

İlk önce neden bu sonucun ortaya çıktığını anlamaya çalışalım. Eğer a5 ve a sayılarının birler basamağı aynı ise a5 – a  sayısının 10 ile tam bölünmesi gerekir. Diğer bir deyişle 2 ve 5 ile tam bölünmesi gerekir.

a5−a=a(a4−1)=a(a2−1)(a2+1)=a(a−1)(a+1)(a2+1) biçiminde çarpanlarına ayrılabilir. Bu çarpanların içinde ardışık sayılar mevcut olduğuna göre çarpanlardan biri, dolayısıyla çarpım çift olmalıdır. Bu ilk ifadenin 2 ile tam bölünebildiği anlamına gelir. Sırada 5 ile bölündüğünü göstermek var.

Bunun için Euler teoremini kullanacağız. Leonhard Euler, Euler Phi (fi diye okunur) fonksiyonunu tanımlamıştı. Bu fonksiyon öncelikle pozitif tamsayılar üzerinde tanımlanan bir fonksiyondur ve ϕ(n) notasyonu ile gösterilir.

Euler Phi fonksiyonu aldığı herhangi bir pozitif n tamsayısını bu sayının kendisinden küçük ve n ile aralarında asal olan pozitif tamsayıların sayısına götürür.

Örneğin  n=10 olsun, bu durumda ϕ(10)=4 olacaktır. Çünkü 10 sayısından küçük ve 10 ile aralarında asal olan sayılar 1,3,7 ve 9 yani 4 tanedir. Bu durumda Euler Teoremi şunu söyler:

Eğer a ve n aralarında asal olan iki pozitif tamsayı ise  aϕ(n)−1 sayısı n ile tam olarak bölünür.

Şimdi a5−a’nın 5’e bölünebilirliğini Euler Teoremi yardımıyla hızlıca gösterebiliriz. Teoremde n yerine 5 alalım. O zaman ϕ(n)=4 buluruz, çünkü 5’ten küçük  dört tane pozitif tamsayı vardır ve hepsi 5 ile aralarında asaldır. Bu durumda  aϕ(5)−1=a4−1, 5’e tam olarak bölünebilir.

Herhangi bir a pozitif tamsayısı için a5 ve a sayılarının birler basamağının aynı olduğunu gösterdiğimize göre ilk sorumuza geri dönelim.

Problemin Çözümü

79 235 168 sayısının hangi iki basamaklı sayının 5’nci kuvveti olduğunu nasıl bulabiliriz? Yukarıda anlattığımız kural neticesinde sayının zaten son basamağının 8 olacağını biliyoruz. Yapmamız gereken sayının onlar basamağını tahmin etmek. Bu noktada karşımıza ufak bir sorun çıkıyor. Çünkü cevabı verebilmek için aşağıdaki sayıları ezberimizde tutmamız gerekiyor.

105=100 000

205=3 200 000

305=24 300 000

405=102 400 000

505=312 500 000

605=777 600 000

705=1 680 700 000

805=3 276 800 000

905=5 904 900 000

Bu kuvvetleri ezberlediğimizi varsayalım ve 79 235 168 sayısının 5’inci dereceden kökünü hesaplayalım. Dikkat edersek bu sayı edersek 305 ile 405 arasında. Bu demektir ki sayımızın onlar hanesi 3 olmak zorunda. Bu durumda sayımız 38 olarak bulunmuş oluyor.

Okuma önerisi: İkinci Dereceden Denklemleri Çözmenin Farklı Bir Yolu

Konu üzerinde biraz pratik yaparak etrafınızı şaşırtmanız için güzel bir yöntem. Ayrıca izlemek isterseniz:

Kaynak:Beşinci Dereceden Kök Hesaplamak İçin Küçük Bir Oyun; http://bilimveaydinlanma.org/besinci-dereceden-kok-hesaplamak-icin-kucuk-bir-oyun/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu