Bir patatesten nasıl paradoks çıkar demeyin. Çünkü matematiksel sezgilerimiz bazen bizi şaşırtabilir. Bu yazıda patates paradoksu ile bunu size kanıtlayalım.
Toptancı pazarına gittiniz ve 100 kg patates aldınız diyelim. Patatesler gerçekte % 79 oranında sudan meydana gelir. Geri kalanı karbonhidrat ve proteinlerden oluşur. Ancak sizin aldığınız patatesler %99 sudan ve %1 katı maddeden meydana geldiğini kabul edelim. 100 kg patatesi alıp eve götürdünüz. Sonra patatesleri biraz kurutmaya karar verdiniz. Birkaç gün kuruttuktan sonra patateslerin su oranı %99’dan %98’e düşsün. Geriye kaç kg patates kalır?
Bu soru size oldukça kolay gelmiş olmalıdır. Sonuçta başlangıçta 99 kg su, 1 kg katı madde, yani toplamda 100 kg patates vardır. Kuruttuktan sonra da 99 ya da 98 kg civarında bir şey kalır diye düşünüyorsanız yanılıyorsunuz. Çünkü geriye sadece 50 kg patates kalır! Zaten patates paradoksu da budur. Suyu yüzde 1 oranında azaltmak, patateslerin toplam ağırlığını yarıya indirmek anlamına gelir.
Patates Paradoksu Nedir?
Karışıklık genellikle su oranındaki %99’dan %98’e olan değişime bakıp, kaybedilen su miktarının toplam kütlenin %1’ine eşit olduğu sonucuna varma eğiliminde olduğumuz için ortaya çıkar. Bu durumun sezgilerinize aykırı gelmiş olması doğaldır. Sonuçta su oranının %99’dan %98’e düşmesinin, patateslerin ağırlığının yansını kaybetmesi demek olması mantıksız gibi gelmektedir. Ancak masanızın başına geçip biraz hesap yaptığınızda aslında bu sürpriz sonucun matematiksel olarak doğru olduğunu bulabilirsiniz.
Biz adına paradoks desek de ve çoğunlukla felsefi paradoksları bilsek de aslında bir değil birden fazla paradoks cinsi vardır. Paradoks sınıflandırmasında, patates paradoksu gerçek bir paradoks olarak isimlendirilir. Bu paradokslar da saçma gibi görünen ama yine de doğru olan bir çözüme ulaşmanız olasıdır. Paradoks olarak kabul edilmelerinin nedeni de çoğu zaman cevabın mantıksız gelmesidir.
Bu tip paradokslara verilebilecek en bilinen örnek Monty Hall problemi olacaktır. Ünlü örneklerden birisi de Doğum günü problemidir. Neden elimizde bir paradoks olduğunun cevabını verdikten sonra şimdi sorumuzun çözümüne geçebiliriz.
Patates Paradoksu Çözümü Nasıldır?
Öncelikle çözümü anlamanız için aşağıdaki gibi bir çizelge yapalım. Aslında birazdan sizin de göreceğiniz gibi problemin çözümü son derece basit. Aşağıdaki görselde her kutu bir patatesi temsil etsin. Mavi renkli kutular suyu, turuncu renkli kutular ise elimizdeki patates maddesini göstersin.
Patatesin başlangıçta katı bileşen ve su oranının sırasıyla %1 ve %99 olduğunu kabul edelim. Bunun anlamı şudur. Eğer elimizde yüz tane kutucuk varsa bir tanesi sarı diğerleri ise mavidir. Bu durumda sarının maviye oranı 1:99 biçiminde olacak ve toplamda 100 kg yapacaktır. Güneşte kuruttuktan sonra ise % 98 suya dönüşüyor.
Bu durumda patateslerin % 98’i su ise % 2’si patates maddesidir. Yani yeni oranımız biçiminde olacaktır. Ancak bu oran sadeleştiği zaman 1:49 ediyor. Sonucunda buharlaşan şey sudur, katı bileşenin kütlesi sabit kalır. Zaten başlangıçta 1 kg katı bileşen vardı. Geriye 49 kg su kalır, yani elimizde toplam 50 kg patates olur! İşte bu yüzden soruya paradoks deniyor. Görünüşe göre ağırlığı yüzde 1 oranında azaltmak için onları çok fazla kurutmamıza gerek kalmayacaktır. Ama su yüzdesini sadece 1 küçültmek için, elimizdeki patateslerin yarısından vazgeçmemiz gerekecektir.
Cebir Yardımı İle İkinci Çözüm
Yukarıdaki açıklamamız size yeterli gelmediyse, ya da bu soruyu işlemle de göstermek istiyorsanız aşağıdaki gibi düşünebilirsiniz. Patates paradoksunda kaybedilen kütleye X diyelim. Katı (su olmayan) kütle sabit kaldığından, o zaman X = başlangıç su içeriği – nihai su içeriği biçiminde olacaktır. Şimdi bunu denkleme dökelim. Bu durumda X = % 99. 100 kg – % 98. (100 kg – X) elde ederiz. Gerekli düzenlemenin devamında elimizde X = 99 kg – 98 kg + 0.98X var. Buradan da 1 kg = 0.02. X ve X = (1 kg) / 0.02 = 50 kg elde ediyoruz.
Sonuç Olarak
Yukarıdaki çözümlerden de anladığınız gibi, her ne kadar içinde paradoks kelimesi geçse de ortada bir paradoks yoktur. Soru bizlere, çoğu insanın sezgisel olarak düşündüğünde kafasında yaptığı basit bir hatayı hatırlatmaktadır.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- William G. Lycan, What, exactly, is a paradox?, Analysis, Volume 70, Issue 4, October 2010, Pages 615–622, https://doi.org/10.1093/analys/anq069
- The Potato Paradox explained: Kaynak siye: Youtube. Bağlantı: The Potato Paradox explained
- 20 Paradoxes That Will Boggle Your Mind. yayınlanma tarihi: 7 Temmuz 2023. Kaynak site: Mental Floss. Bağlantı: 20 Paradoxes That Will Boggle Your Mind
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
