Olasılık ve İstatistik

Şans mı Yoksa Matematik mi: Monty Hall Problemi

Bazı problemler vardır ki ilk duyduğunuzda son derece kolay sanılmasına karşın biraz daha derinlemesine baktığınızda karşınıza ilginç sonuçlar çıkartır. Bunlardan bir tanesi de Monty Hall problemi. Bu problem aslında matematiğin sezgilere aykırı halinin iyi bir örneğidir. Problemin kaynağı ABD televizyonlarında 1963’den 1977’ye kadar yayında kalan Let’s Make A Deal (Bizde ki Var mısın, Yok musun yarışmasının atası denilebilir) bir yarışma programı. Monty Hall ise bu yarışmaya sunan kişinin adı. Birçok kişi zaten bu yarışmaya aşinadır ancak yine de TV hiç seyretmeyenler olabileceğini düşünerek kısaca anlatalım kuralları.

Yarışmada belli bir aşamasına gelindiğinde yarışmacıya üç kutudan birini seçme şansı verilir. Kutuların birinde büyük ödül olan araba, diğerlerinde ise iki tane eşek, keçi gibi hayvanlar olur. Yarışmacı seçim yaptıktan sonra ise  geriye kalan iki kutudan biri açılır. Şimdi elinizde seçtiğiniz kutu ve seçilmemiş diğer kutu ile kaldınız. Bunlardan birinde büyük ödül olduğu kesin. Ve teklif gelir: “Kararınızı değiştirmek ister misiniz?” Yarışmacı kutusunu değiştirmeli mi, değiştirmemeli mi? Burada kazanma olasılığı en yüksek olan strateji nedir? Şimdi buna adım adım bakalım. Sonuç yavaş yavaş netleşecektir.

Monty Hall Problemi Çözümü

Kapıların arkasında ikisi boş birinde de araba var. Amaç arabayı almak. Diyelim ki siz üç numaralı kapıyı seçtiniz ve sunucu iki numaralı kapıyı açtı. Unutmayalım, Monty Hall hangi kapının arkasında araba olduğunu biliyor. Şimdi de size soruyor. İlk tercihiniz de devam etmek ister misiniz yoksa kapınızı değiştirelim mi?

Olaya duygusal yaklaşırsanız içinizden şöyle bir düşünce geçecektir. “Başlangıçta üç kapı vardı, benim arabayı seçme şansım 1/3 (% 33,3). Şimdi ise iki kapı var ve arabayı seçme şansım 1/2 (% 50) ‘ye yükseldi. Zaten bu sunucu da kesin benim aklımı çelmeye çalışıyor, o yüzden en iyisi ilk seçtiğim kapıda kalmak.” “Kapımı değiştirmek istemiyorum Bay Hall!”. Maalesef yanıldınız. Matematiksel açıdan baktığınızda seçiminizi kesinlikle değiştirmelisiniz. Bu sayede şansınızı tam iki kat arttırırsınız. Ama nasıl olur? Neden yanıldığınızı anlamanız için daha büyük rakamlar ile düşünelim.

Soruyu daha iyi anlayabilmek için 1000 tane kutu olduğunu düşünelim. Siz 1000 numaralı kutuyu seçtiniz. Doğru seçim yapma ihtimalinizi 1/1000 ancak bu oldukça küçük bir ihtimal. Sonuçta 1000 tane kapı var. Büyük ödülün diğer kapıların arkasında olma ihtimali de 999/1000. Sunucu geldi ve kapalı kutulardan 998 tanesini açtı ve hala yok. Geriye sadece 1 numaralı kapı ile sizin seçtiğiniz kapı kaldı. Şimdi ne yapardınız zayıf bir ihtimal olan ilk seçiminizi eliniz de mi tutardınız yoksa değiştirir miydiniz?

Karar sizin, sonuçta sizin tercihinizde doğru olabilir. Ancak defalarca deneme yaparsanız olayı yönlendiren kişinin çözümü bildiği durumlarda karar değiştirmenin daha avantajlı olduğunu siz de görebilirsiniz. 3 kapıda da aynı durum geçerlidir. Karşınızdaki kişi eğer çözümü bilmiyorsa bu defa kendi şansınıza güvenebilirsiniz. İkna olmadıysanız evde basit bir oyunla bunu deneyebilirsiniz. Bir bezelye ve üç kutu alın. Bezelyeyi bu üç kutudan birinin altına arkadaşınızın saklamasını isteyin. Siz de yerini tahmin etmeye çalışın. Diyelim ki A kutusunu seçtiniz. Şimdi arkadaşınız diğer B veya C kutularından birini mesela C kutusunu kaldırsın. Şimdi orijinal seçiminize devam mı etmelisiniz yoksa B kutusunu mu seçmelisiniz?

İnsanların çoğunluğu tercih değiştirerek B kutusunu seçmenin bir anlam ifade etmeyeceğini varsayacaktır. Sonuçta bezelyenin her iki kutu altında da bulunma olasılığı aynı gibidir. Yanlış! Şansınız “muhtemelen yanlış” dan (% 33) “muhtemelen doğru” a (% 67) yükselir. İnanması zor geliyorsa oyunu her iki yaklaşımla 100 kez oynayın ve her ikisiyle de ne sıklıkla kazandığınızı karşılaştırın. Elbette kazanma ihtimalini %100 yapmanın bir yolu yoktur, ama ihtimali iki katına çıkarmak ta pek fena bir fikir gibi gözükmemekte…

GÖZ ATMAK İSTERSENİZ

Kaynak: Dr. Alfred S. Posamentier; Mathematics entertainment for the millions; ISBN 9789811219283; 2020 – World Scientific Publishing

Matematiksel