Joseph Bertrand ve Üç Kutu Paradoksu

Üç Kutu Paradoksu diye bilinen bu paradoks Fransız matematikçi Joseph Louis François Bertrand (1822–1900) tarafından, 1889 yılında yayınlanan “Calcul des probabilités” adlı kitabında ortaya atılmıştır. Bir çoğumuzun bildiği Monty Hall problemine benzer bir problem Üç kutu paradoksu şu şekildedir. Her biri iki bölmeli üç kutu var olsun elimizde. Her bölmenin içinde de bir madeni para bulunsun. Bölmeleri kutunun diğer bölmesinden bağımsız olarak açıp kapatabilelim.

Bir kutuda iki altın para ( AA), diğerinde iki gümüş para (GG) ve son kutuda da bir altın, bir gümüş para (AG) var. Bu kutular dışarıdan bakıldığında birbirinin aynısı gözüküyor. Şimdi gelişigüzel bir kutu seçelim. İki bölmesinden rastgele birini açtığımızda içinde altın para olduğunu görüyorsak diğer bölmesinde de gümüş para olma olasılığı diğer bir deyişle AG ikilisini seçmiş olma olasılığımız nedir?

Cevaba geçmeden önce biraz düşünmenizi öneriyoruz. Tamam yeterince düşündüm diyorsanız cevaba geçelim…

Üç Kutu Paradoksunun Çözümü

Şöyle düşünelim. Altın bulduğumuza göre bu kutu GG kutusu olamaz, o zaman geriye iki seçenek kalır. AG ya da AA. Bu durumda AG olma olasılığı ikide bir. Kutuyu açtığımızda ilk gümüşle karşılaşsaydık bu durumda da AA kutusunu eleyecektik ve geriye AG ile GG kalacaktı. Yani olasılığımız yine ikide bir olacaktı. Bu durumda açıp baktığımız bölme ne çıkarsa çıksın kutunun AG olma olasılığı ikide birdir. (Değildir!) Birçok insan hemen iki olasılık olduğu sonucunu düşünür ancak bu yanlıştır.

Bu işte bir gariplik sezinlemiş olmanız gerekiyor. Normal koşullarda üç farklı kutudan herhangi bir tanesinin seçilme olasılığı üçte bir olur. Ancak şu anda olasılık daha da yükselmiş gibi gözüküyor. İyi de paralardan birini görünce olasılık nasıl bu şekilde değişiyor? Nerede hata yapıyoruz? Gerçek şudur ki, paralardan birini görsek de görmesek de olasılık en baştan beri üçte birdir. Hiçbir zaman ikide bir olmaz. Bölmenin içinde altın para bulduğumuz durumu ele alalım. Toplamda üç altın para var: A1, A2, A3.

AA kutusundaki A1 ve A2 olsun, AG kutusundaki de A3. Eğer bir kutuyu açıp içinde altın bulursanız, AA kutusunu seçmiş olma olasılığınız üçte ikidir çünkü bulduğunuz A1 veya A2 olabilir. A3 seçme olasılığınız dolayısıyla AG kutusunu seçme olasılığınız üçte birdir.

Yanlış çıkarımlı paradokslar gayet akla yatkın bir biçimde başlayıp, saçma bir sonuca varır genelde. Okuduğunuz bu paradoks da bizi yanlış yöne yönlendirmesi açısından bu tip paradokslara güzel bir örnektir…


Göz Atmak İsterseniz


Detaylı okumalar için: Bertrand’s Box Paradox (with and Without Bayes’ Theorem) https://www.untrammeledmind.com


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu