Bu yazımızda size anlatacağımız hikayemizin kahramanı aşağıda gördüğümüz eşitsizlik. Bu eşitsizlik size ilk bakışta fazla bir şey ifade etmeyecektir. Bunun nedeni gerçekten de kendi başına fazla bir anlamı olmamasıdır. Ancak bu eşitsizliği bir grafik olarak incelediğimiz zaman şaşırtıcı sonuçlar elde edersiniz.
Korkutucu göründüğünün farkındayız. Bu nedenle fazla matematiğe girmeden öncelikle gördüğünüz sembollerin anlamlarını açıklayalım. İlk olarak parantezlerden başlayalım. Matematikte köşeli parantezler farklı anlamlar için de kullanılmaktadır.
Eğer köşeli parantezin alt kısmı var ancak üst kısmı yok ise bunun anlamı işlem sonucunda elde edilen sayının, gerçek değerine en yakın ancak gerçek değerinden küçük tamsayı olmasıdır. Yani böyle bir parantezin içine π sayısını yazarsanız sonucunuz 3 veya 13,42 sayısını yazarsanız sonucunuz 13 olacaktır.
Formülde gördüğümüz mod fonsiyonunun da özel bir anlamı vardır. Bu fonksiyonun sonucu içinde yazılı olan rakamların birbirine bölünmesi ile elde edilen kalana eşittir. Yani mod (8, 3) ifadesinin sonucu 2 olacaktır. Çünkü 8 sayısını 3 sayısına bölerseniz kalanınız 2 olur.
Bu formülün arkasında bilgisayar bilimcisi Jeff Tupper var. 2001 tarihli bir makalesinde Tupper bu eşitsizliği yalnızca bir örnek olarak sundu. ( Çalışmasının tamamını kaynaklar kısmında okuyabilirsiniz.) Bu makalede kendi bu biçimde söz etmemesine rağmen verdiği bu örnek ilerleyen süreçte Tupper’s self-referential formula, yani Tupper’ın Kendini Çizen Formülü olarak bilinmeye başladı. Bunun nedeni elbette eşitsizliği grafik olarak çizdiğiniz zaman sonucun kendisi olmasıydı.
Tupper Formülü Nasıl Çalışıyor?
Bunu daha iyi anlayabilmeniz için aşağıdaki gibi bir koordinat sistemi oluşturduğumuzu düşünelim. Burada, sol alttaki karenin koordinatları (0,0), sağındakinin koordinatları (0, 1), üstündekinin koordinatları (1,0) biçiminde olacaktır. Tupper’ın eşitsizliğini çizmek için toplamda 106 kareye ihtiyacımız var.
Sonrasında da yapılacak şey basit. Eşitsizlik x ve y için doğruysa ilgili (x, y) karesini boyuyorsunuz eğer yanlışsa boyamıyorsunuz. Şimdi en başta yazdığımız eşitsizliği anımsayın. Onu aynı mantıkla çizdiğimiz zaman sonucumuz aşağıdaki gibi olacak yani eşitsizlik kendinin bir bitmap resmini çizecektir.
Bu arada muhtemelen henüz bahsetmediğimiz y ekseni üzerinde gördüğünüz N sayısının ne olduğunu merak etmiş olmalısınız. Bu sayı aslında aşağıdaki gibidir. ( Orijinal makalede ve bazı anlatılar da farklı N sayısının verildiğini görmeniz mümkündür. Bunun nedeni koordinat ekseninin bilgisayar biliminde farklı biçimlerde de kullanılabilmesidir. Ancak hangi sayı setini kullanırsanız kullanın olası en kötü senaryo sonucunuzun ters çizilmiş olmasıdır.)
4858450636755315833144376495077387875434778047004800790770568186826854913387409480464319898086711955985226348628612592051572519203470384822977841686502813772341550071665222699610986913584247968836587062537370855964358217842804787221369694768139834972825707334012973770469504608444468078490191108987622691041618529314068404487537214619861255268382593637759805767813182770282392391246557259902123607466665214555983376497884240296412850594337074481185057142090603575984621508637348804068112129087015225053994512537667043573283090413808140105325068.
Yani bu bitmap resmi görmek için koordinat sisteminde N ile N+16 arasındaki kısma bakmanız ve N’den daha küçük ya da N+16’dan daha büyük olan kısmı göz ardı etmeniz gerekmektedir.
N sayısını Değiştirerek İstediğiniz Her Şeyi Çizmeniz Mümkündür
Diyelim ki 543 basamaklı N değerimizi beğenmedik. Başka grafikler elde etmek istedik. Aslında bu da mümkün. Y ekseninde eksi sonsuz ile artı sonsuz arasında başka grafikleri de elde etmeniz mümkündür. Bunun için sadece N değerini değiştirmeniz gerekmektedir. Hemen bir örnek verelim. Aşağıda matematiğin en güzel sonuçlarından birisi olarak bilinen Euler özdeşliğini görüyorsunuz.
Bu özdeşlik N ile N+16 arasında ve N= 2352035939949658122140829649197960929306974813625028263292934781954073595495544614140648457342461564887325223455620804204796011434955111022376601635853210476633318991990462192687999109308209472315419713652238185967518731354596984676698288025582563654632501009155760415054499960 biçiminde alındığı zaman karşımıza çıkar.
N Sayısı Nasıl Bulunur?
Diyelim ki aklınızda grafiğini çizmek istediğiniz bir resim var ve buna karşılık gelen N-değerini bilmeniz gerekiyor. Aslında bu sayıyı da bulmanız oldukça basittir. İstediğiniz görüntünün sol alt pikselinden başlayarak piksel renkliyse 1, boşsa 0 yazın.
Sonra aynısını bir üstündeki kare içinde yapın. Birinci sütunu tamamladıktan sonra ikinci sütuna geçin ve aynı biçimde devam edin. Şimdi elinizde bir sürü 1 ve 0 dan bir tablo var. Aslında elde ettiğiniz şey iki tabanında bir sayıdır. Şimdi bu sayıyı 10 tabanına çevirin ve ardından 17 ile çarpın. Bu sayede çizmek istediğini resmi göreceğiniz N sayısını elde edeceksiniz.
Bu yazının sonucunda anlamanız gereken şey şudur. Herhangi bir formül ya da simgeyi pikseller biçiminde düşünürseniz, bunu bilgisayar ekranına aktarmanız ve bir bitmap resim elde etmeniz mümkündür. Bunu denemeniz için hazırlanmış bazı araçlar da mevcuttur. Tupper’s Self-Referential Formula Playground bunlardan birisi.
Keyifli zaman geçireceğinizi düşünüyoruz. Ayrıca yeni bilgi öğrenmek için bu yazımıza da göz atmanızı öneririz: Gauss Ayakkabı Bağcığı Yöntemi İle Alan Hesaplamasını Öğrenelim!
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- The formula that plots (almost) everything. Yayınlanma tarihi: 3 Ağustos 2017; Bağlantı: https://plus.maths.org/
- The ‘Everything’ Formula – Numberphile. Yayınlanma tarihi: 15 Nisan 2015; Bağlantı: https://www.youtube.com/
- Jeff Tupper; Resitale Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables; Bağlantı: https://www.dgp.toronto.edu/public_user/mooncake/papers/SIGGRAPH2001_Tupper.pdf
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
