Diyelim ki altı alaydan oluşan bir ordunun komutanısınız. Her alay size altı farklı rütbeden birer subay gönderiyor: bir albay, bir yarbay, bir binbaşı, bir yüzbaşı, bir teğmen ve bir asteğmen. Böylece elinizde toplam 36 subay oluyor.
Şimdi bu subayları 6 × 6’lık bir kareye yerleştirmeniz gerekiyor. Ancak bir koşul var: Her satırda ve her sütunda her alaydan yalnızca bir subay bulunacak. Aynı biçimde, her satırda ve her sütunda her rütbeden de yalnızca bir subay yer alacak. Peki böyle bir düzenleme yapmak mümkün müdür?
1782’de İsviçreli matematikçi Leonhard Euler bu soruyu sormuştu. Euler bu düzenlemeyi bulmak için birçok yol denedi. Benzer problem 5 alay ve 5 rütbe için, yani 5’e 5’lik bir karede çözülebiliyordu. Ancak 6’ya 6’lık durumda çözüm bir türlü ortaya çıkmıyordu. Sonunda böyle bir dizilişin mümkün olmadığı sonucuna vardı. Soru daha sonra 36 Subay problemi olarak akıllara yazıldı.
Bu soru yaklaşık 120 yıl boyunca açık kaldı. Fakat problemin asıl önemi, yalnızca çözülememiş olmasından gelmiyordu. Euler’in sorusu, daha sonra kombinatoriğin temel yapılarından biri sayılacak Latin kareleriyle yakından bağlantılıydı.
Latin Kareler Nedir?
Bu tür kare düzenleme bulmacaları çok eskiden beri mevcuttur. İnsanlar aslında iki bin yıldan uzun süredir sayıları ya da sembolleri belirli kurallara göre kare tablolara yerleştirmeye çalışıyor.
Bunların en bilinenlerinden biri sihirli karelerdir. Sihirli karelerde sayılar öyle yerleştirilir ki her satırın, her sütunun ve genellikle köşegenlerin toplamı aynı çıkar.
Latin karelerinde ise amaç toplamları eşitlemek değildir. Burada önemli olan, tekrar olmamasıdır. n × n boyutunda bir kare düşünelim. Karede n farklı sembol vardır. Her satırda bu sembollerin her biri yalnızca bir kez görünür. Aynı kural her sütun için de geçerlidir.
Aslında Sudoku Latin kareler için en tanıdık örnektir. Sudoku’da da her satırda ve her sütunda sayılar tekrar etmez. Ayrıca her küçük kare içinde de aynı kural aranır.
Euler’in 36 Subay Problemi ise Latin karesinin daha zor bir türüyle ilgilidir. Çünkü burada tek bir özellik değil, iki özellik aynı anda kontrol edilmelidir. Subaylar hem alaylarına hem de rütbelerine göre yerleştirilmelidir. Bu durumda, her satırda ve her sütunda aynı alaydan iki subay olmamalıdır. Aynı biçimde, aynı rütbeden iki subay da bulunmamalıdır.
Bu nedenle problem, iki Latin karesini aynı anda kurmaya benzer. Bir kare alayları, diğer kare rütbeleri temsil eder. Eğer bu iki düzen üst üste geldiğinde her alay-rütbe ikilisi yalnızca bir kez görünüyorsa, buna ortogonal Latin karesi denir.
Ortogonal Latin kareleri üzerine yapılan çalışmalar, bugün kombinatoriğin erken örneklerinden biri kabul edilir. Avrupa’da bu konuyu sistemli biçimde ele alan en önemli isimlerden biri Leonhard Euler’di. Euler, 1776’da ortogonal Latin kareleri üzerine bir makale yazdı ve birkaç yıl sonra 36 Subay Problemi’ni ortaya attı.
Ancak bu matematiksel yapının izleri Euler’den daha eskiye gider. Daha sonra yapılan çalışmalar, Koreli bilgin Seok-Jeong Choi’nin ortogonal Latin karelerini Euler’den 61 yıl önce incelediğini gösterdi.
36 Subay Problemi Nasıl Çözüldü?
1901’de Fransız matematikçi Gaston Tarry, binlerce olasılığı sistemli biçimde inceleyerek böyle bir düzenlemenin mümkün olmadığını kanıtladı. Böylece Euler’in sezgisi doğru çıkmış oldu: 36 subayı istenen kurallara göre 6 × 6’lık bir kareye yerleştirmek gerçekten imkânsızdı.
1984’te Kanadalı matematikçi Doug Stinson problemi kombinatoryal tasarım kuramı üzerinden ele aldı. 1994’te ise Amerikalı matematikçi Steven Dougherty, kodlama kuramı ve sonlu geometriyi kullanarak farklı bir kanıt verdi.
Fakat hikâye burada bitmedi. Son yıllarda bazı fizikçiler, Euler’in eski problemini kuantum mekaniği açısından yeniden ele aldı. Klasik problemde her subayın belirli bir alayı ve belirli bir rütbesi vardır. Her şey nettir.
Kuantum versiyonda ise bir subay, aynı anda farklı alay ve rütbe durumlarının bir karışımı gibi düşünülebilir. Kuantum fiziğinde buna süperpozisyon denir. Yani bir subay, tek bir alay-rütbe çiftine karşılık gelmek yerine, birkaç olasılığın matematiksel birleşimiyle temsil edilir.
Araştırmacılar bu fikri kullanarak 36 subayın kuantum hâllerinden oluşan 6 × 6’lık bir düzenleme kurdu. Bu düzenleme, Euler’in klasik problemindeki koşulların kuantum karşılığını sağlıyordu. Başka bir deyişle, 36 Subay Problemi klasik dünyada çözülemezken, kuantum dünyasında anlamlı bir çözüme sahip oldu.
Sonuç olarak
Bu sonuç Euler’in klasik problem için vardığı sonucu geçersiz kılmaz. Çünkü Euler’in düşündüğü subaylar, belirli alaylara ve belirli rütbelere sahip sıradan subaylardı. Ancak modern fizikçiler, aynı problemi kuantum durumlarıyla yeniden yorumlayınca bambaşka bir kapı açıldı.
Bu çalışma yalnızca eğlenceli bir matematik oyunu olarak görülmüyor. Kuantum Latin kareleri ve kuantum sihirli kareleri üzerine yapılan bu tür araştırmalar, kuantum iletişimi, kuantum hesaplama ve hata düzeltme gibi alanlarla da bağlantılıdır.
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Euler’s 243-Year-Old ‘Impossible’ Puzzle Gets a Quantum Solution; yayınlanma tarihi: 10 Ocak 2022; Kaynak site: Quanta Magazine. Bağlantı: Euler’s 243-Year-Old ‘Impossible’ Puzzle Gets a Quantum Solution/
- Bose RC, Shrikhande SS, Parker ET. Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Squares and the Falsity of Euler’s Conjecture. Canadian Journal of Mathematics. 1960;12:189-203. doi:10.4153/CJM-1960-016-5
- Rather, Suhail Ahmad & Burchardt, Adam & Bruzda, Wojciech & Rajchel-Mieldzioć, Grzegorz & Lakshminarayan, Arul & Zyczkowski, Karol. (2022). Thirty-six Entangled Officers of Euler: Quantum Solution to a Classically Impossible Problem. Physical Review Letters. 128. 10.1103/PhysRevLett.128.080507.
Matematiksel
