Matematik öğrenirken bazı kurallarla o kadar erken karşılaşırız ki zamanla bunların başka türlü olamayacağını düşünmeye başlarız. Pozitif ile pozitifin çarpımı pozitiftir, negatif ile pozitifin çarpımı negatiftir ve negatif ile negatifin çarpımı pozitiftir. Bunlar bize sayıların değişmez özellikleri gibi gelir.
Oysa matematik tarihine baktığımızda süreç bu kadar basit değildir. Cebirin bugün kullandığımız kuralları, başlangıçta eksiksiz bir aksiyom sisteminden türetilmedi. Önce işlemler ve kurallar kullanıldı. Matematikçiler daha sonra bu kuralları hangi temel ilkelerden çıkarabileceklerini araştırdı.
Negatif sayılar bunun iyi bir örneğidir. Yüzyıllar boyunca matematikçiler negatif sayıları borç, yön ya da sıcaklık gibi gündelik örneklerle açıklamaya çalıştı. Ancak bu benzetmeler kısa sürede yetersiz kaldı. Örneğin üç kez beş liralık borç, on beş liralık borç olarak düşünülebilir. Bunu −5 × 3 = −15 biçiminde yazabiliriz.
Fakat “dört liralık borç ile dört liralık borcu çarparsak on altı liralık kazanç elde ederiz” demenin fiziksel bir anlamı yoktur. Günlük yaşamdan alınan benzetmeler bazı işlemleri açıklasa da bütün cebir kurallarını temellendiremez.
Bu sorun matematikçileri daha soyut bir yaklaşım geliştirmeye yöneltti. İşlemlerin anlamını borçlardan ya da sıcaklıklardan değil, sistemin kendi kurallarından çıkarmaya başladılar.
Matematikte kullandığımız kurallar ilk bakışta değişmez gerçekler gibi görünür. Oysa bu kurallar, içinde çalıştığımız matematiksel yapıya bağlıdır. Örneğin bildiğimiz cebirde çarpmanın sırası sonucu değiştirmez yani a × b = b × a olur. Bu yüzden 2 × (−3) = (−3) × 2 yazarız.
Fakat matematikte her sistem bu kurala uymak zorunda değildir. Nitekim kuaterniyonlarda çarpmanın sırası önemlidir. Bu örnek bize şunu gösterir. Alıştığımız cebirin kuralları matematiğin tek mümkün kuralları değildir.
İşaret kuralları da aynı açıdan ele alınabilir. “Eksi ile eksi artı eder” kuralı, standart cebirin kendi kuralları içinde zorunlu bir sonuçtur. Ancak başka başlangıç kuralları seçildiğinde farklı, kendi içinde tutarlı cebirsel sistemler de kurulabilir.
Eksi ile Eksi Mutlaka Artı mı Etmelidir?
Standart cebirde −1 × −1 = 1 olduğunu kolayca gösterebiliriz. Örneğin çarpmanın dağılma özelliğini kullanırsak (−1 + 1) × −1 = 0 olur. Buradan (−1 × −1) + (1 × −1) = 0 elde ederiz.
Bildiğimiz cebirde 1 × −1 = −1 olduğuna göre (−1 × −1) − 1 = 0 ve sonuç olarak −1 × −1 = 1 elde ederiz. Fakat burada gözden kaçırılması kolay bir nokta vardır. İspatın kendisi de bazı başlangıç kabullerine dayanır. Özellikle 1 × (−1) = −1 kuralını ve dağılma özelliğini kullanırız. Şimdi farklı bir cebir sistemi tanımladığımızı düşünelim. Örneğin şu kuralları seçelim.
Pozitif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı pozitiftir. Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı negatiftir. Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı pozitiftir.
Bu yeni sistemde çarpmanın sırası sonucu değiştirir. Negatif bir sayı ile pozitif bir sayıyı çarptığımızda sonuç negatifken, pozitif bir sayı ile negatif bir sayıyı çarptığımızda sonuç pozitiftir. Yani bu sistemde çarpma değişmeli değildir.
Şimdi bu yeni işaret kurallarını kullanarak eksi ile eksinin çarpımına bakalım. Yine 0 × −1 = 0 ile başlayalım. Çünkü −1 + 1 = 0 olduğundan (−1 + 1) × −1 = 0 yazabiliriz.
Dağılma özelliğini uygularsak (−1 × −1) + (1 × −1) = 0 elde ederiz. Ancak bu kez seçtiğimiz yeni kurala göre 1 × −1 = 1 olur. Dolayısıyla (−1 × −1) + 1 = 0 ve buradan −1 × −1 = −1 sonucu çıkar.
Bu sonuç alıştığımız cebire aykırıdır. Fakat kendi başına bir çelişki değildir. Çünkü sonucu, baştan seçtiğimiz farklı kurallardan türettik.
Matematikçiler yeni bir sistem kurduklarında standart cebiri geçersiz kılmazlar; yalnızca başka kurallarla çalışan farklı bir matematiksel yapı tanımlarlar. Öklid geometrisinin yanında Öklid dışı geometrilerin bulunması gibi, cebirde de farklı aksiyomlarla farklı sistemler kurulabilir.
Bu nedenle “eksi ile eksi neden artı eder?” sorusunun yanıtı yalnızca “çünkü kural böyle” değildir. Standart cebirde bu sonuç, kabul ettiğimiz işlem özelliklerinden zorunlu olarak çıkar. Başlangıç kurallarını değiştirdiğimizde ise farklı sonuçlar veren başka cebirsel yapılar kurabiliriz.
İşlem Sırası Kuralları Nasıl Standartlaştı?
Bugün bir cebirsel ifadeye baktığımızda hangi işlemi önce yapacağımızı çoğu zaman düşünmeden biliriz. Parantezler önce gelir, ardından üsler, çarpma ve bölme, son olarak toplama ve çıkarma yapılır. Ancak bu düzeni tek bir matematikçi bir gün oturup belirlemedi. İşlem sırası da cebirsel gösterimin kendisi gibi uzun bir standartlaşma sürecinin sonucunda ortaya çıktı.
18. yüzyılın sonlarında ve 19. yüzyılın başlarında Avrupa’da cebir giderek daha sembolik bir yapıya kavuşuyordu. Özellikle Fransız matematikçiler, sembolleri temsil ettikleri fiziksel anlamlardan bağımsız biçimde işleyebilen güçlü analiz yöntemleri geliştirmişti. İngiltere ise bu gelişmelerin bir süre gerisinde kaldı.
Bu durumu değiştirmek isteyen George Peacock, Charles Babbage ve John Herschel, 1810’larda Cambridge’de Analytical Society çevresinde bir araya geldi. Amaçları, Kıta Avrupası’nda kullanılan modern cebirsel ve analitik yöntemleri İngiliz matematiğine taşımaktı.
Bu dönüşüm yalnızca yeni matematiksel fikirlerin benimsenmesi anlamına gelmiyordu. Matematiksel ifadelerin nasıl yazılacağı ve nasıl okunacağı da giderek önem kazandı.
Bugün son derece sıradan görünen a(b + c) = ab + ac ifadesi buna güzel bir örnektir. 19. yüzyılın başında Cambridge’deki matbaacılar bu tür parantezli ifadeleri basmakta bile zorlanıyordu. Çünkü 18. yüzyılda terimleri gruplandırmak için çoğu zaman parantez yerine ifadelerin üzerine çizilen vinculum adı verilen çizgiler kullanılıyordu.
Analytical Society’nin yayınlarında parantezlerin yoğun biçimde kullanılması üzerine Cambridge Üniversitesi matbaası özel parantez kalıpları hazırlamak zorunda kaldı.
19. yüzyıl bu açıdan önemli bir dönüm noktasıydı. George Peacock, 1830’da yayımladığı Treatise on Algebra adlı eserinde cebiri yalnızca aritmetiğin harflerle yazılmış biçimi olarak görmenin yetersiz olduğunu savundu. Peacock, sembollerin sıradan sayıların anlamına bağlı kalması gerekmediğini ve cebirin kendi ilkeleri üzerinde yükselmesi gerektiğini vurguladı. Bu yaklaşım daha sonra soyut cebirin gelişmesine giden önemli adımlardan biri oldu.
Özellikle dağılma özelliğini ve kendi “eşdeğer biçimlerin kalıcılığı” ilkesini kullanarak negatif sayıların çarpımını biçimsel olarak temellendirdi. Böylece “eksi ile eksi artı eder” kuralını borç veya yön gibi gündelik benzetmelerden bağımsız biçimde açıklamaya çalıştı.
Cebirin Kuralları Nasıl Aksiyomlara Dönüştü?
Aynı yüzyılda cebirin yapısı daha da soyutlaştı. Kronecker ve Dedekind gibi matematikçiler sayı sistemlerinin ortak özelliklerini incelemeye başladı. Dedekind, 19. yüzyılın ikinci yarısında daha sonra cisim adını alacak yapıları ele aldı. Böylece toplama, çıkarma, çarpma ve sıfır dışındaki elemanlar için bölmenin hangi temel özelliklere dayandığı daha açık biçimde ortaya kondu.
Bu çalışmalar, 20. yüzyılın başlarında sayı cebirinin aksiyomlar halinde ifade edilmesinin yolunu açtı. Böylece matematikçiler, uzun süredir kullanılan cebirsel kuralların hangi temel yapılardan türetilebildiğini daha sistemli biçimde ortaya koydu.
İşlem sırası da benzer bir tarihsel süreçte ortak bir kurala dönüştü. Sembolik cebirin yaygınlaşması, parantez gibi gösterimlerin standartlaşması ve ders kitaplarının giderek daha geniş bir çevrede kullanılması, matematiksel ifadelerin aynı biçimde okunmasını gerekli kıldı.
Bu nedenle standart cebirde eksi ile eksinin çarpımının artı olması zorunludur; ancak bu zorunluluk, içinde çalıştığımız cebirsel sistemin kurallarından doğar.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Becher, H. W. (1980). Woodhouse, Babbage, Peacock, and modern algebra. Historia Mathematica, 7(4), 389–400. https://doi.org/10.1016/0315-0860(80)90003-8
- O’Connor, J. J., & Robertson, E. F. (n.d.). George Peacock. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Peacock/
- Toader, I. D. (2026). Peacock’s principle as a conservative strategy. Archive for History of Exact Sciences, 80, Article 9. https://doi.org/10.1007/s00407-026-00366-y
- Miller, J. (n.d.). Earliest uses of symbols of operation. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/operation/
Matematiksel
