Matematik Ne İşe Yarar?

Kaos Teorisi Nedir? Neden Bazı Kavramlar Kaotik Olarak Nitelendirilir?

Bob Dylan’ın ünlü bir şarkısında söylediği gibi, ” Rüzgarın hangi yönden estiğini bilmek için bir hava durumu sunucusuna ihtiyacınız yok”. Yine de, gelişmiş bilgisayar sistemlerine ve yazılımlara erişimi olan eğitimli bir meteoroloji uzmanından bunu yapmasını isteyebilirsiniz. Sonuçta bu günlerde açık hava aktivitelerimizi genellikle saatler veya günler öncesinden makul tahminler sağlayan haber bültenleri, web siteleri, uygulamalar ve sesli asistanların yardımıyla planlıyoruz. 

Öte yandan tahminlerin güneşli gösterdiği bir günde piknik yapmayı planlar ancak onun yerine sabah uyandığımız zaman yağmur ile karşılaşırsak meteoroloji uzmanlarını her zaman suçlamamalıyız. Unutmayalım. Onlarca yıl öncesine kıyasla tahminler çok daha iyi olsa da, hava tahminleri kusursuz olmaktan çok uzaklar. Ve teknolojideki tüm ilerlemelere rağmen kaos teorisi asla mükemmel olamayacaklarını bizlere söylüyor.

Kaos Teorisi Nedir?

Kaotik bir sistem, başlangıç ​​koşullarındaki (mavi ve sarı) olağanüstü hafif değişikliklerin bir süre benzer davranışlara yol açtığı, ancak bu davranışın nispeten kısa bir süre sonra farklılaştığı bir sistemdir.

19. yüzyılda Fransız matematikçi Pierre Laplace, 1814 tarihli bir denemesinde şöyle demişti. Evrendeki tüm parçacıkların konumlarını ve hızlarını kesin olarak bilseydik, geleceği kesin olarak tahmin edebilirdik. Bir gün, hava tahminlerden gezegenlerin yörüngelerine kadar her şeyi kusursuz biçimde tahmin edeceğimizi ön görmüştü. Sonuçta Klasik Mekaniğin (Newton Mekaniği) özü determinizmdir. 

Determinizm, “bir fiziksel sistemin şimdiki durumu, önceki durumunun sonucudur” der. Dolayısıyla her olay ve hareketi önceden belirlemek mümkündür. Determinizmin matematiksel dili ise çok açıktır. Ancak başlangıç ​​koşullarını ne kadar iyi bilirseniz bilin, determinizm Evrene hükmetmez.

Kaotik bir dünyada, ne bekleyeceğinizi asla bilemezsiniz. Bir çok olay rastgele bir biçimde gerçekleşir. Ancak kaos teorisi ile adlandırdığımız şey, bir ders çıkışında sınıftan çıkan öğrencilerin yarattığı kaostan biraz daha farklıdır.

Kaos teorisi aynı zamanda hisse senedi piyasasının davranışıdır. Bir hisse senedinin değeri yükseldikçe veya düştükçe, insanlar o hisse senedini almaya veya satmaya daha meyillidir. Bu da hisse senedinin fiyatını daha da etkiler ve daha kaotik bir şekilde yükselmesine veya düşmesine neden olur.

Kaos teorisi, öngörülebilir olmayan kaotik fenomenleri inceleyen matematiğin bir alt dalıdır. Yerçekimi, kimyasal reaksiyonlar ve elektrik gibi konular öngörülebilir modellerle incelenebilir. Bu olayları temsil eden denklem sistemleri genellikle doğrusal (linear) dır. Kaos teorisi ise, hava durumu ve borsa gibi tahmin ve kontrol edilmesi imkansız modellerle ilgilenir. Aslında kaos ile rasgelelik tam olarak aynı şey değildir. Kaos daha çok rastgele ve tahmin edilebilir arasında bir yerdedir. İlkelerine girmeden önce, kaos teorisinin tarihine kısaca bir göz atalım.

rastgele dağılım ve zarlar
Bir para atıp tura geleceğini tahmin ederseniz, ya yüzde yüz tutturur ya da yüzde yüz yanılmış olursunuz. Ama 1.000.000 milyon para atıp 500.000 tanesinin tura geleceğini söylerseniz yanılma payınız çok azalır.

Kaos Teorisi İle Nasıl Tanıştık?

Newton yasaları iki gök cisminin hareketine mükemmel uyum sağlar, ama ikiden çok cisim olduğunda analitik çözüm elde edilemez. Üç Cisim Problemi diye anılan bu problemin çözümü 20.yüzyıla girerken astronomide popüler bir konu oldu. Norveç Kralı II.Oscar, güneş sisteminin kararlı olup olmadığını ispatlayana ödül vereceğini duyurdu.

Sonrasında Henri Poincaré 1900 yılında, üç nesnenin kütleçekim etkileşimi üzerine bir makale yayınladı. Çalışmasında Güneş sistemimizdeki kaosun varlığına dair ilk ipuçlarını ortaya koydu. Ancak kaos kavramı, Edward Lorenz’in 1963 yılındaki gözlemlerine kadar kimsenin ilgisini çekmedi.

1960’ların başlarında, MIT meteoroloji profesörü Edward Lorenz, silah testlerinin planlanmasında ve uyduların yörüngeye fırlatılmasında kullanılan ana bilgisayarların doğru hava tahminleri vermeye yardımcı olacağına ikna olmuştu. Havanın sıcaklık, basınç ve rüzgar hızı gibi bir dizi ölçülebilir faktör tarafından belirlendiği göz önüne alındığında bu o zamanki genel görüşe uygun bir beklentiydi. Lorenz basit bir denklem seti oluşturdu ve denklemleri son model bir bilgisayara girdi. Kaos genelde insanların hiç beklemediği anda ortaya çıkar. Aslında sonrasında onun da başına gelen buydu.

Özdeş bir düzenleme ile başlayan, ancak algılanamayacak kadar küçük farklılıklara sahip iki sistem 
bir süre aynı davranışı sürdürecek, ancak zamanla kaos, bunların birbirinden ayrılmasına neden olacaktır.

İlk veri setini girdi, bilgisayarı açtı ve çıktıyı bekledi. Çıktıyı makinenin yanına koyarak, bazı verileri yeniden girmeye ve programı daha uzun süre çalıştırmaya karar verdi. Ancak programın farklı bir tahmin vermişti. Sonunda, bilgisayar çıktısının verileri 0.506127 yerine 0.506 olarak yuvarladığını ve farkın bundan kaynaklandığını anlayacaktı. Her nasılsa, basit, deterministik bir denklem seti için bile, başlangıç ​​koşullarındaki çok küçük bir değişiklik, kökten farklı davranışlara yol açmıştı.

Lorenz aslında Poincaré ‘nin 63 yıl önceki bulgusunu ondan habersiz olarak yeniden bulmuştu. Başlangıç hava koşulları neredeyse aynıydı ancak sonuçlar birbirinden çok farklıydı. Kelebek Etkisi ile karşı karşıya kalmıştı.

Lorenz Çekicisi Nedir?

Bu keşif inanılmaz sonuçlar doğurdu. Öncelikle (Lorenz’in de daha sonra söyleyeceği gibi) Brezilya’da bir kelebeğin kanatlarını çırpmasının prensipte Teksas’ta bir hortumu tetiklemesinin mümkün olduğu kabul edildi. Daha da önemlisi, uzun dönemli hava tahminleri yapmak bir hayaldi. Küçük hatalar hep olacaktı. Kelebek Etkisi nedeniyle de bu küçücük hatalar bile zamanla büyüyüp bir hava tahminin büyük hatayla sonuçlanmasına sebep verecekti.

Lorenz sadece kaosu keşfetmekle kalmadı, aynı zamanda onun anahtar mekanizmasını da belirledi. Bu Lorenz Çekicisi denilen şey idi. Lorenz sistemi, adi diferansiyel denklemler sistemidir. Belirli parametre değerleri ve başlangıç ​​koşulları için kaotik çözümlere sahip olur. Lorenz çekicisi, Lorenz sisteminin bir dizi kaotik çözümüdür. Görüntüsü de aşağıdaki gibidir.

grafiksel kelebek
Kaotik matematik modellerin peşine düşen Lorenz, Lorenz çekicisini yarattı. Birbirini hiç kesmeyen, ama sürekli içi içe geçmiş iki spiralden oluşan bu şekil Kaos Teorisi’ni temsil eden bir simge oldu.

Kaos Teorisinin Tuhaf Getirisi: Fraktal Geometri

Kısa süre sonra başka tuhaf çekiciler de keşfedilecekti. Sonrasında bu garip şekillerin, Fransız-Polonyalı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından “fraktallar” olarak adlandırılan, kendine benzer bir yapıya sahip oldukları görülecekti. Garip bir çekicinin haritasını çıkarırsanız ve herhangi bir bölgeyi büyütürseniz, bu daha küçük bölge yapı olarak başlangıçtaki ile aynı biçimde görünür. Süreç her seferinde aynı biçimde sonuçlanacaktır. Bu da bizi kesirlik boyutlar yani fraktallara götürmüştür.

Mandelbrot kümesi, aynı yapı ve davranışın çeşitli ölçeklerde göründüğü bir fraktal örneğidir. Birçok kaotik sistemde aynı davranış ortaya çıkar.

Bir çoğumuza determinizmin büyük gücünü yanımızda hissetmek huzur veriyor. Ama, bir bilardo topunun masada nereye çarpacağını hesaplayamamak, üç gün sonrasının hava durumunu doğru tahmin edememek gibi durumlar bu huzura gölge düşürecektir.



Kaynaklar ve ileri okumalar:


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu