Kuaterniyonlar (Dördey) Nedir? Neden Önemlidir?

İçimizde bir çoğumuz lise yıllarında karmaşık sayıları görmüştür. Bu konu bize ilk başta değişik gelse de zamanla alıştık. Günümüzde de bu karmaşık sayıların pek çok kullanım alanı olduğunu biliyoruz. Ancak aslında matematikteki birçok kavram gibi, karmaşık sayılar da başlangıçta günümüzdekinden çok farklı bir anlamda ortaya çıkmıştı.

Matematikçileri kısa süre sonra “hayali sayılar” olarak adlandırdıkları şeyi düşünmeye iten şey ikinci dereceden denklemlerin çözümünde karşılarına çıkan kökün içindeki negatif sayılar olmuştu. Negatif karekökün ne olduğu hakkında aslında hiçbir fikirleri yoktu. Bunu i diye isimlendirip karesini alıp normal bir negatif sayı elde ederek karşılarına çıkan sorunu çözmeye çalıştılar.

Gerekli kavramsal atılımı yapan kişi ise İrlandalı matematikçi William Rowan Hamilton oldu. Hamilton karmaşık sayıları düzlemdeki noktalar olarak düşünen ilk kişi idi. Sonrasında da karmaşık sayılarda çarpma üzerine düşünmeye başladı. Bir karmaşık sayıyı belli bir sayı ile çarptığı zaman aslında o karmaşık sayıyı genişlettiğini bazı zamanlarda da döndürdüğünü fark etti. Aşağıda bir karmaşık sayının 2 ile çarpılmasının ne anlama geldiğini görüyorsunuz.

Sonunda karmaşık sayılar matematikçiler için anlam kazanmaya başladı. Hala tam olarak ne olduğunu anlamasa da matematikçiler karmaşık sayıları kullanmaya başladılar. Bu arada Hamilton iki karmaşık sayının çarpılması sonucunda ne olacağını düşünmeye başlamıştı. Hayatının son yirmi yılını, karmaşık sayıların iki boyuttaki dönüşleri temsil edebileceğine benzer bir şekilde üç boyutlu dönüşleri temsil etmenin bir yolunu aramaya adadı.

Köprüde Yürüyüş Sırasında Gelen ilham

Hamilton, 16 Ekim 1843 Pazartesi günü, Kraliyet Ailesi’nin bir Konsey toplantısına başkanlık yapmak için Kraliyet Kanalı boyunca eşiyle birlikte yürürken bu sorunun çözümü aklına bir an da geldi. Bunun sonucunda matematikteki en ünlü vandalizm eylemini gerçekleştirdi. O esnada tam da Brougham Köprüsü’nün üzerindeydi. Kalemini çıkardı ve oradaki taşa aklına gelen formülü çizdi.

Kuaterniyonlar

Yazdığı formül şu şekildeydi: i2 = j2 = k2 = ijk = –1. Buluşunu “kuaterniyonlar” ( dördey) olarak adlandırdı. ( Çünkü bu sayılar dört parçaya sahiptir.) Modem cebirdeki en önemli gelişmelerden biri 1843’te kuaterniyonların keşfi ile yaşandı. Sir William Hamilton’ın Akademiye birkaç hafta sonra Kasım 1843’te sunduğu teoride, kuaterniyon terimi, belirli bir dörtlü ifadeyi adlandırmak için kullanıldı. Hamilton, karmaşık sayıları “q=a+bi+cj+dk” biçiminde genelleştirmişti. Ancak matematiğe yabancı biri için bu buluşun önemi ilk etapta anlaşılmayacaktır. Şimdi onu anlamaya çalışalım.

Ayrıca kuaterniyonlar kelimesinin kulağa biraz garip geldiğini düşünüyorsanız, yalnız değilsiniz. Hamilton’un akranları da bir süre onun bu buluşuyla alay ettiler. Ancak tarih Hamilton’u haklı çıkartacaktı. Hamilton aslında karmaşık sayıları 2’den daha büyük boyutlarda kullanmanın bir yolunu bulmuştu. Kuaterniyonların nesneleri üç boyutlu döndürmenin en etkili yolu olduğu zamanla ortaya çıktı. 

Kuaterniyonlar
Hamilton’un kuaterniyonları keşfettiği Brougham Köprüsü’ndeki plak.

Kuaterniyonlar Nedir?

Bir kuaterniyon q ile gösterilmek üzere q=a + bi + cj + dk şeklinde yazılabilir. Burada a, b, c ve d gerçek sayılar ve i, j ve k ise sanal sayılardır. Yani karşılıkları √-1 ‘dir. Bu dörtlüyü kısaca (a, b, c, d) biçiminde gösterebiliriz. Buradaki i, j ve k sanal sayılar olmasına rağmen her birinin vektörel anlamda anlamları birbirinden farklıdır.

Hamilton’un sayı kavramını dördeyleri içerecek şekilde genişletmesi, sayılar ve onların anlamı arasındaki bağı kopardı. Artık matematikçilerin tamamen biçimsel tanımlara dayalı yeni sayı türleri yaratması mümkündü. Dördeyler kümesi pek de şaşırtıcı olmayan bir biçimde günümüzde onun adının baş harfi olan H ile gösterilir.

Herhangi bir karmaşık sayıyı i ile çarptığımız zaman aslında sayımızı söndürmüş oluruz. Örneğin 1+i sayısının i ile çarpımı bize -1+i sonucunu verecektir. Ancak bu eylemi iki boyutlu olarak gerçekleştiririz. Aslında, yalnızca 90 derecelik değil, herhangi bir döndürme, karmaşık bir sayı ile çarpma kullanılarak elde edilebilir.

Dördeyler Ne İşe Yarar?

Hamilton’un yaptığı keşfin etkilerini soyut matematikte gözlemlemek mümkündür. Ayrıca cisimleri uzayda döndürmek için bizlere basit bir yaklaşım sağlar. Bu da özellikle robotik, navigasyon, bilgisayar görselleştirme, animasyon gibi alanlarda kendine uygulama yeri bulur. Kuaterniyonlar, uçakları ve roketleri yönlendiren kontrol sistemleri için de hayati önem taşır.

Gerçel sayılar 1, karmaşık sayılar 2, dördey sayılar ise 4 boyutludur. Sayıların artışındaki örüntüye dikkat ederseniz bir sonraki sayı sisteminin 8 boyutlu olacağını tahmin edebilirsiniz. Bu tahmininiz doğrudur. 8 boyutlu cebir mümkündür. Cayley sayıları olarak da bilinen sekizeyler ( oktonyon) bize böyle bir sistem sunar. Hızınızı alamayıp 16 boyutlu cebirin mümkün olup olmadığını sorarsanız cevabımız hayırdır.

Oktonyon cebirinin günümüzde halen tam olarak ne işe yarayacağını bulamasak da, bu bekleyiş çok uzun sürmeyebilir. Kuantum mekaniğini ve genel göreliliği bağdaştıran bir “her şeyin teorisi” nin ana konularından biri sicim teorisinin bir versiyonu olan olan M-teorisidir. M-teorisi on bir boyut gerektirir. Bunları sekiz oktonyon boyutunun üzerine uzayın üç boyutunu koyarak tanımlar.

Ayrıca fizik yasaları simetriler üzerine kuruludur. Bu iki cebir sistemi de önemli ve sıra dışı simetri özellikleri taşır. Elde edilen simetriler üç boyutlu uzaydaki cisim dönüşleri ile yakında ilgilidir. Bu nedenle bilgisayar oyunları dördey sayıları grafik yazılımında sıklıkla kullanır. Hamilton fikirlerini bir köprüye karalamış olabilir ancak bunlar belki de çoktan kozmosun dokusuna işlenmiştir.


Göz Atmak İsterseniz


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Ceyda Cevahir

Matematik ile kafayı bozmuş, Rizeli bir baba ve Ordulu bir annenin hırçın karedeniz kızı. İstanbul'da başlayan yaşam mücadelem Kastamonu Göl Anadolu Öğretmen Lisesi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Matematik Öğretmenliği, yüksek lisans ve doktoram Ordu Üniversitesi ve Ondokuz Mayıs Üniversitesi Geometri anabilim dalı diye gidiyor. Eğitim hayatım bunlardan ibaret. Anlayacağınız göçebe bir yaşam tarzım var. Aslında gezmeyi de seviyorum. Tam bir doğa aşığı ve hayvanseverim. Bilim ile uğraşmayı, yeni bir şeyler öğrenmeyi seven meraklı biriyim hele ki konu matematikse... Bu yolda öğrendiklerimi sizlerle paylaşacağım. Umarım keyifle okursunuz. Matematik ile kalın, hoşça kalın. :)

2 Yorum

  1. Derli toplu ve faydalı yazınız için çok teşekkürler.

Başa dön tuşu