Temel Matematik

Kuaterniyonlar (Dördey) Nedir? Neden Önemlidir?

İçimizde bir çoğumuz lise yıllarında karmaşık sayıları görmüştür. Bu konu bize ilk başta değişik gelse de zamanla alıştık. Karmaşık düzlem, i’nin negatif bir sayının karekökü olduğu sorununu unutmamızı sağlar. Ancak bu matematikçiler için yeterli değildir. Çünkü karmaşık sayıların bazı sınırlandırmaları vardır. Karmaşık sayılarda kullanılan yöntemler bizi iki boyut ile sınırlar. Ancak uzay üç boyutludur. Matematikçiler 19. yüzyılda karmaşık sayıları da dahil ederek üç boyutlu sayılar sistemi kurmaya çalıştılar. Bu fikir üzerine en çok düşünen de İrlandalı matematikçi William Hamilton oldu.

Kuaterniyonlar

Hamilton, 16 Ekim 1843 Pazartesi günü, Kraliyet Ailesi’nin bir Konsey toplantısına başkanlık yapmak için Kraliyet Kanalı boyunca eşiyle birlikte yürürken bu sorunun çözümü aklına bir an da geldi. Bunun sonucunda matematikteki en ünlü vandalizm eylemini gerçekleştirdi. O esnada tam da Brougham Köprüsü’nün üzerindeydi. Kalemini çıkardı ve oradaki taşa aklına gelen formülü çizdi.

Yazdığı formül şu şekildeydi: i2 = j2 = k2 = ijk = –1. Hamilton, üç rakamlı koordinatlar için matematiksel olarak geçerli kurallar bulmanın imkansız olduğunu, ancak bunun dört rakamla çalışmasını sağlayabileceğini fark etmişti. Buluşunu “kuaterniyonlar” ( dördey) olarak adlandırdı. ( Çünkü bu sayılar dört parçaya sahiptir.) Modem cebirdeki en önemli gelişmelerden biri 1843’te kuaterniyonların keşfi ile yaşandı. Sir William Hamilton’ın Akademiye birkaç hafta sonra Kasım 1843’te sunduğu teoride, kuaterniyon terimi, belirli bir dörtlü ifadeyi adlandırmak için kullanıldı. Hamilton, karmaşık sayıları “q=a+bi+cj+dk” biçiminde genelleştirmişti.

Kuaterniyonlar
Hamilton’un kuaterniyonları keşfettiği Brougham Köprüsü’ndeki plak.

Kuaterniyonlar Nedir?

Bir kuaterniyon q ile gösterilmek üzere q=a + bi + cj + dk şeklinde yazılabilir. Burada a, b, c ve d gerçek sayılar ve i, j ve k ise sanal sayılardır. Yani karşılıkları √-1 ‘dir. Bu dörtlüyü kısaca (a, b, c, d) biçiminde gösterebiliriz. Buradaki i, j ve k sanal sayılar olmasına rağmen her birinin vektörel anlamda anlamları birbirinden farklıdır. Kuaterniyonlar fikrinin ve kelimesinin kulağa biraz garip geldiğini düşünüyorsanız, yalnız değilsiniz. Hamilton’un akranları da bir süre onun bu buluşuyla alay ettiler. Ancak tarih Hamilton’u haklı çıkartacaktı. Hamilton’un sayı kavramını dördeyleri içerecek şekilde genişletmesi, sayılar ve onların anlamı arasındaki bağı kopardı. Artık matematikçilerin tamamen biçimsel tanımlara dayalı yeni sayı türleri yaratması mümkündü. Dördeyler kümesi pek de şaşırtıcı olmayan bir biçimde H ile gösterilir.

Ne İşe Yarar?

Hamilton’un yaptığı keşfin etkilerini soyut matematikte gözlemlemek mümkündür. Ayrıca cisimleri uzayda döndürmek için bizlere basit bir yaklaşım sağlar. Bu da özellikle robotik, navigasyon, bilgisayar görselleştirme, animasyon gibi alanlarda kendine uygulama yeri bulur. Kuaterniyonlar, uçakları ve roketleri yönlendiren kontrol sistemleri için de hayati önem taşır.

Gerçel sayılar 1, karmaşık sayılar 2, dördey sayılar ise 4 boyutludur. Sayıların artışındaki örüntüye dikkat ederseniz bir sonraki sayı sisteminin 8 boyutlu olacağını tahmin edebilirsiniz. Bu tahmininiz doğrudur. 8 boyutlu cebir mümkündür. Cayley sayıları olarak da bilinen sekizeyler ( oktonyon) bize böyle bir sistem sunar. Hızınızı alamayıp 16 boyutlu cebirin mümkün olup olmadığını sorarsanız cevabımız hayırdır. Oktonyon cebirinin günümüzde halen tam olarak ne işe yarayacağını bulamasak da, bu bekleyiş çok uzun sürmeyebilir. Kuantum mekaniğini ve genel göreliliği bağdaştıran bir “her şeyin teorisi” nin ana konularından biri sicim teorisinin bir versiyonu olan olan M-teorisidir. M-teorisi on bir boyut gerektirir. Bunları sekiz oktonyon boyutunun üzerine uzayın üç boyutunu koyarak tanımlar.

Ayrıca fizik yasaları simetriler üzerine kuruludur. Bu iki cebir sistemi de önemli ve sıra dışı simetri özellikleri taşır. Elde edilen simetriler üç boyutlu uzaydaki cisim dönüşleri ile yakında ilgilidir. Bu nedenle bilgisayar oyunları dördey sayıları grafik yazılımında sıklıkla kullanır. Hamilton fikirlerini bir köprüye karalamış olabilir ancak bunlar belki de çoktan kozmosun dokusuna işlenmiştir.

Göz Atmak İsterseniz

KAYNAKLAR:

Matematiksel

Ceyda Cevahir

Matematik ile kafayı bozmuş, Rizeli bir baba ve Ordulu bir annenin hırçın karedeniz kızı. İstanbul'da başlayan yaşam mücadelem Kastamonu Göl Anadolu Öğretmen Lisesi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Matematik Öğretmenliği, yüksek lisans ve doktoram Ordu Üniversitesi ve Ondokuz Mayıs Üniversitesi Geometri anabilim dalı diye gidiyor. Eğitim hayatım bunlardan ibaret. Anlayacağınız göçebe bir yaşam tarzım var. Aslında gezmeyi de seviyorum. Tam bir doğa aşığı ve hayvanseverim. Bilim ile uğraşmayı, yeni bir şeyler öğrenmeyi seven meraklı biriyim hele ki konu matematikse... Bu yolda öğrendiklerimi sizlerle paylaşacağım. Umarım keyifle okursunuz. Matematik ile kalın, hoşça kalın. :)

2 Yorum

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu