Johann Carl Friedrich Gauss’un matematiksel başarılarla dolu bir hayatı vardı. Ancak o, her şeyden önce mezar taşına “düzgün bir on yedigen” kazınmasını istiyordu. Bu 17 kenarlı şekil, Gauss’un matematiğe yaptığı en önemli katkılardan biri olarak gördüğü bir ispatın merkezinde yer alıyordu. Üstelik bu ispatı henüz 18 yaşındayken yapmıştı.
Bu problemin tarihine doğru çıkacağımız yolculuk, geometrinin yalnızca şekiller çizme sanatı olmaktan çıkıp denklemlerle ifade edilen modern bir bilime nasıl dönüştüğünü de gösteriyor.
Antik Yunanlar, geometriyi yalnızca şekilleri inceleyen bir alan olarak görmüyordu. Onlar için asıl önemli olan, bu şekillerin hangi temel adımlarla ve hangi araçlarla oluşturulabileceğini göstermekti. Bu nedenle özellikle pergel ve işaretsiz cetvelle yapılan geometrik çizimlere büyük önem verdiler.
Bu çizimlerde kullanılan araçlar oldukça sınırlıdır. İki nokta verildiğinde pergel, merkezi bu noktalardan biri olan ve diğer noktadan geçen bir çember çizmeyi sağlar. İşaretsiz cetvelle de verilen iki noktadan geçen bir doğru çizmek mümkündür.
Ancak cetvelin üzerinde herhangi bir ölçü işareti yoktur. Dolayısıyla uzunlukları ya da açıları doğrudan ölçmek mümkün değildir. Her sonuç, yalnızca doğruların ve çemberlerin kesişimlerinden yararlanılarak elde edilmelidir.
Bu yöntemdeki sınırlamalar, matematiği gereksiz yere zorlaştırmak için konmuş keyfî kurallar değildir. Pergel ve cetvelle geometrik şekiller oluşturma geleneği, MÖ 3. yüzyılda kaleme alınan ve matematik tarihinin en etkili eserlerinden biri olan Öklid’in Elementler adlı kitabına dayanıyordu.
Öklid, geometriyi mümkün olduğunca az sayıda temel kabul üzerine kurmayı amaçlamıştı. Bir şeklin ya da geometrik nesnenin var olduğunu yalnızca söylemekle yetinmiyordu. Onun hangi adımlarla oluşturulabileceğini de açıkça göstermek istiyordu.
Neden On Yedigen?
Bu yaklaşım, geometrik çizimleri basit bir çizim etkinliğinden çıkarıp mantıksal bir kanıtlama yöntemine dönüştürdü. Bir şekli pergel ve cetvelle oluşturabilmek, aynı zamanda o şeklin temel geometrik ilkelerden adım adım türetilebildiğini göstermek anlamına geliyordu. Pergel ve işaretsiz cetvelle oluşturulabilen şekiller arasında düzgün çokgenlerin ayrı bir yeri vardır.
Öklid, üç, dört ve beş kenarlı düzgün çokgenlerin nasıl çizileceğini gösterdi. Başka bir deyişle eşkenar üçgeni, kareyi ve düzgün beşgeni yalnızca pergel ve işaretsiz cetvelle oluşturmayı başardı. Bununla da yetinmedi. Elindeki bu temel çizimlerden yararlanarak yeni düzgün çokgenler üretmenin yollarını geliştirdi.
Örneğin bir düzgün çokgenin kenar sayısını iki katına çıkaran basit bir yöntem kullandı. Böylece üçgenden altıgeni, kareden sekizgeni ve beşgenden ongeni elde etti. Aynı işlemi tekrar tekrar uygulayarak 12, 16, 20 ve daha çok kenarlı düzgün çokgenlere ulaştı. Ayrıca eşkenar üçgen ile düzgün beşgenin özelliklerini bir araya getirerek düzgün 15genin çizimini de ortaya koydu.
Ancak bu yöntemler her çokgende işe yaramıyordu. Öklid, bir üçgenin kenar sayısını on kez iki katına çıkararak düzgün 3072gen çizebileceğini biliyordu. Buna karşılık düzgün yedigeni ya da düzgün 11geni yalnızca pergel ve cetvelle nasıl oluşturacağını bulamadı. İşte geometrinin yüzyıllarca çözülemeyen sorusu da burada başladı.
Bu durumda ortaya şu soru çıktı. “Hangi düzgün çokgenler yalnızca cetvel ve pergel ile çizilir?”. Bu soru, iki bin yıl boyunca cevapsız kalacaktı. Aslında bu kadar uzun süre yanıtlanamaması, matematik dünyası için bir şanstı. Çünkü bu sayede Carl Friedrich Gauss ile tanışacaktı.
1796 yılına gelindiğinde Öklid’in listesindeki düzgün çokgenlere yenileri eklenmemişti. Ancak matematikçiler, pergel ve cetvel çizimlerinin ardındaki cebirsel yapıyı çok daha iyi anlamaya başlamıştı. Gauss da bu birikimden yararlanarak düzgün çokgen çizme problemini, belirli uzunlukta bir doğru parçası oluşturma problemine dönüştürdü.
Gauss On yedigen İle İlgili Sorunu Nasıl Çözdü?
Gauss’un döneminde matematikçiler, pergel ve işaretsiz cetvelle hangi uzunlukların oluşturulabileceğini biliyordu. Bunun için uzunluğu yalnızca geometrik bir çizgi olarak değil, bir sayı olarak düşünmek gerekiyordu. Tam sayılardan başlayarak toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök alma işlemleriyle elde edilebilen her uzunluk, pergel ve cetvelle çizilebilirdi.
Bunun nedeni, bu beş işlemin her birinin geometrik bir çizimle karşılığının bulunmasıydı. Başka bir deyişle bir uzunluğun sayısal değerini bu işlemlerle ifade edebiliyorsanız, aynı uzunluğu yalnızca pergel ve cetvel kullanarak adım adım oluşturabiliyordunuz.
Şaşırtıcı gelebilir ama Gauss aslında düzgün 17geni çizmedi. Buna gerek de duymadı. Onun amacı, çizimin mümkün olduğunu matematiksel olarak kanıtlamaktı.
Bir çemberin çevresine düzgün bir 17gen çizildiğinde merkezdeki tam açı 17 eşit parçaya ayrılır. Bu nedenle yan yana iki köşeye uzanan yarıçaplar arasında 360/17 derecelik bir açı bulunur. Bu açının çember üzerinde belirlediği iki nokta arasındaki uzaklık da 17genin bir kenarını verir.
Gauss, bu merkez açısıyla bağlantılı olan kosinüs değerini, yani cos(2π/17) ifadesini yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök alma işlemleriyle yazmayı başardı.
Başka bir deyişle Gauss, şekli kâğıt üzerinde adım adım çizmek yerine, onu çizmek için gereken temel uzunluğun oluşturulabilir olduğunu kanıtladı. Bulduğu ifade son derece karmaşıktı. Ancak bu karmaşıklık, henüz 18 yaşındaki Gauss’un problem üzerinde ne kadar yoğun çalıştığını da gösteriyordu.
Gauss’un başarısı yalnızca düzgün 17genin çizilebileceğini göstermekle sınırlı değildi. Hangi düzgün çokgenlerin yalnızca pergel ve işaretsiz cetvelle çizilebileceğini belirleyen genel kuralı da ortaya koydu. Ancak bu kuralın bütün olasılıkları kapsadığını kesin biçimde kanıtlayan kişi, 1837 yılında Fransız matematikçi Pierre Wantzel oldu.
Sonuç olarak
Böylece Gauss ve Wantzel, Öklid’in neden düzgün yedigeni ve düzgün 11geni çizemediğini de açıklığa kavuşturdu. Sorun, uygun yöntemin henüz bulunamamış olması değildi. Bu çokgenleri yalnızca pergel ve işaretsiz cetvelle çizmek gerçekten imkânsızdı. Aynı durum sonsuz sayıda başka düzgün çokgen için de geçerliydi.
Gauss, yaklaşık iki bin yıldır çözülemeyen bu problemi aşmaktan büyük gurur duyuyordu. Biyografi yazarı G. Waldo Dunnington’a göre bir arkadaşına, mezar taşına düzgün bir 17gen işlenmesini istediğini söylemişti. Ancak bu isteği gerçekleşmedi.
Yine de Almanya’daki doğum yeri Braunschweig’da bulunan Gauss anıtının arka yüzüne 17 köşeli bir yıldız kazındı. Taş ustası, düzgün bir 17genin uzaktan bakıldığında çemberden ayırt edilemeyeceğini düşündüğü için yıldızı tercih etmişti.
Okuma Önerisi: Antik Çağın Çözülemeyen Üç Klasik Problemi Nedir?
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Why This Great Mathematician Wanted a Heptadecagon on His Tombstone. Yayınlanma tarihi: 12 Eylül 2024. Kaynak site: Bağlantı: Why This Great Mathematician Wanted a Heptadecagon on His Tombstone
- Why are Most Polygons Impossible to Construct? Kaynak site: Youtube. Bağlantı: Why are Most Polygons Impossible to Construct?
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
