İkiye Bölme Metodu İle Karmaşık Bir Denklemi Nasıl Çözeriz?

Denklemler ve elbette denklem çözme konusunda sıkıntı yaşamıyor olabilirsiniz. Ancak emin olun gördüğünüz zaman nasıl çözeceğiniz konusunda pek de bir fikrinizin olmayacağı bir çok denklem vardır. Aslında bilim insanlarının karşısına çıkan denklemlerin çoğu da bu biçimdedir.

Bir bilinmeyenli bir denklemi çözmek için alışılmış bazı teknikler vardır. Ancak bu tip zorlu denklemler karşısında bu teknikler çoğunlukla işe yaramayacaktır. Bu esnada farklı yaklaşımlara ihtiyaç duyulacaktır. Bunlardan birisi de bisecting yani ikiye bölme – yarılama metodu olacaktır.

Ancak öncelikle konuya yabancı olan ancak matematik öğrenmek isteyenler için bazı önbilgiler verelim. Bir denklemi çözmek demek denklemin kök ya da köklerini bulmak anlamına gelmektedir. Diğer bir deyiş ile bir denklemin kökleri f(x) = 0’ın çözümleridir. Bu aynı zamanda, f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği yerdir.

İkiye Bölme Metodu İle İlgili Bir Örnek

Örneğin. 3x3 + 3x2 − 3x − 1 = 0 denklemini çizdiğiniz zaman üç kökünü görebilirsiniz. Ancak gördüğünüz gibi denklemin kökleri tamsayılar değil. Şimdi gelin  x = 0 ile x = 1 arasında var olduğunu bildiğimiz kökün değerini ikiye bölme yöntemi ile yaklaşık olarak bulmaya çalışalım. 

Eğer bir fonksiyonun değeri -‘den +’ya veya +’dan -‘ye geçiyorsa, bu geçişte o fonksiyon değeri bir noktada sıfır oluyor demektir.

Aslında yöntem gerçekten oldukça basit. Aslında yapmanız gereken sadece iki sayının ortasındaki sayıyı bulmak bunun için de aritmetik ortalama almak. Yani basitçe söylemek gerekirse sayıları toplayıp sonra da ikiye bölmek. Matematiksel olarak söylememiz gerekirse bulacağınız köke xm dersek  xm = (x1 + x2 )/2 işlemi ile aradaki kökü bulacağız.

Bu arada aynı zamanda f(x) yani y değerlerini de hesaplayacağız. Ancak bu hesaplamada sayı değil sonucun işareti bizim için önemli. Sonuçta elde ettiğimiz değerlerin grafiğimize uygun olmasını istiyoruz. Şimdi aşağıdaki tabloya göz atalım.

Bu tablo da ilk kökümüzü yani x1‘i 0, ikinci kökümüzü yani x2′yi 1 olarak kabul ediyoruz. Sonrasında da ikiye bölme yöntemi uyguluyoruz. Aradığımız kökün virgülden sonra sadece bir basamağını bilmek istediğimizi düşünelim. Bu durumda son satırda da gördüğünüz gibi  x2 − x1 < 0.1 olduğu zaman duracağız.

İkiye Bölme Metodu İle İlgili Bazı Ayrıntılar

x2 − x1 < 0,0625 olduğundan işlem durdurulur, dolayısıyla kökün yaklaşık değeri 0,78125 olacaktır. Bu da yaklaşık olarak 0,8 anlamına gelir. Yukarıdaki tabloda bulduğumuz xm sonucunun bazen x1 bazen de x2 yerine geliyor olması kafanızı karıştırmış olacaktır. Aslında bu duruma bulduğumuz f(xm)’in işaretinin f(x1)’in işareti ile çarpılması sonucunda karar veriyoruz. Eğer bu çarpım pozitif ise xm yerine x1 geliyor. Negatif olduğu zamanlarda da xm yerine x2 geliyor.

Gördüğünüz gibi ikiye bölme yöntemi sayesinde bir denklemin kökünü belki de sadece bir hesap makinesi kullanarak bulabiliyoruz. Ancak yöntem işe yarasa da oldukça uzun zamanda sonuç verir. Yukarıdaki örnekte kökü 2 ondalık basamağa kadar tahmin etmek için birkaç yineleme daha gerekir. İkiye bölme metodunun güzelliği basitliğinde yatmaktadır. Aşağıdaki grafikte doğru cevaba adım adım nasıl yaklaştığımızı da görebilirsiniz.

İkiye bölme yönteminin çıkış noktası

İkiye bölme yöntemi kolay olsa da uygulanabilmesi için bazı koşullar vardır. Bu yöntem temelde sürekli fonsiyonlar için geçerli olan Bolzano teoremine dayanmaktadır. Aynı zamanda Bolzano-Weierstrass ( Karl Weierstrass ispatını yapmıştır) teoremi olarak da bilinen bu teorem klasik matematik analizin temel teoremlerinden biridir.

Basit bir deyişle, eğer fonksiyon bir aralıkta sürekli ise yani elinizi kaldırmadan fonksiyonun grafiğini çizebiliyorsanız ve fonksiyonun işareti bu aralıkta değişiyorsa, bu fonksiyon muhakkak f(x)=0 noktasından geçiyordur ve x değeri de bu fonksiyonun bir köküdür. Bu durumda sürekli olmayan fonksiyonlarda bu yöntemi kullanmak olası değildir.



Kaynaklar ve ileri okumalar


Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu