Günlük hayatta binler, milyonlar, milyarlar gibi sayılar bize çok büyük görünür. Oysa matematik açısından bakıldığında bunlar aslında o kadar da büyük sayılar değildir. Gerçekten devasa bir sayı ile tanışmak istiyorsanız Graham sayısını bilmeniz gerekir. Bu sayı büyüklüğünden dolayı Guinness Rekorlar Kitabına girmeye hak kazanmıştır.
İnsan aklı çok büyük sayıları hayal edebildiğini düşünebilir. Fakat hangi sayı söylenirse söylensin, Graham sayısına yaklaşmak bile mümkün değildir. Bu sayı o kadar büyüktür ki normal biçimde yazılamaz.
Çok büyük sayılardan söz edildiğinde akla gelen ilk örneklerden biri googol sayısıdır. Googol sayısı 10 üzeri 100’e eşittir. Yani 1 rakamının yanına 100 tane sıfır yazılmasıyla oluşur. Bu sayı şu şekilde yazılabilir:
Fakat googolplex bundan çok daha büyüktür. Bu sayıyı yazmaya kalkışsanız, Dünya’daki bütün kâğıtlar yetmez. Hatta gözlemlenebilir evrendeki tüm maddeyi kullansanız bile yine yeterli olmaz. Sıfırların her birini atomaltı ölçekte yazdığınızı varsaysanız bile googolplex’in bütün basamaklarını yazmanız mümkün değildir. Ancak Graham sayısı yanında hâlâ oldukça küçük kalır.
Graham Sayısı Nedir?
İnsan hayal gücünü biraz daha zorlamak isterse diziyi devam ettirmek de mümkündür. Googolduplex’ten sonra googoltriplex, googolquadruplex gibi yeni terimler düşünülebilir. Aslında bu tür sayılar teorik olarak istediğimiz kadar üretilebilir. Ancak buna pek gerek kalmadı. Çünkü 1935 yılında Ronald Graham adında bir çocuk dünyaya geldi.
Matematiğe yönelen Graham daha sonra ünlü Berkeley Üniversitesi’nde eğitim gördü ve 1962 yılında doktorasını tamamladı. Meslek hayatını teknoloji araştırmalarına adadı. Önce Bell Labs’te çalıştı. Bu kurum bugün Nokia’ya bağlıdır. Daha sonra AT&T Research Labs’e geçti ve burada otuz yedi yıl boyunca görev yaptı. 1999 yılında emekli olduğunda bilgi bilimleri direktörü konumuna kadar yükselmişti.
Buna rağmen onu ünlü yapan şey doğrudan mesleki görevi değil, 1977 yılında yayımladığı bir makaleydi. Bu çalışma Ramsey teorisi ile ilgiliydi ve içinde son derece sıra dışı büyüklükte bir sayı yer alıyordu. Daha sonra Graham sayısı olarak anılacak bu sayı, matematikte tanımlanan en büyük sayılardan biri hâline geldi.
Graham sayısı o kadar büyüktür ki basit bir üs biçiminde yazılamaz. Bu nedenle matematikçiler Knuth ok notasyonu adı verilen özel bir gösterim kullanır. Bu yöntem sayesinde Graham sayısının yalnızca son basamakları hesaplanabilmiştir. Sayının tamamını yazmak imkânsızdır.
Rayo Sayısı Graham’ı Geçer
Başta da belirttiğimiz gibi, 1980 yılında Guinness Rekorlar Kitabı Graham sayısını matematikte ortaya çıkan en büyük sayı olarak kaydetmişti. Ancak matematikte sınırlar sürekli genişler. Bu nedenle bu unvan uzun süre korunamadı ve daha sonra bundan da büyük sayılar tanımlandı.
Bunlardan biri TREE sayılarıdır. Amerikalı matematikçi William Friedman, Kruskal’ın ağaç teoremiyle bağlantılı problemler üzerinde çalışırken bu olağanüstü büyük sayıları ortaya koydu. Bu sayılar büyüklük bakımından Graham sayısını bile geride bırakır.
En büyük sayıyı bulduk diye sevinmemek gerekir. Graham sayısından bile daha büyük sayılar vardır. Bunlardan biri de Rayo sayısıdır. Bu sayı, 26 Ocak 2007’de MIT’den Agustín Rayo ile Princeton’dan Adam Elga arasında yapılan ilginç bir matematik düellosu sırasında ortaya çıktı. Yarışmanın amacı, belirli kurallar içinde mümkün olan en büyük sayıyı tanımlamaktı.
Düelloda yarışmacılar sırayla tahtaya çıkıp bir sayı yazıyordu. Karşı taraf ise aynı sayıyı sadece “bir fazlası” yapmadan, tamamen farklı bir yöntemle daha büyük bir sayı yazmak zorundaydı. İlk hamleyi Elga yaptı ve tahtaya basitçe 1 yazdı.
Ardından Rayo tahtaya gelip bu 1’in yanına yaklaşık otuz tane daha 1 ekledi. Daha sonra Elga tekrar söz aldı ve yazılan 1’lerin çoğunun alt kısmını silerek ifadeyi faktöriyellerle değiştirdi. Böylece yalnızca baştaki iki 1 görünür kaldı ve ortaya 11!!!!…! biçiminde bir ifade çıktı.
Son turda Rayo tahtaya tekrar çıkar ve yarışmayı kazandıracak ifadesini yazar. Ancak yazdığı şey doğrudan bir sayı değildir. Sayının tanımıdır. Tanım kabaca şöyledir: Birinci dereceden küme kuramının googol kadar sembolü kullanılarak ifade edilebilen en büyük sonlu sayıdan büyük olan en küçük sayı.
Bu ifade yarışmanın kurallarına uygundur ve aynı zamanda rakibin daha büyük bir sayı yazmasını da imkânsız hâle getirir. Elga bu tanımı aşabilecek başka bir sayı bulamaz. Böylece Rayo’nun önerdiği sayı yarışmayı kazanır.
Sonuç Olarak
Günümüzde bu sayının “tahtını” elinden alan başka bir tanım ortaya çıkmamıştır. Ancak Rayo sayısı pratik bir matematiksel hesapta kullanılan bir sayı değildir. Daha çok matematiksel tanımların sınırlarını göstermek için ortaya konmuş kavramsal bir örnektir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- These Numbers Are So Big They Literally Don’t Fit Inside The Universe. Yayınlanma tarihi: 11 Kasım 2022. Kaynak siste: Iff Science. Bağlantı: These Numbers Are So Big They Literally Don’t Fit Inside The Universe
- The Daddy of Big Numbers (Rayo’s Number) – Numberphile; yayınlanma tarihi: 12 Nisan 2020; bağlantı: https://www.youtube.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
