İlginç Sayılar

Rekorlar Kitabına Giren Graham Ve Rayo Sayısı İle Tanışın

Matematikte her sayıdan büyük sayılar karşımıza çıkar. Günlük hayatta binler, milyonlar, milyarlar,… gibi sayılar bize büyük gibi gelse de matematik açısından bu sayılar fazla da büyük sayılmaz. Gerçekten büyük bir sayı ile tanışmak istiyorsanız Graham Sayısını bilmelisiniz. Ronal Graham’ın adıyla anılan, bu sayı büyüklüğünden dolayı 1980 yılında Guinness Rekorlar Kitabına girmeye hak kazanmıştır.

Kitapta Graham sayısının geçtiği kısım, yukarıda sarı dikdörtgenin içine yazılmış.

Graham Sayısı Ne Kadar Büyüktür?

Bu sayımız, ister yıl (yaklaşık 14 milyar yıl) ister saniye (4.343×1017 saniye) olarak ölçülsün, Evrenin yaşından çok daha büyük. Graham’ın sayısı, 1078 ile 1082 arasında olduğu düşünülen gözlemlenebilir Evrendeki atom sayısından da daha büyük. Ayrıca 1929’da Amerikalı matematikçi Edward Kasner tarafından tanımlanan ünlü googol, yani 10100 sayısından da çok daha büyük. Hatta Graham’ın sayısı ayrıca, 10googol olarak kabul edilen bir googolplex sayısından da daha büyüktür. Umarız bu sayının yeterince büyük olduğu konusunda ikna olmuşsunuzdur. Ancak işin ilginç tarafı bu sayı sonludur, aynı zamanda bir tam sayıdır ve akıllara durgunluk verecek kadar büyük olmasına rağmen 3’e bölünebildiğini ve 7 ile bittiğini biliyoruz.

Graham Sayısı Nedir?

Graham’ın sayısının kökeni 1928’e kadar uzanır. O dönemde genç bir matematikçi olan Frank Ramsey, mantıkla ilgili bir makale üzerinde çalışırken şaşırtıcı bir şey fark edecekti. Bu fark ettiği şey aslında sonuç, Ramsey Teorisi adı verilen tamamen yeni bir matematik alanının başlangıcıydı. Ne olduğunu anlamanız açısında çoğunlukla verilen parti örneğini biz de verelim.

Diyelim ki bir parti veriyorsunuz ve kimin kimi tanıdığını takip etmeye karar veriyorsunuz. Tüm arkadaşlarınızın ilişkilerinin bir haritasını çizdiğinizi, iki kişiyi arkadaşsa mavi çizgi ile ve yabancıysa kırmızı çizgi ile birbirine bağladığınızı varsayalım. Elde ettiğiniz görünüm 6 kişi için aşağıdaki gibi olabilir.

Bu ilk etapta size oldukça karmaşık görünecektir. Ancak biraz daha dikkatli bakarsanız ilginç bir ayrıntıyı fark etmeniz de mümkündür. Şekle baktığınız zaman üç kenarı mavi ve 3 kenarı kırmızı olan üçgenler göreceksiniz. Örneğin Ann, Bryan ve David, kırmızı kenarlarla birleştirilmiştir. Bu kırmızı üçgen, dağınık genel ağda gizlenen düzenin bir örneğidir. Bir sistem ne kadar düzenli olursa, açıklaması da o kadar basit olur. En düzenli arkadaşlık ağı ise, tüm kenarları aynı renkte olandır. Bu durumda herkes ya arkadaştır ya da yabancıdır.

Üç arkadaş veya üç yabancı bulmanızı garanti etmeniz gereken kişi sayısına Ramsey sayısı R(3,3) denir. Verdiğimiz örnekte  R(3,3)=6 olduğunu gördük. Ayrıca R(4,4)=18 olduğu da kanıtlandı. ( Detaylar: Ramsey Teorisi: Kehanetlerin Ardındaki Matematik). Ancak iş R(5,5) hesaplamasına gelince duvara tosladık. Sonucunda bu sayının 43 ile 49 arasında olduğunu biliyoruz ama şimdilik bu kadar yakınız.

Ramsey Sayıları Çok Hızlı Büyür

Ramsey teorisindeki sayılar inanılmaz derecede hızla büyümektedir.. Üç kişi arasındaki ilişkilere bakınca, ağımızın sadece üç kenarı ve sonucunda ağı renklendirmenin makul 2 3 olası yolu vardır. Dört kişi için altı kenar ve 2 6 =64 olası renklendirme vardır. Ancak altı kişi arasındaki ilişkiler için on beş kenar vardır. Bu durumda 2 15 =32.768 olası renklendirmeyi göz önünde bulundurmak zorundayız.

Büyük sayılar her zaman Ramsey teorisinin bir parçası olmuştur, ancak 1971’de matematikçi Ronald Graham, kendisinden önceki her şeyi gölgede bırakan bir sayı buldu. Böylece de bir üst sınır oluşturdu. Graham, şimdiye kadar yaptığımız gibi, insanlar arasındaki ilişkilerin ağlarını düz bir kağıt parçasına çizerek düşünmedi. Bunun yerine, insanların bir küpün köşelerinde oturduklarını düşündü. Sonrasında da küpün içinden dilimler aldı ve aşağıdaki görselde olduğu gibi aynı renkten olup olmadığını inceledi.

Sonrasında da bu fikir daha yüksek boyutlar için de genelleyecekti. Sonuçta boyut büyüdükçe köşe sayısı da artacaktır. Graham, tek renkli bir dilimin var olduğunu garanti etmek için küpün boyutunun ne kadar büyük olması gerektiğini bilmek istedi. Ancak bu sayı, daha önce de belirttiğimiz gibi, kesinlikle çok büyüktü. Bununla birlikte Graham yukarı ok notasyonu adını verdiği bu yöntemler bu yazılamaz büyüklükteki sayıyı yazmayı başardı.

Bu Sayı Nasıl Yazılır?

Bildiğiniz gibi çarpma aslında toplamanın kısa yoludur. Yani 3 x 3 = 3+3+3 anlamına gelmektedir. Benzer biçimde üslü sayılarda çarpmanın kısa yoludur. Yani 33 = 3 x 3 x 3 demektir. Tek ok işlemini, ↑ üs alma olarak tanımlayalım. Bu durumda 3↑3 = 33 = 3 x 3 x 3 = 27 biçiminde olacaktır. Şimdi çift ok işlemini tanımlayalım. Yani 3↑↑3 = 3↑3↑3 = 333 = 327 = 7625597484987 olsun. Benzer biçimde devam edersek 3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)=3↑↑(7625597484987) biçiminde bir sonuç elde ederiz.

Gördüğünüz gibi bu devasa sayı 3 sayısının bir katı ve tamsayı. Ayrıca matematikçiler bu sayı hakkında ilginç bir bilgi daha öğrendiler. Sayı ne kadar büyürse büyüsün sonda gördüğünüz basamak aynı kalıyor. Yani bu sayının son her zaman 7 ile bitiyor.

Rayo Sayısı Graham’ı Geçer

Yazının sonunda büyük sayıların babası olarak da bilinen Rayo sayısını da tanımalısınız. Aslında bu sayının bulunuş hikayesi de oldukça ilginçtir. Adam Elga ve Agustín Rayo 26 Ocak 2007’de büyük sayı düellosu yapmaya karar vermişlerdi.

Düelloda her turda bir yarışmacı tahtaya çıkıp, yeni bir sayı yazacaktı. Diğer yarışmacı da tamamen farklı bir yaklaşımla yani diğerinin yazdığı sayı artı bir demeden daha büyük bir sayı yazacaktı. Elga tahtanın başına geçer ve ilk hamle olarak “1” sayısını yazar. Daha sonra Rayo tahtaya gelir ve bu 1 rakamının ardına yaklaşık 30 tane daha 1 yazar. Sonrasında Elga sadece baştaki iki tane 1 rakamını bırakacak şekilde diğer 1’lerin alt kısımlarını siler. Yani 11!!!!…! sayısını yazmıştır. Burada yaklaşık 30 tane faktöriyel vardır.

Daha sonra Rayo tahtaya çıkar ve BB(googol) sayısını yazar. Bu sayı “busy beaver” adı verilen bir fonksiyonla ilgilidir. (meraklı okurlar araştırabilirler) En son olarak Rayo tahtaya çıkar ve de kendi kazanan sayısını tahtaya yazar. Aslında tahtaya yazdığı şey sayının kendisi değil, onun tanımıdır.

Tanım şuna benzer. “Birinci dereceden kümeler teorisinin googol tane sembolünü kullanarak ifade edilebilen en büyük sonlu sayıdan büyük en küçük sayı”. Elga kurallara uyacak bir şekilde başka sayı bulamaz. Bu durumda Rayo (10100) olarak gösterilen sayı yarışmayı kazanır. Günümüzde Rayo sayısının tahtını kimse elinden alamamıştır. ( Detayları oldukça karmaşık olduğu için yazıda yer vermeyeceğiz. Ancak merak ederseniz aşağıdaki kaynaklar kısmından inceleyebilirsiniz.)



Kaynaklar ve ileri okumalar

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu