İlginç Sayılar

En Büyük Sayılar Hangileridir? Graham Sayısı, Rayo Sayısı Ve Diğerleri

Matematikte her sayıdan büyük sonsuzluk kavramından bahsedilir. Günlük hayatta ise bazen sonsuzluğu unutur binler, milyonlar, milyarlar,… gibi sayıların ne kadar büyük olduklarından bahsederiz. Peki bu sayılar gerçekten “büyük” müdür? Matematikte hangi sayılardan “büyük” diye bahsedebiliriz? Gerçekten büyük sayılar ile ilgili bazı örnekler verelim.

Googol Sayısı

googol

Googol, tüm dünyada sıkça kullanılan “Google” arama motorunun isim babası olan “büyük” bir sayıdır (bakınız Googol Sayısı Nasıl Google Arama Motoruna Dönüştü?). Google’ın kurucuları isim ararken yaptıkları beyin fırtınası sırasında bir öğrenci “googolplex” ismini önerir. Daha sonra bir başkası daha kısa olması için “googol”ı önerir. Daha önce aynı isimde site alınmış mı diye arama yaparlarken “googol.com” diye aratmak yerine yanlışlıkla “google.com” diye aratırlar. Bunun sonucunda ünlü arama motoru Google doğar.

Googol sayısı 1 rakamını takip eden yüz tane 0 rakamı ile ifade edilir. Bir diğer deyişle 10100. Googol sayısı 1920 yılında matematikçi Edward Kasner’in 9 yaşındaki yeğeni Milton Sirotta tarafından ilk kez isimlendirilmiştir. Benzer bir şekilde, Milton Sirotta “googolplex” sayısını da tanımlamıştır: “1 rakamının ardından yorulana kadar 0 rakamı yazmak”. Kasner ise bu tanımın nesnelleştirmiş ve de bu sayıyı 10googol olarak tanımlamıştır.

Googol Sayısı Ne Kadar Büyüktür?

Googol sayısı googolplex sayısının yanında çok küçük kalır. Googolplex sayısının ne kadar büyük olduğunu bir örnekle görelim. Ortalama bir kitap hayal edelim. Bu kitabın 400 sayfası, her sayfasında 50 satırı ve de her satırında 50 tane sıfır rakamı olsun. Bu kitapta tam olarak 106 tane sıfır rakamı vardır. Yani googolplex sayısını yazmamız için bu kitaptan 1094 tane gereklidir. Eğer her kitabın yaklaşık 100 gram kadar olduğunu düşünürsek elimizdeki kitaplar toplam 1093 kilogram eder. Fakat dünyanın kütlesi yaklaşık 5.972×1024 kilogram, gezegenimizin bulunduğu Samanyolu galaksisi hesaplara göre 2.5×1042 kilogram ve de gözlemlenebilen evren hesaplara göre yaklaşık 1.5×1053 kilogramdır.

Googol sayısına geri dönelim. Googol sayısı aslında çok da “büyük” bir sayı değildir; onun “büyük” olarak adlandırılmasının sebeplerinden biri googol sayısının matematikçileri “büyük” sayıları aramaya itmesidir. Hatta büyük sayılar ve de onların özelliklerinin arayışına “googoloji” (İngilizce: googology); bu işle uğraşan kişilere de “googolog” (İngilizce: googologist) denir. Hatta bunun için bir internet sitesi vardır: Googology Wiki.

Graham Sayısı

Graham sayısı, Ronal Graham’ın adıyla anılan, Ramsey teorisindeki bir soru için bulunmuş bir üst sınırdır. Bu sayı büyüklüğünden dolayı 1980 yılında Guiness Rekorlar Kitabına girmeye hak kazanmıştır.

Kitapta Graham sayısının geçtiği kısım, yukarıda sarı dikdörtgenin içine yazılmış.

Graham sayısı googolplex sayısından çok daha büyüktür. Öyle ki Graham sayısının her hanesinin bir plank hacmi (şu ana kadar bulunmuş en küçük uzay) kadar yer kapladığını düşünsek dahi gözlemlenebilir evren Graham sayısını yazmak için yeterli hacme sahip olmazdı. Buna benzer sebeplerden dolayı Graham sayısını bir sayının kuvvetler kulesi şeklinde yazmak da mümkün değildir. Bunun yerine Knuth’ın yukarı-ok notasyonu adı verilen bir metot kullanılır. Bu metodu kısaca özetlemek gerekirse şöyle yazabiliriz:

a\uparrow b=a^b\\a\underbrace{\uparrow\uparrow\uparrow\dots\uparrow}_n b=\underbrace{a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{n-1}(a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{n-1}(\dots a\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}_{n-1}))}_{\text{b tane a }}

Örneğin,

3\uparrow3=3^3=27\\3\uparrow\uparrow3=3\uparrow(3\uparrow3)=3^{3^3}=3^{27}=7.625.597.484.987\\3\uparrow\uparrow\uparrow3=3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3)=\underbrace{3^{3^{3^{.^{.^.}}}}}_{\text{7.625.597.484.987 tane 3}}

Graham Sayısı Çok Hızlı Büyür

Görüldüğü gibi ok sayısı arttıkça elde ettiğimiz sayı çok hızlı bir şekilde büyüyor. Bundan dolayı Knuth’ın yukarı-ok notasyonu büyük sayıları yazmakta büyük kolaylık sağlar. Şimdi Graham sayısının bu ok notasyonunda nasıl yazıldığına bakalım:

\left.{\begin{matrix}\\\text{Graham Sayısı}&=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } 3\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } 3\\&&\underbrace {\qquad \quad \vdots \qquad \quad } \\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } 3\\&&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 katman}}

Bariz bir şekilde görüldüğü üzere Graham sayısı inanılmaz derecede büyük bir sayı. Bu büyüklüğünden dolayı Graham sayısının ilk basamağındaki sayı bilinmiyor fakat sonunun …262464195387 şeklinde bittiği biliniyor. Graham sayısının ne kadar büyük olduğuna dair bir fiziksel yaklaşım yapalım. Graham sayısı o kadar büyüktür ki eğer bütün bu sayıyı kafanızdan hayal etmeye kalkarsanız kafanızdan bir kara delik oluşurdu.

Tree(3) sayısı

Tree(3) sayısı, (Ağaç(3) sayısı) çizge teorisinin bir alt dalı olan ağaçlarla oluşturulmuş bir oyunun (veya fonksiyonun) üçüncü adımıdır. Bu oyunun amacı her adımda en fazla ağaçtan orman yapmaktır. Oyunumuz ise şu şekilde: İlk adımda elimizde sadece bir renkte nokta (tohum) var. İkinci adımda iki, üçüncü adımda üç… Amacımız birazdan belirteceğimiz kurallara uyarak en fazla ağaç içeren ormanı çizmek.

İlk kuralımız ise şöyle: Bu noktalarla çizeceğimiz ilk ağaç birden fazla nokta içeremez, benzer bir şekilde ikinci ağaç ikiden fazla içeremez , üçüncü ağaç üçten fazla içeremez… İkinci kuralımız ise çizdiğimiz ağacın önceki çizdiğimiz ağaçlar içinde yer almaması gerektiğidir. Bu kural matematiksel olarak biraz karmaşık olsa da şu üç örnekle açıkça anlaşılabilirdir.

Bu iki ağaç bu şekilde arka arkaya oyunumuzda kullanılamaz.

Bu örnekte bariz bir şekilde görüldüğü gibi ilk ağacımız ikincinin içinde yer alıyor. Fakat ilk ağaçta ufak bir değişiklik yaparsak ne oluyor görelim.

Bu iki ağaç ise oyunumuzda aynı bu şekilde kullanılabilir.

Bu sefer görüyoruz ki ilk ağaç ikincinin içinde yer almıyor. Son bir örneğe daha bakalım.

Bu iki ağaç bu şekilde arka arkaya oyunumuzda kullanılamaz.

Bu örnekte ise bir dallanma olmasına rağmen kareyle işaretlenen noktaları göz önüne aldığımızda, ikinci ağacın birinciyi içerdiğini görüyoruz. Bir ağacın diğerinin içermesini de anladığımıza oyunumuza başlayabiliriz. Öncelikle Tree(1)’i inceleyelim. Elimizde sadece tek renkte noktamız var. O zaman ilk kuralımıza göre ilk ağacımız sadece bir nokta içeren ağaç olacak. Fakat sadece tek renkte noktamız bulunduğundan barizdir ki ikinci olarak çizeceğimiz herhangi bir ağaç birinciyi içerir. Dolayısıyla tek renkte nokta için çizebileceğimiz en fazla ağaç sayısı birdir, öyleyse Tree(1)=1.

Tree(2) Sayısını Hesaplayalım.

Şimdi de Tree(2)’yi hesaplayalım. İki renk nokta alalım; birisi kırmızı birisi siyah olsun. Yeniden birinci kurala ilk ağacımız tek noktalı ağaç olacak, bu ağaç kırmızı nokta olsun. O zaman ikinci adım birinciyi içermemesi için siyah noktalardan oluşmalı. Yani ikinci adım sadece tek siyah noktalı ya da çift siyah noktalı ağaçlar olabilir. Fakat tek noktalıyı seçersek bu adımdan sonra tıkanırız. Bundan dolayı çift noktalı olan daha mantıklı bir hamledir. Kısacası iki renkli noktayla oluşturabileceğimiz orman aşağıdaki gibidir.

Öyleyse Tree(2)=3’tür. Şimdi ilginç kısma geldik. Gördüğünüz gibi Tree(1) ve Tree(2) gayet küçük sayılardır. Tree(3) sayısının da bu sayılardan çok farklı olmayacağını düşünebilirsiniz fakat çok ilginçtir ki Tree(3) sayısı inanılmaz derecede büyüktür, bir başka deyişle üç farklı renkte nokta ile oyunumuzu oynamak hiç kolay değildir. an=Tree(n) şeklinde bir dizi aldığımızda, dizinin ne kadar hızlı ıraksadığına dikkat ediniz.

Tree(3) sayısının ne kadar büyük olduğunu önceki örneğimize referans vererek görelim. Eğer elimizde Graham sayısı kadar insan olsaydı ve de bu insanların hepsi Tree(3) sayısının eşit miktarda bir kısmını kafalarından hayal etselerdi, bütün bu Graham sayısındaki insanın hepsinin kafasında bir kara delik oluşmuş olduğunu görürdük.

Rayo Sayısı

Geldik matematiksel olarak tanımlanmış, iyi-tanımlı en büyük sayıya: Rayo sayısı. Bu sayının ortaya çıkışı iki felsefe profesörünün arasında yapılan bir yarışmadan ortaya çıkmıştır. Adam Elga ve Agustín Rayo 26 Ocak 2007’de büyük sayı düellosu (İngilizcesi: Big Number Duel) yapmaya karar vermişlerdir.

Adam Elga’nın düello için hazırladığı poster.

Düelloda her turda bir yarışmacı tahtaya çıkar ve de “özgün” bir biçimde “kurallara” uyarak yeni bir sayı yazar. (buradaki kurallardan bahsetmeyeceğim; ilgili okurlar kaynakçadan bakabilirler) Amaç her seferinde daha büyük sayı yazarak en büyük sayıyı kimin bulabileceğini görmektir.

Elga tahtanın başına geçer ve ilk hamle olarak “1” sayısını yazar. Daha sonra Rayo tahtaya gelir ve bu 1 rakamının ardına yaklaşık 30 tane daha 1 yazarak 30 haneli bir sayı oluşturur. Elga’nın sonraki hamlesi ise gayet şıktır. Sadece baştaki iki tane 1 rakamını bırakacak şekilde diğer 1’lerin alt kısımlarını siler ve onları ünlem işaretine dönüştürür. Yani bir nevi 11!!!!…! sayısını yazmıştır. Burada yaklaşık 30 tane faktöriyel vardır yani bu sayı da gayet büyük bir sayıdır. Fakat kurallar arasında her turda tahtaya yazılanı manipüle etmek gerek diye bir şey yoktur. Daha sonra Rayo tahtaya çıkar ve BB(googol) sayısını yazar. Bu sayı “busy beaver” adı verilen bir fonksiyonla ilgilidir. (meraklı okurlar araştırabilirler) Bundan sonraki birkaç hamlede bu fonksiyonu genişletirler. Daha sonrasında ise kendi notasyonlarını oluşturup sayılar yazmaya başlarlar ki bu da kurallara aykırı değildir.

Yarışmanın Kazananı Rayo Sayısı

En son olarak Rayo tahtaya çıkar ve de kendi kazanan sayısını tahtaya yazar. Aslında tahtaya yazdığı şey sayının kendisi değil, onun tanımıdır. Matematiksel ve mantıksal ifadelerden arındırırsak genel olarak şöyle yazar: “birinci dereceden kümeler teorisinin googol tane sembolünü kullanarak ifade edilebilen en büyük sonlu sayıdan büyük en küçük sayı”. Elga kurallara uyacak bir şekilde başka sayı bulamaz . Bu durumda tahtadaki sayı şu ana kadar matematiksel bir dille ifade edilebilmiş, iyi-tanımlı en büyük sayı olarak tarihe geçer. Rayo (10100) olarak da gösterilir. O günden bugüne bu sayıyı geçebilecek başka sayılar hep önerilmiştir fakat hepsinin tanımında bazı hatalar bulunmuştur. Yani hâlâ Rayo sayısının tahtını kimse elinden alamamıştır.

Kaynakça:

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu