Pascal Üçgenindeki Matematiksel Sırlar

Hintli matematikçiler ona Meru Dağı’nın merdivenleri der. İran’da Hayyam Üçgeni olarak bilinir. Çin’de ise Yang Hui’nin Üçgeni adı verilir. Batı dünyası da onu genelde Pascal Üçgeni olarak tanır.

Peki dünyanın her yanından matematikçilerin ilgisini çeken ne var bu sayılar yığınında…

Adının Pascal ile anılması muhtemel ‘le triangle arithmetique‘ ismini verdiği üçgen ile ilgili kendisinin yazdığı kitap ile alakalı.  Bu üçgenin içinde keşfettiği desenlerdeki matematiksel zenginliğe hayrandı kendisi. Aslında haksız da değildi elbette.

Örneğin her bir sayıyı kare içine alalım ve tüm tek sayıları siyaha boyayalım. Bütün çift sayılar beyaz kalsın. Sonuç olarak aşağıdaki mozaik ortaya çıkar. Eğer bu işlemi tekrar tekrar yaparsak desen giderek Sierpinski üçgenine benzemeye başlar. Aslına bakarsanız, limit sonsuza yaklaşırken, Pascal üçgeni Sierpinski üçgeni haline gelir.

Sadece ikiye bölünebilen karelerin beyaz olduğu Pascal üçgeni

Pascal üçgenindeki sayılan boyamaya devam edelim. Öncelikle 3’e bölünen tüm sayılan beyaz olarak bırakalım. Ardından işlemi dörde bölünen sayılar için tekrarlayalım. Ve tekrar 5’e bölünen sayılar için tekrarlayalım. Sonuçların hepsi ters yönü gösteren simetrik üçgen desenleridir.

Soldan sağa sırasıyla 3’e, 4’e ve 5’e bölünen sayıların oluşturduğu Pascal Üçgeni

On dokuzuncu yüzyılda, Pascal üçgeninde başka bir tanıdık daha keşfedildi: Fibonacci serisi. Aslında bu çok da sürpriz bir durum sayılmaz sonuçta bir Fibonacci serisini elde etmek için yaptığımız işlem ardışık iki sayıyı toplamaktır, Pascal üçgenini oluşturma mantığı da aynıdır.

Pascal üçgeni içindeki hafif eğimli çapraz çizgiler Fibonacci serisini vermektedir.

Başka bir yönden bakalım bu üçgene:

Elimizde 3 tane nesne olduğunu varsayalım. Bu üç nesneden bir kerede hiç birini seçmeyebiliriz(1), her birini tek tek seçebiliriz(3), ikişerli seçim yapabiliriz(3) ya da hepsini aynı anda seçebiliriz(3). bu durumda bu üç nesne ile elde edilen kombinasyon sayı dizisi 1, 3, 3, 1 yani pascal üçgeninin üçüncü sırasıdır.

Eğer dört tane nesnemiz varsa, bir kerede hiç birini seçmeme, tek tek seçme, ikişerli, üçerli ve dörderli seçme kombinasyonları dizisi 1, 4, 6, 4, 1 olur, bu da Pascal üçgeninin dördüncü sırasıdır. Bunu daha da fazla sayıdaki nesnelerle denersek Pascal üçgeninin şeyleri bir araya getirmek için bir referans tablosu olduğunu görürüz.

Eğer elimizde n sayıda nesne varsa ve bu nesnelerden m tanesinden kaç değişik olarak bir araya getirebileceğimizi bilmek istiyorsak, cevap tam olarak Pascal üçgenindeki n. sıranın, m. değeridir

Pascal üç­geninde, oldukça fazla sayıda sayı ilişkisi de sergilenmektedir.

Mesela Pascal üçgeninin satırlarındaki sayıların toplamı 2’nin kuvvetlerini verir.

Pascal üçgeninine tam ortadan bir çizgi çekerseniz simetrik iki parçaya ayrıldığını görürsünüz.

Eğer her bir satırdaki sayıyı bir basamak olarak kabul eder­sek, yani 1; 11; 121; 1331…vb 11 ‘in kuvvetlerini bulursunuz.

Üçgensel sayılar, tamkare sayılar, beşgensel sayılar daha bulunacak onlarca ilişki vardır bu üçgenin içinde…

En iyisi biz sözü uzatmayalım ve sizleri aşağıdaki videoyu izlemeye yönlendirelim. Keyifli seyirler ve öğrenmeler…

( Altyazı otomatik açılmaz ise seçeneklerden Türkçe’yi seçebilirsiniz)

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Avatar
Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın!

Matematik ve Fiziğin Birlikte Evrimi

Fizikteki atılımlar bazen matematiğin yardımını gerektirir. Ya da tam tersi… 1912’de, Zurih’teki Eidgenössische Technische Hochschule …

Bir Yorum

  1. Avatar

    Oldukca ilgi cekici ,merak uyandiran konular var. Takip etmek istiyorum.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.