Cebir

Pascal Üçgeni ve Barındırdığı İlginç Özellikleri

Matematik genellikle sayılarda örüntüler aramak ve bir model çıkarmakla ilgilidir. En dikkat çekici sayı modellerinden biri de Pascal üçgenidir. Pascal üçgeni, aşağıda bulunan sayıyı elde etmek için yukarıdaki iki sayıyı toplama kuralını izleyen, hiç bitmeyen bir eşkenar üçgendir. İki kenarı her zaman birdir. Üçgen sonsuza kadar devam eder yani istendiği kadar genişletilebilir. Sayıları düzenlemek için bu kadar basit bir kuralın yalnızca basit sonuçlara yol açabileceğini düşünebilirsiniz. Ancak Pascal üçgeni cebir, sayı teorisi, olasılık ve kombinatorikler (sayma ve düzenlemenin matematiği) dahil olmak üzere matematiğin çeşitli dalları için verimli bir çalışma alanıdır.

Üçgen, adını 17. yüzyıl Fransız matematikçisi Blaise Pascal’ın adını almıştır. Blaise Pascal, özellikle, Fransız matematikçi Pierre de Fermat ile yazışmalarında olasılık teorisinin temellerini ortaya koymak için bu üçgeni kullanmıştır. Bununla birlikte, İtalya’da bu üçgen adını matematikçi Niccolò Tartaglia‘dan alır ve Tartaglia Üçgeni olarak bilinir. Ancak Pascal ve Tartaglia’dan çok daha önce aslında bu üçgen farklı isimler altında bilinmekteydi. İran’da ise konu hakkında çalışmalar yapan Ömer Hayyam’a ithafen Hayyam’ın üçgeni olarak bilinir. Çin’de de Yang Hui’nin Üçgeni adındadır. Pascal üçgenine yapılan en eski referanslar ise MÖ 450 yılı civarında Hindistan’da ortaya çıkmıştır. Hintli matematikçiler de üçgene Meru Dağı’nın merdivenleri der.

Myanmar’da bulunan Hsinbyume Pagoda tapınağı efsanevi Meru Dağı’nı temsil eder. Kaynak: https://www.adventureinyou.com/

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı İlişkisi

Binom açılımı a + b gibi iki terimli ifadenin kendisiyle belirli sayıda çarpıldığında ortaya çıkan katsayıların (değişkenlerin önünde görünen sayılar) modelini ifade eder. Matematiksel olarak bu (a+b)n biçiminde yazılır. Aşağıdaki görselde açılımın katsayılarının Pascal üçgenindeki sayılar ile uyumlu olduğunu görebilirsiniz. Binom açılımının katsayıları ile Pascal üçgenindeki sayılar arasındaki bu ilişki, sayılar ve olasılık hakkında temel bir gerçeği ortaya çıkarır.

Kombinasyonlar

Pascal üçgeni, kombinatorik ile ilgili çalışmalarda doğal olarak ortaya çıkar. Bir poster hazırlamak için beş farklı renk kalem arasından üç kalem seçtiğinizi düşünelim. Bir posterde hangisinin kullanılacağını seçmek için renklerin seçildiği sıra önemli değildir. Eğer seçildiği sıra önemli olsaydı böyle bir duruma permütasyon denirdi. Bu durumda P( 5,3) biçiminde gösterilir 5! / (5-3)! = 60 olarak hesaplanırdı. Örneğimizdeki gibi sıralamanın önemli olmadığı durumlara kombinasyon denir. Olası kombinasyonların sayısı her zaman olası permütasyon sayısının bir kısmı kadardır. Soru C(5,3) biçiminde gösterilir ve 5! / [3! (5-3)!] = 5! / (3! × 2!) = 10 olarak hesaplanır. Bulduğumuz sonucun Pascal üçgeni ile olan ilişkisini aşağıdaki görselde inceleyebilirsiniz.

Binom Dağılımı

İki sonucu olan (yazı tura atma gibi) olasılıksal bir süreç için, sonuçların sırası matematikçiler ve istatistikçilerin binom dağılımı olarak adlandırdıkları şey tarafından belirlenir. Bu, Pascal üçgeni ile de ilgilidir. Üç defa bozuk para attığımızda 2 × 2 × 2 = 8 olası durum vardır. Bu olası durumlar arasında hepsinin yazı gelmesi 1, hepsinin tura gelmesi 1, iki yazı bir tura gelmesi 3 ve iki tura bir yazı gelmesi 3 biçimde olabilir. Bu sayılar Pascal Üçgeni ile eşleşmektedir.

Atılan Para SayısıOlası Durumlar: Yazı ( Y) Tura (T)Pascal Üçgenindeki Karşılığı
1YT1 1
2YY,YT,TY,TT121
3YYY,YYT,YTY,TYY,TTY,TYT,YTT,TTT1331

Pascal Üçgeni ile Sierpinski Üçgeni İlişkisi

Matematikçiler bu üçgenin içindeki sayıların örüntüsüyle ve özellikle bölünebilirliğiyle ilgilenir. Pascal üçgeninin sayılarının bölünebilirliğine göre renklendirilmesi, ilginç bir fraktal çeşidi üretir. Örneğin, ikiye bölünebilen tüm sayıların (tüm çift sayıların) renklendirilmesi sonucunda şekil Sierpinski üçgenine dönüşür.

İki, üç, dört ve beş ile tam bölünen kutucukların boyanması sonucunda ortaya çıkan fraktal desenleri

Pascal Üçgeni ve Fibonacci Sayıları

.Pascal üçgenini kullanarak Fibonacci sayıları da bulunabilir. Fibonacci serisi ilk iki terimi 1 olan bir seridir. Bu serinin elemanları 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 biçiminde kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir.

Pascal üçgeni içindeki hafif eğimli çapraz çizgiler Fibonacci serisini vermektedir.

Üçgenin sayı teorisi ile olan bir başka bağlantısı, belirli bir satırın üstündeki satırlardaki tüm sayıların toplamının, her zaman verilen satırdaki sayıların toplamından bir eksik olduğunun keşfidir. Belirli bir satırın üstündeki tüm sayıların toplamı bir asal olduğunda, bu bir Mersenne asalıdır. Bu asalların ilk listesi Pascal’ın çağdaşı Marin Mersenne tarafından yapılmıştır. Bir asal sayı olan 3’e karşılık gelen Mersenne sayısı 23-1=7’dir. Benzer şekilde 5’e karşılık gelen Mersenne sayısı 25-1=31’dir. Günümüzde bilinen en büyük asal sayıların büyük bir kısmı Mersenne asallarından oluşmaktadır. Pascal üçgeni yeterince büyük bir ölçekte çizebilseydik, bu sayıları üçgeninde bulmamız mümkün olabilecekti.

Kaynaklar:

  • Robert Coolman;  Properties of Pascal’s Triangle; https://www.livescience.com/
  • The Math Book: Big Ideas Simply Explained, ISBN- 1465480242; DK Publishing

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.