MATEMATİK HER YERDE

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı

Hintli matematikçiler ona Meru Dağı’nın merdivenleri der. İran’da Hayyam Üçgeni olarak bilinir. Çin’de ise Yang Hui’nin Üçgeni adı verilir. Batı dünyası da onu genelde Pascal Üçgeni olarak tanır.

Peki dünyanın her yanından matematikçilerin ilgisini çeken ne var bu sayılar yığınında…

Adının Pascal ile anılması muhtemel ‘le triangle arithmetique‘ ismini verdiği üçgen ile ilgili kendisinin yazdığı kitap ile alakalı. 

Bu üçgenin içinde keşfettiği desenlerdeki matematiksel zenginliğe hayrandı kendisi. Aslında haksız da değildi elbette.

Binom Açılımı

Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri (x+y)n. Genellikle bu ifadedeki x ve y herhangi iki sayı, n ise bir tam sayıdır. Bu ifadenin eşitini bulmanın en basit yolu n tane (x+y) terimini birbiriyle çarpmaktır. Fakat n’nin büyük olduğu durumlarda bu işlemi yapmak çok uzun sürer. Binom açılımı olarak bilinen bir yöntem ile bu ifadenin eşiti çok daha kolay bir şekilde bulunabilir.

İfadenin eşiti açık olarak yazıldığı zaman bütün terimler a+b=n olmak üzere, xayb şeklinde olacaktır. Bu terimlerin katsayılarına binom katsayıları denir. Genel olarak binom açılımı şu şekilde ifade edilebilir:

Örneğin n=2 olduğu zaman binom açılımı katsayıları 1, 2 ve 1 olur. Bu (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 anlamına gelir. n küçük olduğu zaman ifadenin eşitini bulmak için terimleri birbiriyle çarpmak da pratik bir yol olabilir, fakat n büyük olduğu zaman binom açılımını kullanmak çok daha kolaydır. Üstelik binom katsayılarını hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanmaktan çok daha pratik bir yol var.

Pascal Üçgeni

Öncelikle birinci ve sonuncu katsayıların her zaman 1 olduğuna dikkat edin. Şimdi, yan kenarları alt alta yazılmış 1’lerden oluşan bir üçgen yapın. Daha sonra her satırda yan yana bulunan iki sayının altındaki satıra ve sayıların ortasına bu sayıların toplamını yazın.

Örneğin ikinci satırda iki tane 1 yan yana durduğu ve iki tane 1’in toplamı 2 olduğu için üçüncü satırın ortasına 2 yazın. Benzer şekilde, yukarıdan aşağıya doğru giderek üçgenin içini doldurmaya devam edin.

Bu üçgenin her bir satırındaki sayıları incelediğiniz zaman sırasıyla belirli bir n değerine karşılık gelen tüm binom sayılarını bulacaksınız. 

Pascal Üçgenindeki İlginç Özellikler

Örneğin her bir sayıyı kare içine alalım ve tüm tek sayıları siyaha boyayalım. Bütün çift sayılar beyaz kalsın. Sonuç olarak aşağıdaki mozaik ortaya çıkar. Eğer bu işlemi tekrar tekrar yaparsak desen giderek Sierpinski üçgenine benzemeye başlar. Aslına bakarsanız, limit sonsuza yaklaşırken, Pascal üçgeni Sierpinski üçgeni haline gelir.

Pascal üçgenindeki sayılan boyamaya devam edelim. Öncelikle 3’e bölünen tüm sayılan beyaz olarak bırakalım. Ardından işlemi dörde bölünen sayılar için tekrarlayalım. Ve tekrar 5’e bölünen sayılar için tekrarlayalım. Sonuçların hepsi ters yönü gösteren simetrik üçgen desenleridir.

pascal üçgeni

On dokuzuncu yüzyılda, Pascal üçgeninde başka bir tanıdık daha keşfedildi: Fibonacci serisi. Aslında bu çok da sürpriz bir durum sayılmaz sonuçta bir Fibonacci serisini elde etmek için yaptığımız işlem ardışık iki sayıyı toplamaktır, Pascal üçgenini oluşturma mantığı da aynıdır.

pascal üçgeni
Pascal üçgeni içindeki hafif eğimli çapraz çizgiler Fibonacci serisini vermektedir.

Başka bir yönden bakalım bu üçgene:

Elimizde 3 tane nesne olduğunu varsayalım. Bu üç nesneden bir kerede hiç birini seçmeyebiliriz(1), her birini tek tek seçebiliriz(3), ikişerli seçim yapabiliriz(3) ya da hepsini aynı anda seçebiliriz(3). bu durumda bu üç nesne ile elde edilen kombinasyon sayı dizisi 1, 3, 3, 1 yani pascal üçgeninin üçüncü sırasıdır.

Eğer dört tane nesnemiz varsa, bir kerede hiç birini seçmeme, tek tek seçme, ikişerli, üçerli ve dörderli seçme kombinasyonları dizisi 1, 4, 6, 4, 1 olur, bu da Pascal üçgeninin dördüncü sırasıdır. Bunu daha da fazla sayıdaki nesnelerle denersek Pascal üçgeninin şeyleri bir araya getirmek için bir referans tablosu olduğunu görürüz.

Eğer elimizde n sayıda nesne varsa ve bu nesnelerden m tanesinden kaç değişik olarak bir araya getirebileceğimizi bilmek istiyorsak, cevap tam olarak Pascal üçgenindeki n. sıranın, m. değeridir

Pascal üç­geninde, oldukça fazla sayıda sayı ilişkisi de sergilenmektedir.

Mesela Pascal üçgeninin satırlarındaki sayıların toplamı 2’nin kuvvetlerini verir.

Pascal üçgeninine tam ortadan bir çizgi çekerseniz simetrik iki parçaya ayrıldığını görürsünüz.

Eğer her bir satırdaki sayıyı bir basamak olarak kabul eder­sek, yani 1; 11; 121; 1331…vb 11 ‘in kuvvetlerini bulursunuz.

Üçgensel sayılar, tamkare sayılar, beşgensel sayılar daha bulunacak onlarca ilişki vardır bu üçgenin içinde…

En iyisi biz sözü uzatmayalım ve sizleri aşağıdaki videoyu izlemeye yönlendirelim. Keyifli seyirler ve öğrenmeler…

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı