Pascal Üçgeni ve Barındırdığı İlginç Özellikleri

Pascal üçgeni muhtemelen tüm matematiksel diyagramların en ünlülerinden biridir. Bunun nedeni üçgenin oluşturulmasının basit olması ancak bünyesinde matematikçilerin ilgisini çekecek bir çok desen barındırmasıdır.

Pascal üçgenini oluşturmak için yan yana duran iki sayıyı toplamak ve sonucu alt satıra tam ortalarına yazmak yeterlidir. Bu biçimde üçgeni sonsuza kadar devam ettirebilirsiniz. Ancak üçgenin iki kenarı her zaman bir olmalıdır. Sayıları düzenlemek için bu kadar basit bir kuralın yalnızca basit sonuçlara yol açabileceğini düşünebilirsiniz. Ancak Pascal üçgeni cebir, sayı teorisi, olasılık ve kombinatorikler (sayma ve düzenlemenin matematiği) dahil olmak üzere matematiğin çeşitli dalları için verimli bir çalışma alanıdır.

Pascal Üçgeni farklı Coğrafyalarda Farklı İsimler İle Bilinmektedir

Fransız matematikçi, filozof ve teolog Blaise Pascal, 17. yüzyılda üçgen hakkında kapsamlı bir çalışma yapan ilk kişi olduğu için genellikle, bu üçgen genellikle onun adı ile anılır. Blaise Pascal, özellikle, Fransız matematikçi Pierre de Fermat ile yazışmalarında olasılık teorisinin temellerini ortaya koymak için bu üçgeni kullanmıştır.

Bununla birlikte, İtalya’da bu üçgen adını matematikçi Niccolò Tartaglia’dan alır ve bu nedenle Tartaglia Üçgeni olarak bilinmektedir. Ancak Pascal ve Tartaglia’dan çok daha önce aslında bu üçgen farklı isimler altında bilinmekteydi. Bu nedenle de buluşu tek bir kişiye atfedilemez.

Erken dönem Hintli ve Çinli matematikçilerin, matematiksel serilerin toplamları için bu üçgeni kullandıkları bilinmektedir. Pascal üçgenine yapılan en eski referanslar ise MÖ 450 yılı civarında Hindistan’da ortaya çıkmıştır. Bu nedenle de Hintli matematikçiler üçgene Meru Dağı’nın merdivenleri der. Çin’de de Yang Hui’nin Üçgeni adı ile bilinir.

Myanmar’da bulunan Hsinbyume Pagoda tapınağı efsanevi Meru Dağı’nı temsil eder..

Daha sonra, İslam dünyasından, İranlı şair, astronom ve matematikçi Ömer Hayyam da (1048–1131) bu üçgenin çeşitli özelliklerini araştırdı. Bu nedenle de Pascal üçgeni İran’da Hayyam’ın üçgeni olarak bilinmektedir.

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı İlişkisi

Pascal üçgeni aslında binom açılımı sonucunda ortaya çıkan ifadenin katsayılarının geometrik bir düzenlemesidir. Aslında binom açılımının katsayıları ile Pascal üçgenindeki sayılar arasındaki bu ilişki, sayılar ve olasılık hakkında temel bir gerçeği ortaya çıkarır.

Binom açılımı a + b gibi iki terimli ifadenin kendisiyle belirli sayıda çarpılması anlamına gelir ve matematiksel olarak bu (a+b)n biçiminde yazılır. Yukarıdaki görselde açılımın katsayılarının Pascal üçgenindeki sayılar ile uyumlu olduğunu görebilirsiniz.

Kombinasyonlar

Pascal üçgeni, kombinatorik ile ilgili çalışmalarda doğal olarak ortaya çıkar. Bir poster hazırlamak için beş farklı renk kalem arasından üç kalem seçtiğinizi düşünelim. Bir posterde hangisinin kullanılacağını seçmek için renklerin seçildiği sıra önemli değildir. Eğer seçildiği sıra önemli olsaydı böyle bir duruma permütasyon denirdi. Bu durumda P( 5,3) biçiminde gösterilir 5! / (5-3)! = 60 olarak hesaplanırdı.

Örneğimizdeki gibi sıralamanın önemli olmadığı durumlara kombinasyon denir. Olası kombinasyonların sayısı her zaman olası permütasyon sayısının bir kısmı kadardır. Bu durumda soru C(5,3) biçiminde gösterilir ve sonucunda 5! / [3! (5-3)!] = 5! / (3! × 2!) = 10 olarak hesaplanır. Bulduğumuz sonucun Pascal üçgeni ile olan ilişkisini aşağıdaki görselde inceleyebilirsiniz.

Binom Dağılımı

İki sonucu olan (yazı tura atma gibi) olasılıksal bir süreç için, sonuçların sırası matematikçiler ve istatistikçilerin binom dağılımı olarak adlandırdıkları şey tarafından belirlenir. Bu, Pascal üçgeni ile de ilgilidir. Üç defa bozuk para attığımızda 2 × 2 × 2 = 8 olası durum vardır. Bu olası durumlar arasında hepsinin yazı gelmesi 1, hepsinin tura gelmesi 1, iki yazı bir tura gelmesi 3 ve iki tura bir yazı gelmesi 3 biçimde olabilir. Bu sayılar Pascal Üçgeni ile eşleşmektedir.

Atılan Para SayısıOlası Durumlar: Yazı ( Y) Tura (T)Pascal Üçgenindeki Karşılığı
1YT1 1
2YY,YT,TY,TT121
3YYY,YYT,YTY,TYY,TTY,TYT,YTT,TTT1331

Pascal Üçgeni ile Sierpinski Üçgeni İlişkisi

Matematikçiler bu üçgenin içindeki sayıların örüntüsüyle ve özellikle bölünebilirliğiyle ilgilenir. Pascal üçgeninin sayılarının bölünebilirliğine göre renklendirilmesi, ilginç bir fraktal çeşidi üretir. Örneğin, ikiye bölünebilen tüm sayıların (tüm çift sayıların) renklendirilmesi sonucunda şekil Sierpinski üçgenine dönüşür.

İki, üç, dört ve beş ile tam bölünen kutucukların boyanması sonucunda ortaya çıkan fraktal desenleri

Pascal Üçgeni ve Fibonacci Sayıları

Ayrıca Pascal üçgenini kullanarak Fibonacci sayılarını da bulabilirisiniz. Fibonacci serisi ilk iki terimi 1 olan bir seridir. Bu serinin elemanları 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 biçiminde kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir.

Pascal üçgeni içindeki hafif eğimli çapraz çizgiler Fibonacci serisini vermektedir.

Üçgenin sayı teorisi ile olan bir başka bağlantısı, belirli bir satırın üstündeki satırlardaki tüm sayıların toplamının, her zaman verilen satırdaki sayıların toplamından bir eksik olduğunun keşfidir. Belirli bir satırın üstündeki tüm sayıların toplamı bir asal olduğunda, bu bir Mersenne asalıdır. Günümüzde bilinen en büyük asal sayıların büyük bir kısmı Mersenne asallarından oluşmaktadır. Pascal üçgeni yeterince büyük bir ölçekte çizebilseydik, bu sayıları üçgeninde bulmamız mümkün olabilecekti.



Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Robert Coolman;  Properties of Pascal’s Triangle; Yayınlanma tarihi: 17 Haziran 2015; Bağlantı: https://www.livescience.com/
  • The Math Book: Big Ideas Simply Explained, ISBN- 1465480242; DK Publishing

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu