Sonsuzun zıttı nedir diye sorsak, arası matematik ile fazla ilgili olmayan biri sıfır cevabını verebilir. Ancak elbette aradığımız cevap sıfır değildir. Sorduğumuz sorunun cevabı sıfırdan çok ama çok az daha büyük ama diğer bütün sayılardan küçük bir sayı olmalıdır. İşte bu büyüklük matematikte sonsuz küçük (infinitesimal) olarak tanımlanır.
Sonsuz küçükler, ölçülemeyecek kadar küçük cisimleri tarif etmek için kullanılır. Sonsuz küçüklerden yararlanmaktaki asıl amaç nicelik bakımından çok küçük olsalar da hala açı, eğim gibi belirli özelliklere sahip olmalarıdır. Ancak buraya dikkat edelim. Aynen sonsuzluk gibi sonsuz küçüklerde aslında gerçek bir sayı değildir.
Şöyle düşünelim. İki sayı aldığımız zaman bu iki sayının arasında her zaman bir başka sayının var olacağını biliriz. Bu mantıkla 0 ile 1 sayısının arasına istediğimiz kadar reel sayı sığdırabiliriz. Bu sayılardan biri 0.00000000000000001 olsun. Bu sayı size sonsuz küçük gibi görünse de, yeni bir sonsuz küçük elde etmek için onu 10’a bölmeniz yeterlidir. Dolayısıyla, sonsuz gibi sonsuz küçük de yalnızca soyutlamada var olur.
Sonsuz Küçükler Hesabı Nasıl Yapılır?
Şimdi aşağıdaki örneğe bakalım. Dairenin alanını, içine çizilen üçgenlerin alanı yardımı ile toplamaya çalışalım. İlk dairemizi dört üçgene böldük. Ancak görselde de görebileceğiniz gibi dairenin içinde önemli bir miktar boşluk kaldı.
Bu nedenle bu üçgenlerin alanlarının toplamı dairenin alanına eşittir diyemez. Bu hatayı azaltmak için daha fazla üçgen oluşturmaya çalışabiliriz. Evet, bu biçimde hata azalır ancak sonucumuz yine de hatalıdır.
Bu hatayı tamamen ortadan kaldırmak için onu sonsuz sayıda üçgene bölmemiz gerekir. işte bu noktada sonsuz sayıda üçgenin, sonsuz sayıda tabanı hemen hemen dairenin çevresini kaplayacaktır. Bu tabanlarımız artık o kadar küçüktür ki aradaki eğrilik neredeyse yok olmuştur. İşte bu sonsuz küçükler fikrine güzel bir örnektir.
Şimdi devam edelim. Aşağıda soldaki şekli biraz bozalım. Sonuçta elimizde aynı alana sahip sonsuz sayıda üçgenimiz var. Bu üçgenleri kesip, tek bir noktada birleştirdiğimizi düşünelim. Gördüğünüz gibi yeni üçgenimizin tabanı aslında çemberin çevresine neredeyse eşittir.
Bu sayede de bir dairenin alanını neredeyse bulmak mümkün olacaktır. Teoride bu cevap doğrudur ancak pratikte yine hatalıdır.
Bu hesaplamanın doğru olması için tabanın sonsuz küçük olması gerekir. Ancak ne kadar ince üçgen çizersek çizelim aslında daha da küçüğünün çizilebileceğini biliyoruz.
Bu sonuç bir matematikçiyi rahatsız etse de, yani yukardaki neredeyse cümlesinden çok hoşlanmasak da, çoğunluk bunu görmezden gelir. Çünkü gördüğümüz gibi, elde edilen sonuçlar yanlış değildir. İşte bu nedenle sonsuz küçükler hesabı uzun bir süre matematikçileri ikiye ayırmıştır.
Sonsuz Küçükler Fikrinin Doğuşu
16. ve 17. yüzyılda matematikçiler, Simon Stevin (Hollanda), Thomas Harriot ve John Wallisve (İngiltere) ve özellikle Bonaventura Cavalieri, Evangelista Toriçelli (İtalya) bir doğrunun sonsuz küçük noktaların dizisi olduğunu ve benzer şekilde bir düzlemin yan yana dizilmiş doğrulardan ve katı cisimlerin birbiri üstüne yığılmış düzlemlerden oluştuğunu varsaysaydık ne olurdu diye merak ettiler.
Hızlı bir şekilde buldukları sonuçlar muhteşemdi. Bu problemli varsayım yardımıyla geometrik eğrilerin uzunluklarını ve eğimlerini, geometrik şekillerin alanlarını ve katı cisimlerin hacimlerini kolayca hesaplayabildiler.
Yeni sonsuz küçükler metodunun öncüleri kendi yaklaşımlarının istikrarsız bir mantıksal temele dayandıklarını biliyorlardı fakat çoğunlukla bunu umursamadılar. Metotları doğru sonuçları verdiği sürece esasında mantıklı olduğu sonucuna vardılar. Fakat herkes bu durumdan memnun olmayacaktı.
Eleştiriler, sonsuz küçüklerin matematiğin temelini çürüttüğü ve kaçınılmaz olarak ciddi hatalara neden olacağı şeklinde suçlamalar içeriyordu. Sonunda bu sorunu çözen kişi 19. Yüzyılın başında Fransız matematikçi Augustin-Louis Cauchy olacaktı.
Cauchy yeni matematiğin probleminin maddesel gerçekliğe uygun olarak kabul edilmesiyle ortaya çıktığını fark etti. Cauchy, analizi titiz bir matematiksel sisteme dönüştürerek iki bin yıldan fazla süren bir tartışmayı sonlandırmıştı.
Kepler’in Hacim Hesaplamaları
Gökbilimci Johannes Kepler’i genellikle gezegenler ile ilgili çalışmaları ile tanırız. Ancak aslında kendisinin matematiğe de büyük katkıları bulunmuştur. Bunlardan bir tanesi de 1615’te, variller gibi kavisli şekillere sahip katıların hacimlerini hesaplamanın bir yolunu bulmasıydı. Bunu da aslında yukarıda aktardığımız sürece benzer bir biçimde yapmıştı.
Kepler, bir fıçının veya herhangi bir 3 boyutlu şeklin hacmini bulmak için onu ince katmanlardan oluşan bir yığın olarak hayal etti. Toplam hacmi bulmak için yapmamız gereken şey, tüm katmanların hacimlerini toplamaktı. Kepler’in çözümü, sonsuz küçükler kavramını kabul ettiği için doğruydu.
1615’te sonuçlarını Nova stereometria doliorum vinariorum’da (Şarap fıçılarının yeni katı geometrisi) adlı kitabında yayınladı. Kepler bu çalışması ile 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından kalkülüsün geliştirilmesinin yolunu açtı.
Sonsuz Küçükler Ve İntegral Hesabı
Hepinizin de bildiği gibi Leibniz ve Newton tarafından birbirinden bağımsız olarak keşfedilen Kalkülüs sonsuz küçükler hesabı üzerine kurulmuştur. Bir fonksiyonun integralini hesaplamaya kalktığımız zaman, esasen fonksiyona karşılık gelen eğrinin altındaki alanı hesaplarız.
Ancak, yukarıda bir dairenin alanını hesaplama örneğinde anlattığımız gibi, bunu eğriyi sonsuz derecede küçük tabana sahip dikdörtgenlere bölerek yaparız. Dikdörtgenler ne kadar ince olursa, hata payı da o kadar küçük olur.
Bir dikdörtgenin alanı iki dik kenarının birbiri ile çarpımıdır. Bu mantıkla yapmamız gereken şey az önceki örneklerde de gördüğümüz gibi her dikdörtgenin alanını hesaplamaktır. Sonrasında da bunları toplamaktır.
Elbette ne kadar çok dikdörtgenimiz olursa o kadar cevaba yaklaşırız. Kalkülüs son 400 yıldaki en önemli matematiksel keşif olarak kabul edilmektedir.
Fizik ve mühendislikteki pek çok gelişme kalkülüs ile bir biçimde ilişkilidir. Bu, dikkatli bir gözlem ve sonsuz küçükler hesabı sayesinde mümkün olabilmiştir. Göz atmak isterseniz: Kalkülüs’ü İlk Kim Buldu? Newton mu Yoksa Leibniz mi?
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- Kepler: The Volume of a Wine Barrel; Bağlantı: https://www.maa.org/
- The Opposite of Infinity – Numberphile; Bağlantı: https://www.youtube.com/
- What Is The Opposite Of Infinity?; Bağlantı: https://www.scienceabc.com/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
