Mükemmel sayılar hem matematikçileri hem de matematikçi olmayanları tarih boyunca büyülemiştir. Bunun en temel nedeni tanımlanmalarının kolay olmasından gelir. Ancak matematikteki en eski problemlerden birisi de mükemmel sayılar ile ilgilidir. Bu problem tek mükemmel sayının olup olmadığını araştırır.
Bir sayının mükemmel olabilmesi için (kendisi hariç) pozitif tam bölenlerinin toplamı bu sayıya eşit olmalıdır. Örneğin 6’nın kendisi hariç pozitif tam bölenleri 1, 2, 3 ‘tür. Bu sayıların toplamı (1+2+3) ise 6’yı verir. Bu nedenle 6 mükemmel bir sayıdır. 28 de 6 gibi mükemmel bir sayıdır. 28’ in kendisi hariç tam bölenleri 1, 2, 4, 7 ve 14 ‘tür. Bu sayıların toplamı da 28 ‘dir.
Bugüne kadar 51 mükemmel sayı keşfedildi; en büyüğü 49.724.095 basamaklıdır. Aşağıda mükemmel sayıların bazılarının bir listesini görebilirsiniz. Ancak sizin de dikkatinizi çekeceği gibi bu listedeki tüm sayılar çifttir. İşte bu nedenle de matematikçiler tek mükemmel sayı olup olmadığını yıllardır sorguluyor. Detay için: Mükemmel Sayı Nedir? Bir Sayı Ne Zaman Mükemmel Olur?
Tek Mükemmel Sayı Arayışı Nasıl Başladı?
Yunan matematikçi Nicomachus MS 100 civarında tüm mükemmel sayıların çift olması gerektiğini ilan etmiş ancak hiç kimse bu iddiayı kanıtlayamamıştı. Pisagor, MÖ 500’de mükemmel sayıların farkındaydı. İki yüzyıl sonra da Öklid, mükemmel sayılar üretmek için bir formül geliştirecekti.
1 sayısından başlayarak sonraki sayıları 2 ile çarparak 1, 2, 4, 8, 16 sayıları dizisini elde ederiz. Bu sayıları toplayarak 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 asal sayısına ulaşırız. Öklid bize dizideki son sayı olan 16 ile toplam sayı 31’i çarparsak sonucun mükemmel sayı olacağını söylüyor. Yani 31×16 = 496 mükemmel olmalıdır. Gerçekten de üçüncü mükemmel sayı 496 sayısıdır.
Günümüzde onun yöntemini şu şekilde gösteriyoruz. Eğer p ve 2p – 1 asal sayılarsa o zaman 2p − 1 × (2p – 1) mükemmel bir sayıdır. Örneğin, p=2 ise, formül size 21 × (22 – 1)= 6; p=3 ise 22 × (23 – 1)=28 sonuçlarını verecektir.
İşin İçine Euler Karışırsa
Leonhard Euler, 2000 yıl sonra, bu formülün aslında her bir mükemmel sayıyı ürettiğini kanıtladı. Devamında bir sayının bölenlerini toplayan sigma (σ) işlevinin tanıtılmasıyla mükemmel sayının tanımını resmileştirdi.
Böylece, mükemmel sayılar için, σ(n) = 2n biçiminde ifade edilmeye başlandı. ( Biraz önce verdiğimiz mükemmel sayı formülünü anımsayın. Bölenler sınıfına sayının kendisini de dahil ederseniz elde ettiğiniz sonuç sayının her zaman iki katı olacaktır.)
Yüzyıllar sonra matematikçi olan Carl Pomerance’ın 1974 yılında e herhangi bir tek mükemmel sayının en az yedi farklı asal çarpana sahip olması gerektiğini kanıtlayan bir makale yayınlayacaktı. Sonraki çalışmalarda k farklı asal çarpana sahip tek mükemmel sayıların 24k dan küçük olması gerektiğini gösterdi.
Bu aslında varsayımsal tek mükemmel sayılar için oluşturulan ne ilk ne de son kısıtlamalardı. Örneğin, 1888’de James Sylvester, hiçbir tek mükemmel sayının 105’e bölünemeyeceğini; 1960’da Karl K. Norton, 3, 5 veya 7 ile bölünememesi durumunda en az 27 asal çarpana sahip olması gerektiğini; 2003’de Paul Jenkins, en büyük asal çarpanının 10.000.000’i aşması gerektiğini kanıtlamıştı.
Pace P. Nielsen, 2015 yılında bir tek mükemmel sayının minimum 10 farklı asal çarpana sahip olması gerektiğini gösterdi. Nielsen ise soruya farklı yaklaştı. Doğrudan tek mükemmel sayı bulamayacağı için bunun yerine bu duruma aday olan ama bazı yönlerden hatalar içeren “sahte” tek mükemmel sayıları analiz etti.
Sahte Tek Mükemmel Sayılar
Tek mükemmel sayıların gerçekten var olabileceğini düşünen ilk önemli matematikçiler arasında 1638’de René Descartes de vardı. Ancak çalışmaları onu ilk sahte sayıya götürdü. Bunun detayına girmeden önce matematikçilerin mükemmel sayıları nasıl tanımladıkları hakkında biraz daha bilgi edinmek faydalı olacaktır.
Öklid’e dayanan bir teorem, 1’den büyük herhangi bir tamsayının, asal çarpanlara ayrılmış bir biçimde edilebileceğini söyler. Örneğin 1,260 = 22 × 32 × 51 × 71 biçiminde ifade edilebilir. Bir sayı bu biçimi alırsa, Euler’in de kanıtladığı iki ilişki sayesinde, Euler’in bölenlerini toplayan sigma işlevini hesaplamak çok daha kolay hale gelir.
Örneğimize geri dönersek σ (1.260) = σ (22 × 32 × 51 × 71) = σ (22) × σ (32) × σ (51) × σ (71) = (1 + 2 + 22 ) (1 + 3 + 32) (1 + 5) (1 + 7) = 4.368 sonucunu elde ederiz. Bu rakam 1260 sayısının iki katı değildir demek ki 1.260 mükemmel bir sayı değildir.
Şimdi Descartes’e geri dönelim. 198.585.576.189 =32 × 72 × 112 × 132 × 22.021 biçiminde yazılabilir. Yukarıdaki hesaplamaları tekrarlayarak 397.171.152.378 sonucunu elde ederiz. Bu, orijinal sayının iki katıdır. Her şey yolunda gibi gözükse de aslında bir sorun vardır. 22.021 sayısı asal değildir. Bu sayı aslında 192 ve 61’in çarpımıdır. Bu biçimde hesaplanırsa tek mükemmel sayı kuralını sağlamaz.
İkinci bir sahte tek mükemmel sayının ortaya çıkması 361 yıl sonra oldu. Sonunda −22.017.975.903=34 × 72 × 112 × 192 × (−127) 1 ortaya çıktı. Bu sayınında hata noktası çarpanlarından birinin negatif olmasıydı.
Ancak bu ikinci sahte sayının bulunması matematikçiler için bir dönüm noktası oldu. Daha sistemli bir biçimde sahte sayılar aranmaya başlandı. Bu sayede bazı daha önce keşfedilmemiş özellikler de ortaya çıktı. Çalışmalar esnasında ekip yukarıda tanımladığımız gibi asal olmayan çarpanlara ve negatif çarpanları da hesaplamalara dahil etti ve kuralları hata oluşturacak biçimde değiştirdi.
Son Aşama
Sahte olan sayıların arayışı aslında tek mükemmel sayılar arayışına yön verebilir. Çünkü Nielsen’ın dile getirdiği gibi aslında sahte olanlar yani hatalı olanlar asıl sayı kümemizdir. Tek mükemmel sayılar bu kümenin belli özelliklerini kapsayan bir alt kümesidir.
Sayılar teorisinde yapılan çalışmalar için sabır gereklidir. Çünkü sorular kolay ama çözümler zordur. Tek mükemmel sayıların arayışı da buna bir örnektir. Ancak bu emeğin sonucunda elde edilen ödül tüm çabalara değebilir.
İleri Okumalar: Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem; https://www.quantamagazine.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
