SAYILAR

2000 yıllık Çözümsüz Bir Soru: Tek Mükemmel Sayılar Var mı?

1990’ların ortalarında bir lise öğrencisi olan Pace Nielsen, bugüne kadar hala uğraştığı bir matematik sorusuyla karşılaştı. Onu büyüleyen, mükemmel sayı varsayımı denen problem, 2000 yıldan uzun süredir ortalıkta dolaşıyor ve onu matematikteki en eski çözülmemiş problemlerden biri yapıyor.

Bu sorunun cazibesi temelde kavranmasının kolay olmasıdır. Bir sayının bölenlerinin toplamı kendisinin iki katına eşit olursa bu sayıya mükemmel sayı denir. İlk ve en basit örnek 6’dır, çünkü bölenleri – 1, 2, 3 ve 6 – toplamı 12 ve bu sayının iki katıdır. Sonra, 1, 2, 4, 7, 14 ve 28’in bölenleri ile 28 gelir. Bu bölenlerin toplamı 56’dır ve yine sayının iki katıdır. Sonraki örnekler 496 ve 8.128’dir.

Pisagor, MÖ 500’de mükemmel sayıların farkındaydı ve iki yüzyıl sonra Öklid, mükemmel sayılar üretmek için bir formül geliştirmişti. P ve 2p – 1 asal sayılarsa o zaman 2p − 1 × (2p – 1) mükemmel bir sayıdır.

Örneğin, p=2 ise, formül size 21 × (22 – 1)= 6; p=3 ise 22 × (23 – 1)=28 sonuçlarını verecektir. Leonhard Euler, 2000 yıl sonra, bu formülün aslında her bir mükemmel sayıyı ürettiğini kanıtladı. Devamında bir sayının bölenlerini toplayan sigma (σ) işlevinin tanıtılmasıyla mükemmel sayının tanımını resmileştirdi. Böylece, mükemmel sayılar için, σ(n) = 2n biçiminde ifade edilmeye başlandı.

Şu anda Brigham Young Üniversitesi’nde bir profesör olan Nielsen, şu soruya takıldı: Herhangi bir tek mükemmel sayı var mı?

Yunan matematikçi Nicomachus MS 100 civarında tüm mükemmel sayıların çift olması gerektiğini ilan etmiş ancak hiç kimse bu iddiayı kanıtlayamamıştı. Ancak geçtiğimiz aylarda çalışması ile henüz kesin olarak tek mükemmel sayıların bulunduğunu ispat edemese de soruna yaklaşmanın bir yöntemini buldu.

Tek Mükemmel Sayılar Arayışı

Başta da dediğimiz gibi Nielsen mükemmel sayıları ilk olarak bir lise matematik yarışmasında öğrendi. Şu anda Dartmouth Koleji’nde matematikçi olan Carl Pomerance’ın 1974 tarihli ve herhangi bir tek mükemmel sayının en az yedi farklı asal çarpana sahip olması gerektiğini kanıtlayan bir makalesine rastladı.

Üniversitede matematik eğitimi almasına ve sayılar teorisi alanında uzmanlaşmasına da aslında bu problem neden oldu. 2003 yılında yayınlanan tek mükemmel sayılar hakkındaki ilk makalesi, bu varsayımsal sayılara daha fazla kısıtlama getirdi.

Leonard Dickson tarafından 1913’te belirlendiği gibi yalnızca k farklı asal çarpana sahip tek mükemmel sayıların sayısının sınırlı olduğunu değil, aynı zamanda sayının büyüklüğünün 24k dan küçük olması gerektiğini de gösterdi.

Bunlar varsayımsal tek mükemmel sayılar için oluşturulan ne ilk ne de son kısıtlamalardı. Örneğin, 1888’de James Sylvester, hiçbir tek mükemmel sayının 105’e bölünemeyeceğini; 1960’da Karl K. Norton, 3, 5 veya 7 ile bölünememesi durumunda en az 27 asal çarpana sahip olması gerektiğini; 2003’de Paul Jenkins, en büyük asal çarpanının 10.000.000’i aşması gerektiğini kanıtlamıştı.

Pascal Ochem ve Michaël Rao, herhangi bir tek mükemmel sayının 101500‘den büyük olması gerektiğini belirlediler (ve daha sonra bu sayıyı 102000‘e çıkardılar). Nielsen, 2015 yılında bir tek mükemmel sayının minimum 10 farklı asal faktöre sahip olması gerektiğini gösterdi.

Nielsen son çalışmasında farklı bir yoldan soruna yaklaşıyor. Doğrudan tek mükemmel sayıları bulamayacağı için bunun yerine bu duruma aday olan ama bazı yönlerden hatalar içeren “sahte” tek mükemmel sayıları analiz ediyor.

Sahte Tek Mükemmel Sayılar

Sahte tek mükemmel sayıların kökeni ise Descartes’a kadar uzanıyor. Tek mükemmel sayıların gerçekten var olabileceğini düşünen ilk önemli matematikçiler arasında 1638’de René Descartes’ta vardı. Ancak çalışmaları onu ilk sahte sayıya götürdü. Bunun detayına girmeden önce matematikçilerin mükemmel sayıları nasıl tanımladıkları hakkında biraz daha bilgi edinmek faydalı olacaktır.

Öklid’e dayanan bir teorem, 1’den büyük herhangi bir tamsayının, asal çarpanlara ayrılmış bir biçimde edilebileceğini söyler. Örneğin 1,260 = 22 × 32 × 51 × 71 biçiminde ifade edilebilir.

Bir sayı bu biçimi alırsa, Euler’in de kanıtladığı iki ilişki sayesinde, Euler’in bölenlerini toplayan sigma işlevini hesaplamak çok daha kolay hale gelir.

Örneğimize geri dönersek σ (1.260) = σ (22 × 32 × 51 × 71) = σ (22) × σ (32) × σ (51) × σ (71) = (1 + 2 + 22 ) (1 + 3 + 32) (1 + 5) (1 + 7) = 4.368 sonucunu elde ederiz. Bu rakam 1260 sayısının iki katı değildir demek ki 1.260 mükemmel bir sayı değildir.

Şimdi Descartes’ın sayısına bakalım. 198.585.576.189 =32 × 72 × 112 × 132 × 22.021 biçiminde yazılabilir. Yukarıdaki hesaplamaları tekrarlayarak 397.171.152.378 sonucunu elde ederiz. Bu, orijinal sayının iki katıdır. Her şey yolunda gibi gözükse de aslında bir sorun vardır. 22.021 sayısı asal değildir. Bu sayı aslında 192 ve 61’in çarpımıdır. Bu biçimde hesaplanırsa tek mükemmel sayı kuralını sağlamaz.

İkinci bir sahte tek mükemmel sayının ortaya çıkması 361 yıl sürdü. Sonunda −22.017.975.903=34 × 72 × 112 × 192 × (−127) 1 ortaya çıktı. Bu sayınında hata noktası çarpanlarından birinin negatif olmasıydı.

Ancak bu ikinci sahte sayının bulunması matematikçiler için bir dönüm noktası oldu. Daha sistemli bir biçimde sahte sayılar aranmaya başlandı hatta bunun için bir takım kuruldu. Bu sayede bazı daha önce keşfedilmemiş özellikler de ortaya çıktı. Çalışmalar esnasında ekip yukarıda tanımladığımız gibi asal olmayan çarpanlara ve negatif çarpanları da hesaplamalara dahil etti ve kuralları hata oluşturacak biçimde değiştirdi.

Son Aşama

Sahte olan sayıların arayışı aslında tek mükemmel sayılar arayışına yön verebilir. Çünkü Nielsen’ın dile getirdiği gibi aslında sahte olanlar yani hatalı olanlar asıl sayı kümemizdir. Tek mükemmel sayılar bu kümenin belli özelliklerini kapsayan bir alt kümesidir.

Bir şeyin var olduğunu kanıtlamak kolaydır. Ancak bir şeyin olmadığını kanıtlamak gerçekten zor olabilir.

John Voight, Dartmouth Koleji

Sayılar teorisinde yapılan çalışmalar için sabır gereklidir, sorular kolay ama çözümler zordur. Tek mükemmel sayıların arayışı da buna bir örnektir. Ancak bu emeğin sonucunda elde edilen ödül tüm çabalara değebilir.

İleri Okumalar: Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem; https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu