1990’ların ortalarında bir lise öğrencisi olan Pace Nielsen, bugüne kadar hala uğraştığı bir matematik sorusuyla karşılaştı. Bu 2000 yıldan uzun süredir ortalıkta dolaşan bu soru “tek mükemmel sayı var mıdır?” diye başlıyordu. Yunan matematikçi Nicomachus MS 100 civarında tüm mükemmel sayıların çift olması gerektiğini ilan etmiş ancak hiç kimse bu iddiayı kanıtlayamamıştı. Sorunun cazibesi kavranmasının kolay olmasıydı.
Öncelikle mükemmel sayının ne olduğunu anımsayalım. Bir sayının mükemmel olabilmesi için (kendisi hariç) pozitif tam bölenlerinin toplamı bu sayıya eşit olmalıdır. Örneğin 6’nın kendisi hariç pozitif tam bölenleri 1, 2, 3 ‘tür. Bu sayıların toplamı (1+2+3) ise 6’yı verir. Bu nedenle 6 mükemmel bir sayıdır. 28 de 6 gibi mükemmel bir sayıdır. 28’ in kendisi hariç tam bölenleri 1, 2, 4, 7 ve 14 ‘tür. Bu sayıların toplamı da 28 ‘dir.
Pisagor, MÖ 500’de mükemmel sayıların farkındaydı ve iki yüzyıl sonra Öklid, mükemmel sayılar üretmek için bir formül geliştirmişti. P ve 2p – 1 asal sayılarsa o zaman 2p − 1 × (2p – 1) mükemmel bir sayıdır. Örneğin, p=2 ise, formül size 21 × (22 – 1)= 6; p=3 ise 22 × (23 – 1)=28 sonuçlarını verecektir. Leonhard Euler, 2000 yıl sonra, bu formülün aslında her bir mükemmel sayıyı ürettiğini kanıtladı. Devamında bir sayının bölenlerini toplayan sigma (σ) işlevinin tanıtılmasıyla mükemmel sayının tanımını resmileştirdi. Böylece, mükemmel sayılar için, σ(n) = 2n biçiminde ifade edilmeye başlandı. ( Biraz önce verdiğimiz mükemmel sayı formülünü anımsayın. Bölenler sınıfına sayının kendisini de dahil ederseniz elde ettiğiniz sonuç sayının her zaman iki katı olacaktır.)
Tek Mükemmel Sayı Arayışı
Başta da dediğimiz gibi Nielsen mükemmel sayıları ilk olarak bir lise matematik yarışmasında öğrendi. Üniversitede matematik eğitimi almasına ve sayılar teorisi alanında uzmanlaşmasına da aslında bu problem neden oldu. İlerleyen süreçte matematikçi olan Carl Pomerance’ın 1974 tarihli ve herhangi bir tek mükemmel sayının en az yedi farklı asal çarpana sahip olması gerektiğini kanıtlayan bir makalesine rastladı. 2003 yılında yayınlanan tek mükemmel sayılar hakkındaki ilk makalesi, bu sayılara kısıtlama getirdi. k farklı asal çarpana sahip tek mükemmel sayıların 24k dan küçük olması gerektiğini gösterdi.
Bu aslında varsayımsal tek mükemmel sayılar için oluşturulan ne ilk ne de son kısıtlamalardı. Örneğin, 1888’de James Sylvester, hiçbir tek mükemmel sayının 105’e bölünemeyeceğini; 1960’da Karl K. Norton, 3, 5 veya 7 ile bölünememesi durumunda en az 27 asal çarpana sahip olması gerektiğini; 2003’de Paul Jenkins, en büyük asal çarpanının 10.000.000’i aşması gerektiğini kanıtlamıştı.
Pascal Ochem ve Michaël Rao, herhangi bir tek mükemmel sayının 101500‘den büyük olması gerektiğini belirlediler (ve daha sonra bu sayıyı 102000‘e çıkardılar). Nielsen, 2015 yılında bir tek mükemmel sayının minimum 10 farklı asal faktöre sahip olması gerektiğini gösterdi. Nielsen ise soruya farklı yaklaştı. Doğrudan tek mükemmel sayı bulamayacağı için bunun yerine bu duruma aday olan ama bazı yönlerden hatalar içeren “sahte” tek mükemmel sayıları analiz etti.
Sahte Tek Mükemmel Sayılar
Tek mükemmel sayıların gerçekten var olabileceğini düşünen ilk önemli matematikçiler arasında 1638’de René Descartes’ta vardı. Ancak çalışmaları onu ilk sahte sayıya götürdü. Bunun detayına girmeden önce matematikçilerin mükemmel sayıları nasıl tanımladıkları hakkında biraz daha bilgi edinmek faydalı olacaktır. Öklid’e dayanan bir teorem, 1’den büyük herhangi bir tamsayının, asal çarpanlara ayrılmış bir biçimde edilebileceğini söyler. Örneğin 1,260 = 22 × 32 × 51 × 71 biçiminde ifade edilebilir. Bir sayı bu biçimi alırsa, Euler’in de kanıtladığı iki ilişki sayesinde, Euler’in bölenlerini toplayan sigma işlevini hesaplamak çok daha kolay hale gelir.
Örneğimize geri dönersek σ (1.260) = σ (22 × 32 × 51 × 71) = σ (22) × σ (32) × σ (51) × σ (71) = (1 + 2 + 22 ) (1 + 3 + 32) (1 + 5) (1 + 7) = 4.368 sonucunu elde ederiz. Bu rakam 1260 sayısının iki katı değildir demek ki 1.260 mükemmel bir sayı değildir.
Şimdi Descartes’e geri dönelim. 198.585.576.189 =32 × 72 × 112 × 132 × 22.021 biçiminde yazılabilir. Yukarıdaki hesaplamaları tekrarlayarak 397.171.152.378 sonucunu elde ederiz. Bu, orijinal sayının iki katıdır. Her şey yolunda gibi gözükse de aslında bir sorun vardır. 22.021 sayısı asal değildir. Bu sayı aslında 192 ve 61’in çarpımıdır. Bu biçimde hesaplanırsa tek mükemmel sayı kuralını sağlamaz.
İkinci bir sahte tek mükemmel sayının ortaya çıkması 361 yıl sonra oldu. Sonunda −22.017.975.903=34 × 72 × 112 × 192 × (−127) 1 ortaya çıktı. Bu sayınında hata noktası çarpanlarından birinin negatif olmasıydı.
Ancak bu ikinci sahte sayının bulunması matematikçiler için bir dönüm noktası oldu. Daha sistemli bir biçimde sahte sayılar aranmaya başlandı. Bu sayede bazı daha önce keşfedilmemiş özellikler de ortaya çıktı. Çalışmalar esnasında ekip yukarıda tanımladığımız gibi asal olmayan çarpanlara ve negatif çarpanları da hesaplamalara dahil etti ve kuralları hata oluşturacak biçimde değiştirdi.
Son Aşama
Sahte olan sayıların arayışı aslında tek mükemmel sayılar arayışına yön verebilir. Çünkü Nielsen’ın dile getirdiği gibi aslında sahte olanlar yani hatalı olanlar asıl sayı kümemizdir. Tek mükemmel sayılar bu kümenin belli özelliklerini kapsayan bir alt kümesidir. Sayılar teorisinde yapılan çalışmalar için sabır gereklidir, sorular kolay ama çözümler zordur. Tek mükemmel sayıların arayışı da buna bir örnektir. Ancak bu emeğin sonucunda elde edilen ödül tüm çabalara değebilir.
İleri Okumalar: Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem; https://www.quantamagazine.org/
Matematiksel
