Matematik Öğrenelim

Trigonometri Nedir? Sinüs İle Kosinüs Tam Olarak Ne Anlama Gelir?

Öncelikle baştan söyleyelim. Bu yazımızda size alışık olduğunu trigonometri tanımlarını vermek istemiyoruz. Sonucunda bunları öğrenmek isterseniz yapmanız gereken şey herhangi bir matematik ders kitabını açıp okumak ve devamında ilgili alıştırmaları çözmektir.

Bizim amacımız bunun bir adım ötesine geçmek. Hazırsanız başlıyoruz. Ancak öncesinde elbette klasik tanım kısmını yapalım.

Trigonometri Nedir?

Trigonometri, üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri inceleyen matematiğin bir dalıdır. Bir çok şeklin üçgenlere ayrılması mümkün olduğu için geometri ile uğraştığımız hemen her an, bir biçimde karşımıza çıkar.

Dahası, trigonometriyi, geometri ile uğraşmadığınız zamanlarda da kullanmak zorunda kalacaksınız. Karmaşık sayılar, sonsuz seriler, logaritma ve kalkülüs ile uğraştığınız zamanlarda da çözüm esnasında bir biçimde işin içine karışacaktır.  

Trigonometri ile tanıştığımız anda karşımıza kulağa yabancı gelen üç kelime daha çıkar: Sinüs, kosinüs ve tanjant. Sözlük karıştırmayı seven biri bu kelimeleri araştırırsa tanjant kelimesine karşılık” teğet” yazıldığını görecektir. Ancak sinüs ve kosinüs tam olarak nedir?

Üç temel trigonometrik fonksiyon

Sinüs kelimesinin öyküsü, MÖ 2. yüzyılda yaşamış olan astronom Hipparchus’a kadar uzanır. Bu nedenle şimdi de kısa bir biçimde trigonometrinin tarihine göz atmanız gerekecektir.

Trigonometriyi Kim Buldu?

Bir çok okur bu soruyu soracaktır. Bir çoğumuzda sorumuza kesin bir cevap isteriz. Ancak ne yazık ki verdiğimiz cevaplar her zaman biraz eksik kalır. Matematiğin ve hatta bilimin hemen her dalında olduğu gibi trigonometriyi kimse bulmamıştır. Ancak bir çok kişi gelişimine katkı sağlamıştır.

Modern trigonometri anlayışımız, gök cisimlerinin gece gökyüzündeki hareketini inceleyen eski Yunan astronomlarına kadar uzanır. Zaten, Trigonometri kelimesi de, Yunanca üçgen ( trigōnon ) ve ölçü ( metron ) kelimelerinden gelir.

Ancak yakın zamanda yapılan bir keşif Babilliler’in, Yunan astronomlarından yaklaşık 1000 yıl önce trigonometrinin öncülü kabul edeceğimiz bazı çalışmalar yapmış olduklarını ortaya koymuştu. Ancak Babillilerin modern açı kavramına ihtiyaç duymayan tamamen farklı bir trigonometri biçimi kullanmışlardı.

Babilliler, tamamen farklı bir dik üçgen kavramsallaştırmasına sahipti. Onu bir dikdörtgenin yarısı olarak gördüler ve 60 tabanlı sayı sistemleri sayesinde yalnızca tam oranları kullanarak çok çeşitli dik üçgenler elde ettiler.

Trigonometri Nedir?
Bu hesaplamada sin ve cos’u bir kenara atıp bunun yerine b/l ve d/l oranlarına bakıyoruz. Tan yerine geçen oran o zaman b/d veya d/b olacaktır. Burada b, l ve d bir dikdörtgenin kısa kenarı, uzun kenarı ve köşegenidir.

Yukarıdaki görselde solda günümüzde alışageldiğimiz trigonometrik gösterim biçimi var. Sağda ise Babil trigonometrisinin nasıl uygulandığını görüyorsunuz. Detayları bu yazımızda incelemiştik. Bu Babil Tabletleri Trigometriye Farklı Bir Açıdan Bakmamızı Sağlıyor

Ancak okullarda öğrendiğimiz trigonometrinin ilk izleri karşımıza M.Ö. 120’de yaşamış olan Yunan gökbilimci İznikli Hipparkhos’un çalışmalarında çıkar. 

Hipparkhos ve Trigonometri

Trigonometri nedir sorusunun cevabını anlamak için tarihi bilmek gerekir. İznikli Hipparkhos bu çalışmada gökyüzünü gözlemlerken tasvir edilmiş

Antik Çağ gökbilimcileri içerisinde onu farklı kılan aslında gözlemci yönünü ciddi bir biçimde geometri ile desteklemesi idi. Özellikle Babillilerin altmış tabanlı sayı sistemlerine dayanarak kullandıkları çemberin çevresinin 360 dereceye, 1 derecenin 60 dakikaya, 1 dakikanın da 60 saniyeye bölündüğü bilgisini Antik Yunan matematikçilere tanıttı.

Trigonometri Nedir?
Görselde A ile B noktaları arasındaki çizgi AB kirişi diye adlandırılır.

Trigonometriyi ilk o icat etmedi ancak bugün kullandığımız biçime o dönüştürdü. Hipparkhos açıların yaylarla değil kirişlerle ölçülmesi gerektiğini ileri sürmüştü. Ancak en büyük sorunu kirişlerin uzunluğunun hesaplanmasıydı.

Bu amaçla kirişler tablosu hazırlamış ve bunu sistematik olarak kullanmıştır. Kirişler tablosundaki değerler günümüzde kullandığımız sinüs fonksiyonunun değerlerine yaklaşık olarak denk gelmektedir.

kirişler tablosu
Hipparchus ( MÖ 190-120) farklı açılara karşılık gelen kirişlerin uzunluklarını veren bir tablo hazırlamıştı. Sonrasında da Claudius Ptolemy (85-150), kirişler hakkındaki temel teoremleri ve bunların üçgenler hakkında bilgi almak için nasıl kullanılabileceğini kanıtlamaya çalışmıştı. 

Bir sonraki önemli adım Hindistan’da ortaya çıktı. Bu, MS 5. yüzyılın başlarında yazılmış “yarı kirişler” tablosu idi. Bu tablo aynı zamanda önemli bir kavrayışı da yansıtmaktaydı.

Kiriş, bir çizgi parçasını bir açı ile ilişkilendirmenin en basit yolu olsa da, birçok durumda kullanılması gereken aslında açının yarısıdır. Bu durumda kiriş iki eş parçaya ayrılır. Sonuçta elimizde üzerinde çalışılması daha kolay olan dik üçgenler olur. Hintli gökbilimciler bunu erken anlamışlardı. Bu nedenle kirişleri tablo haline getirmektense kirişlerin yarısını tablo haline getirmişlerdi.

Trigonometri Nedir?

Sinüs Ve Kosinüs Nedir?

Aslında öncelikle sinüs kelimesinin ne olduğunu size açıklamamız lazım. Bunun içinde Hintli matematikçilere geri dönmeliyiz. Tarihsel olarak, Hindistan’ın kendine ait zengin bir matematik geleneği olmuştur. Ve bariz bir nedenden dolayı trigonometri tam da onun merkezinde yer alır. 

Hintli matematikçiler de temelinde astronomik araştırmaları kolaylaştırmak amacıyla trigonometriyi kullanmışlardı. İlgili trigonometrik terimler için de okçulukta kullanılan yaydan esinleneceklerdi.

Arjuna , Hint destanı Mahabharata’daki büyük savaşçıdır. Endonezya’nın Bali kentindeki bu heykelde ilahi yayı Gandiva’yı tutarken gösteriliyor

Aşağıdaki görselde ise yay ve ok sistemini kullanarak trigonometrik kavramları temsil etmenin Hint yolunu görüyorsunuz.

Hint terminolojisinde kiriş kelimesi samastajya olarak adlandırılırdı. Burada samasta tam veya bütün anlamına gelirken, jya ise yay anlamına gelir. Yarı kiriş ise (AM veya MB), ardhajya (ardha yarım anlamına gelir) olarak biliniyordu ve jya biçiminde kısaltıldı. Bu aslında dönemin Hintli matematikçilerinin sinüse verdikleri isimdi.

Ancak bu sinüs kavramsal olarak modern sinüsten farklıydı. Günümüzde sinüs dediğimiz zaman aklımıza bir oran geliyor. Oysaki bu dönemde sinüs sadece açının karşısındaki kenarı işaret ediyordu. Yani temelinde bir oran değil, bir uzunluktu. Bu nedenle de belli bir açı için değeri dairenin yarıçapına bağlıydı. Bunu aşağıdaki gibi düşünebilirsiniz.

İslam Dünyasının Trigonometriye Katkısı Nedir?

Hintli matematikçiler yarı kirişler tablolarını hesaplamak için çok karmaşık yöntemler geliştirdiler. Diğer birçok matematiksel fikre benzer şekilde, Hint trigonometrisi de ikisi arasındaki diplomatik misyonlar aracılığıyla Arap dünyasına aşılanacaktı. Ve bu noktadan sonra da bir tercüme sorunu yaşanacaktı. Aşağıdaki görselde sinüs kelimesinin değişimini görüyorsunuz.

Eski Hindistan’da başlayan, Orta Çağ Arapları tarafından zenginleştirilen, Latince çevirilerle Avrupa’ya ulaşan ve nihayet bugün kullandığımız modern İngilizce kelimeye ulaşan sinüs.

Süreç içinde Arap matematikçiler konuya kendi fikirlerini eklediler ve trigonometriyi geliştirdiler. Bu konuda önemli çalışmalar yapan matematikçilerden birisi de Battani’dir. Bazı kaynaklarda belirtildiği üzere trigonometriyi Battani bulmamıştır. Onun yaşadığı dönemde trigonometri uzun zamandır biliniyor ve kullanılıyordu. Ancak bu kullanım biçimi yukarıda da belirttiğimiz gibi günümüzdekinden oldukça farklıydı. 

Battani’ni yaptığı kirişler tablosunu, günümüzde kullandığımız trigonometrik ifadeler ile değiştirmesiydi. Bu nedenle kendisi sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekantı gerçek anlamda ilk defa kullanan kişi olarak kabul edilir. ( Kendisini daha detaylı tanımak isterseniz: Battani: Modern Trigonometriyi Geliştiren Astronom ve Matematikçi )

Trigonometri Nedir?

Battani, çalışmaları sırasında bazı temel trigonometrik bağıntılara ulaşmış ve bunları astronomik hesaplamalarda kullanmıştır. Ayrıca sıfırdan 90 dereceye kadar açıların trigonometrik değerlerini de hesaplamıştı. Ancak elbette tüm bunları Arapça yazmıştı.

Bilgi Avrupalı ​​matematikçilere geçtiğinde Arapça eserler tercüme edilmeye başlandı. Latince çevirmenler jyb kelimesini jaib olarak yanlış anladılar. Bu yaka açıklığı gibi bir anlama gelmektedir. Bu nedenle modern zamanda sinüs aslında bu anlama geliyor.

Zamanla, sinüs kelimesi yavaş yavaş çağdaş İngilizce biçimine dönüştü. Ancak tam 200 yıl, kosinüs için özel bir ada ihtiyaç duyulmadı. Zaman içinde de tamamlayıcı açının sinüsü anlamına gelen co-sinüs ifadesi kullanılmaya başlandı.

sin(90-α)= cosα

Trigonometri Ne İşimize Yarıyor?

Trigonometri nedir? sorusundan yola çıktık ve ilginç bir sonuca vardık. Detaylardan da anladığınız gibi trigonometri temelinde gökyüzü ölçümlerini daha kolay hale geliştirilmişti. Ancak daha sonra matematikteki gelişmeler ile birlikte bir çok yerde uygulanır hale gelecekti.

Trigonometri, günümüzden çok önce Yunanlılar tarafından yüksek yapıları ölçmek için ve Victoria dönemi araştırmacıları tarafından da bir dağın yüksekliğini ölçmek gibi yöntemler için kullanılıyordu. Aslına bakarsanız günümüzde uydular da daha modern bir yaklaşım ile ancak esasen aynı prensibi uygulayarak dağın yüksekliği ölçmektedir.

Yazıyı daha fazla uzatmayalım. Trigonometri ne işe yarar sorusunun bir cevabını bu yazımızda da bulabilirsiniz: Bir Dağın Yüksekliği Matematik Yardımı İle Nasıl Ölçülür?


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

2 Yorum

  1. emeğinize sağlık ….esenliklerle ….bilimin rüzgarı düşünen ruhlara esenlik verir….

  2. Çok güzel ilginç bilgiler veriyorsunuz.Çok teşekkürler.
    Sizleri kutlarım.
    Tülay Özsoy Marşan

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu