Trigonometri Nedir? Sinüs ve Kosinüs Nereden Geldi?

Gökyüzündeki bir yıldızın konumunu, ulaşamadığınız bir tepenin yüksekliğini ya da iki nokta arasındaki uzaklığı doğrudan ölçmeden bulmak mümkün müdür? İnsanlar yüzyıllar boyunca bu tür sorularla karşılaştı. Ellerindeki en güçlü araçlardan biri ise açılar ile uzunluklar arasında kurdukları ilişkilerdi.

Bugün bu ilişkileri trigonometri başlığı altında öğreniyoruz. Trigonometriyle tanıştığımızda sinüs, kosinüs ve tanjant gibi kulağa yabancı gelen sözcüklerle de karşılaşırız.

Peki sinüs ve kosinüs ne anlama gelir? Bu adlar nereden gelmiştir ve neden bir üçgenin kenarları arasındaki oranları göstermek için kullanılır? Bu soruların yanıtı, aynı zamanda trigonometri nedir sorusunun tarih boyunca nasıl biçimlendiğini de ortaya koyacaktır.

Trigonometri Nedir?

Trigonometri sözcüğü “üçgen ölçümü” anlamına gelir. Ancak bu ad, alanın bugün taşıdığı anlamı tam olarak karşılamaz. Çünkü sinüs, kosinüs ve diğer trigonometrik fonksiyonlar yalnızca üçgenlerle ilgili değildir. Çemberleri, dönme hareketlerini, dalgaları ve periyodik olayları anlamamızı da sağlar.

Daha genel bir ifadeyle trigonometri, açılar ile uzunluklar arasındaki ilişkileri inceler. Bir açının ölçüsü bilindiğinde karşılık gelen uzunlukları, uzunluklar bilindiğinde ise açıyı hesaplamamıza imkân verir. Bu ilişki, astronomiden haritacılığa kadar pek çok alanda tarih boyunca büyük önem taşımıştır.

Trigonometri bir anda ortaya çıkmadı. İlk uygarlıklar gökyüzündeki düzenli hareketleri izlerken açıları, zaman aralıklarını ve uzaklıkları karşılaştırmanın yollarını aradı. Mısırlılar ve Babilliler gökyüzünü belirli bölümlere ayırdı, yıldızların konumlarını kaydetti ve bu gözlemlerden takvimler oluşturdu. Hindistan ve Çin’de de astronomik hesaplar, takvim hazırlama ve yön belirleme amacıyla benzer yöntemler geliştirildi.

Ancak bu bilgileri sistemli bir geometriye dönüştürenler Eski Yunan matematikçileri oldu. MÖ 2. yüzyılda Hipparkhos, çember üzerindeki açılar ile kiriş uzunlukları arasındaki ilişkiyi tablo hâline getirerek bu alanda sistemli bir adım attı.

Böylece ilk trigonometrik tablolar, bugün bildiğimiz sinüs ve kosinüs değerlerinden değil, çember kirişlerinden oluştu. Başka bir deyişle trigonometrinin başlangıç noktası dik üçgenlerden çok, astronomi ve çember geometrisiydi.

Kiriş tabloları, bugün kullandığımız sinüs tablolarının doğrudan karşılığı olmasa da onların öncülü sayılır. Aradaki temel fark, Yunan matematikçilerinin açının tamamına karşılık gelen kirişi, sonraki Hint matematikçilerinin ise bu kirişin yarısını kullanmasıdır. Sinüs kavramına geçiş de tam olarak bu değişimle başlayacaktır.

Sinüs Ve Kosinüs Nedir?

Hindistan, köklü ve bağımsız bir matematik geleneğine sahipti. Astronomi bu geleneğin önemli bir bölümünü oluşturuyordu. Bu nedenle Hintli matematikçiler, gök cisimlerinin konumlarını hesaplamak için trigonometrik yöntemler geliştirdi.

Yunan matematikçileri tam kirişi kullanırken Hintli gökbilimciler yarı kirişe yöneldi. Çünkü çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya ayırır ve iki dik üçgen oluşturur. Bu düzenleme, açı ile uzunluk arasındaki ilişkiyi hesaplamayı kolaylaştırdı. Hintli matematikçiler de yarı kiriş değerlerini tablo hâline getirerek modern sinüs tablolarının temelini attı.

Hint matematik terminolojisinde tam kiriş için samastajya sözcüğü kullanılıyordu. Burada samasta “tam”, jya ise “yay kirişi” anlamına geliyordu. Yarı kiriş ise ardhajya olarak adlandırılmış, daha sonra bu sözcük kısaltılarak yalnızca jya biçiminde kullanılmaya başlanmıştı. Hintli matematikçilerin jya ile ifade ettiği büyüklük, bugün sinüs olarak bildiğimiz kavrama karşılık gelir.

Aşağıdaki görselde, bu kavramların yay ve ok benzetmesi üzerinden nasıl temsil edildiğini görebilirsiniz.

İslam Dünyasının Trigonometriye Katkısı Nedir?

Hint matematikçilerinin geliştirdiği sinüs tabloları, çeviri hareketleri sayesinde İslam dünyasına ulaştı. 8. yüzyıldan itibaren Bağdat başta olmak üzere birçok bilim merkezinde Yunan, Hint ve İran astronomi eserleri Arapçaya çevrildi. Matematikçiler bu bilgileri yalnızca aktarmakla kalmadı, astronomik hesaplarda kullanmak üzere geliştirdi.

Bu dönemde sinüs, kosinüs ve tanjant gibi büyüklükler giderek kiriş hesabının yerini aldı. El-Battânî, 9. ve 10. yüzyıllarda sinüs ve tanjantı astronomik hesaplarda sistemli biçimde kullandı. Ayrıca hazırladığı tablolar ve geliştirdiği bağıntılarla Güneş ve Ay’ın hareketlerine ilişkin hesapları daha hassas hâle getirdi

Ebü’l Vefâ el-Bûzcânî ve Bîrûnî gibi matematikçiler de düzlem ve küresel trigonometriyi ilerletti. Özellikle küresel trigonometri, gök cisimlerinin konumlarını, şehirler arasındaki yönleri ve kıbleyi hesaplamak için büyük önem taşıyordu. Bîrûnî trigonometrik yöntemlerden yararlanarak Dünya’nın yarıçapı ve coğrafi uzaklıklar üzerine hesaplamalar yaptı.

Bu gelişimin önemli dönüm noktalarından biri, 13. yüzyılda Nasîrüddin Tûsî’nin çalışmaları oldu. Tûsî, düzlem ve küresel trigonometriyi astronominin yardımcı bir aracı olmaktan çıkarıp bağımsız bir matematik alanı olarak ele aldı.

Dörtgen Üzerine İnceleme adlı eserinde trigonometrik bağıntıları sistemli biçimde bir araya getirdi. Böylece İslam dünyasındaki matematikçiler, eski kiriş hesaplarından devraldıkları geleneği modern trigonometriye yaklaşan kapsamlı bir kurama dönüştürdüler.

Kosinüs için başlangıçta ayrı bir ada ihtiyaç duyulmadı. Matematikçiler uzun süre kosinüsü “tamamlayıcı açının sinüsü” anlamına gelen Latince sinus complementi gibi ifadelerle tanımladı. İngiliz matematikçi Edmund Gunter, 1620’de bu ifadeyi kısaltarak co-sinus adını kullandı. Zamanla sözcük “cosinus”, ardından da bugünkü “kosinüs” biçimini aldı.

Trigonometri Ne İşimize Yarıyor?

Trigonometri başlangıçta gök cisimlerinin konumlarını ve yeryüzündeki uzaklıkları hesaplama ihtiyacından doğdu. Günümüzde ise yalnızca bir üçgenin bilinmeyen kenarını bulmak için kullanılmıyor. Açılarla uzunluklar arasında ilişki kurabildiği için ölçme, yön belirleme ve hareketi modelleme gerektiren hemen her alanda karşımıza çıkıyor.

Örneğin haritacılar doğrudan ulaşamadıkları noktalar arasındaki mesafeleri trigonometrik yöntemlerle hesaplar. Mühendisler köprü, bina ve yol tasarımlarında kuvvetlerin yönlerini bileşenlerine ayırmak için sinüs ve kosinüsten yararlanır. GPS sistemleri de uydulardan gelen verileri kullanarak konum belirlerken geometri ve trigonometriye dayanır.

Bununla birlikte trigonometrinin kullanım alanı sabit şekillerle sınırlı değildir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları, düzenli biçimde tekrarlanan hareketleri ifade etmekte özellikle etkilidir. Bir sarkacın salınımı, su yüzeyindeki dalgalar, ses titreşimleri ve alternatif elektrik akımı bu fonksiyonlarla modellenebilir. Bu nedenle trigonometri fizik, elektrik mühendisliği, akustik ve sinyal işlemenin temel araçlarından biridir.

Ek Okuma: Okulda Öğrenmediğiniz 10 Gizli Trigonometrik Fonksiyon

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• The Sun, the Moon and trigonometry. Yayınlanma tarihi: 1 Eylül 2014. Kaynak site: Plus Math Bağlantı: The Sun, the Moon and trigonometry
• Clemency & Clark, Kathleen. (2015). The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry. Aestimatio: Critical Reviews in the History of Science. 7. 1-7. 10.33137/aestimatio.v7i0.25917.

Matematiksel