Geometrinin temel amaçlarından biri alan hesaplamaktır. Bilindiği gibi, hesaplanacak şekil bir dikdörtgen ya da üçgen olduğunda bu işlem oldukça basittir. Ancak daha karmaşık şekiller söz konusu olduğunda farklı ve daha gelişmiş yöntemlere ihtiyaç duyulur. Antik Yunan’da bu amaçla pek çok yöntem geliştirilmiştir. Bunlar arasında en etkileyici olanlardan biri de Arşimet’in tüketme yöntemidir.
Tüketme yöntemi, bir yüzeyin alanını istenilen hassaslıkta belirlemeye yarar. Örneğin bir dairenin alanı, içine çizilen çokgenler aracılığıyla bu yöntemle hesaplanır.. Tüketme yöntemi, Antik Çağ’daki integral kavramının bir karşılığı gibidir.
Arşimet, Parabolün Alanı Üzerine adlı eserinde, eğrilerin gizemini daha derinlemesine incelemiştir. Herhangi bir parabol kirişi çizilerek oluşturulan kesiminin alanını bulmak için Knidoslu Eudoxus’a atfedilen tüketme yöntemini kullanmıştır.
Günlük hayatımızda parabol, basketbolda üç sayılık atışlardan hatırlayabileceğiniz bir eğridir. Ancak bu eğri ve benzerleri aslında yalnızca yaklaşık olarak paraboliktir. Arşimet’e göre gerçek bir parabol, bir koninin bir düzlemle kesilmesi sonucu elde edilen eğridir.
Tüketme Yöntemi İle Parabolün Alanının Hesaplanması
Arşimet’in bir parabolün içinde kalan alanı bulmak için geliştirdiği yöntem oldukça şaşırtıcıdır. Parabol parçasını, kırık çanak çömlek parçaları gibi birbirine eklenmiş sonsuz sayıda üçgenden oluşuyormuş gibi düşünür.
Bu stratejiyi uygulamak için Arşimet’in öncelikle bu parçaların alanlarını belirlemesi gerekir. Ancak bu üçgenler tam olarak nasıl tanımlanacaktır? Sonuçta ilk büyük üçgeni farklı biçimlerde seçmek mümkündür. İşte tam bu noktada Arşimet’in aklına son derece parlak bir fikir gelir.
Arşimet bu noktada son derece parlak bir fikir ortaya koyar. Parabol parçasının tabanındaki eğik doğruyu, kendisine paralel kalacak biçimde yukarı doğru kaydırdığını ve tepeye yakın bir noktada parabole yalnızca tek bir noktada değene kadar ilerlettiğini düşünür.
Bu özel temas noktası “teğet noktası” der. Bu nokta, büyük üçgenin üçüncü köşesini belirler; diğer iki köşe ise eğik doğrunun paraboli kestiği noktalardır.
Arşimet aynı kuralı hiyerarşinin her aşamasında uygular. Ardından Arşimet, parabol ve üçgenlerle ilgili bilinen geometrik sonuçlardan yararlanarak bu yapının katmanlarını birbirine bağlar. Her yeni üçgenin, bir öncekinin alanının sekizde biri olduğunu gösterir. Buna göre, en büyük üçgenin alanı 1 birim kabul edilirse, ondan türeyen iki üçgenin toplam alanı 1/8 + 1/8 = 1/4 olur.
Her aşamada aynı kural geçerlidir: oluşan yeni üçgenlerin toplam alanı, bir öncekinin alanının dörtte biri kadardır. Bu nedenle parabol parçasının alanı, sonsuz bir toplam olarak şu şekilde yazılır. Alan = 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ···.
Bu ifade, her terimi kendisinden öncekinin dörtte biri olan bir geometrik seridir. Bu tür serileri toplamak için alanı 4 ile çarpıp başlangıçtaki ifadeden çıkarmak yeterlidir:
4 × Alan = 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ··· = 4 + Alan. Buradan 4 × Alan = 4 + Alan olur ve sonuç olarak Alan = 4/3 bulunur. Yani parabol parçasının alanı, büyük üçgenin alanının 4/3 katına eşittir.
Arşimet’in Parabol İçin Uyguladığı Yöntem Günümüzde Yaşamaya Devam Ediyor
Arşimet’in mirası bugün hâlâ yaşamaya devam ediyor. Çocuklarımızın izlemeyi sevdiği bilgisayar animasyonlu filmleri düşünün. Shrek, Kayıp Balık Nemo ve Oyuncak Hikâyesi gibi filmlerdeki karakterler, kısmen Arşimet’e dayanan bir içgörü sayesinde canlı ve gerçekçi görünür.
Örneğin, bir manken kafasının üç farklı üçgenleştirilmiş hâlini düşünelim. Kullanılan üçgen sayısı arttıkça ve bu üçgenler küçüldükçe, modelin gerçekliğe yakınlığı da artar.
Mankenler için geçerli olan bu durum; ogreler, palyaço balıkları ve oyuncak kovboylar için de aynıdır. Arşimet, düzgün eğimli bir parabol parçasını temsil etmek için sonsuz sayıda üçgensel parçadan oluşan bir mozaikten yararlanmıştı. Benzer şekilde, DreamWorks’teki modern animatörler de Shrek’in yuvarlak göbeğini ve sevimli, trompeti andıran kulaklarını on binlerce çokgen (poligon) kullanarak oluşturur.
Avatar filmi 2009 yılında, yani yaklaşık on yıl sonra yayımlandığında, poligon detay seviyesi çok daha ileri bir noktaya ulaştı. Yönetmen James Cameron’ın ısrarıyla, animatörler Pandora adlı hayali dünyadaki her bir bitkiyi oluşturmak için yaklaşık bir milyon poligon kullandı.
Avatar’ın yapım maliyetinin üç yüz milyon dolara ulaşması şaşırtıcı değil. Bu film, milyarlarca poligon kullanılan ilk yapım oldu.
Sonuç Olarak
Arşimet’in bir matematikçi olarak güçlü yönlerinden biri, hem fiziksel hem de geometrik argümanları kullanarak problemlere oldukça farklı iki şekilde yaklaşma yeteneğiydi. ‘Çemberin Ölçümü’ isimli çalışmasında pi sayısını (3,142) çok küçük bir hatayla hesaplamayı başardı. ( Detaylar: Arşimet’in Pi Sayısını Hesaplamak İçin Kullandığı Güzel Ve Basit Yöntem)
Kaynaklar ve ileri okumalar
- 100 great problems of Elementary Mathematics Their History and Solutions, Heinrich Dörrie
- Archimedes’ squaring of a parabola | Famous Math Problems 6 | NJ Wildberger https://www.youtube.com/watch?v=tdvII0x0Y58
- Osler, Thomas. (2006). Archimedes’ Quadrature of the Parabola: A Mechanical View. The College Mathematics Journal. 37. 10.2307/27646268.
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
Eskiden İzmir Anadolu öğretmen lisesi olan çiğli fen lisesinde okuyan bir öğrenci olarak eski bir mezunun makalesini okuma fırsatını yakalayacağımı hiç tahmin etmezdim.