İlginç Sorular ve Bulmacalar

Ramanujan Toplamı: 1+2+3+4+5+6+…= -1/12

1 sayısından sonsuza kadar olan doğal sayıların toplamı Ramanujan toplamı olarak bilinir ve sonucu −112‘dir. Kısacası hesap makinesinin tuşlarına ardı arkasına tüm sayıları yazsanız ve asla durmasanız, sonuçta elde edeceğiniz sonuç –1/12 olabilir. Peki ama doğal sayıların toplamı nasıl bir kesir olabilir? Pozitif sayıların toplamı nasıl negatif bir sayı olabilir? Ramanujan toplamı teorik fizik ve ileri matematik alanındaki pek çok araştırma makalesinde kendine yer bulmaktadır. Serinin bütününün ilk bakışta anlamsız görünmesi yanıltıcıdır. Serinin farklı biçimlerdeki yazımları karmaşık çözümleme, kuantum teorisi ve sicim kuramı alanları için işe yarar sonuçlar üretir. İspatına geçmeden önce bir kaç şeyi anımsatmak gerekir.

Yakınsak Nedir? Iraksak Nedir?

Eğer bir dizi herhangi bir limite sahip ise, bu diziye yakınsak dizi, aksi durumda da ıraksak dizi denir. Diziler yakınsak olduğunda yani dizilerin limitleri bulunduğunda bu dizilerle toplama, çıkarma yapabilirsiniz ancak ıraksak olduklarında bunu yapamazsınız. 1 sayısından başlayarak bütün sayıları toplamaya çalışırsak işin içine sonsuzluk karışır, nerede duracağımızı bilemeyiz ve bu da bu sayılar ile işlem yapmamızı olanaksız hale getirir. Neyse ki bu durum içinde matematikçiler bir çözüm üretmişler ve Cesàro toplamasını geliştirmişlerdir.

Örnek Bir Cesàro Toplamı

n ≥ 1 için an = (-1)n+1 koşulunun sağlandığı varsayılsın. Bu durumda {an}=1,-1,1,-1,1,-1 dizisi elde edilebilir. Şimdi bunun kısmi toplamlarını {sn} alalım yani ilk bir, ilk iki, ilk üç vb gibi toplamlarını hesaplayalım. Bu durumda da {sn}=1,0,1,0,… elde ederiz. Grandi dizisi olarak bilinen bu ifade yakınsamamaktadır. Öte yandan, (s1 + … + sn)/n dizisinin terimleri hesaplanabilir. Aşağıdaki sonuç verilen {an} dizisinin Cesàro toplamının 1/2 olduğunu göstermektedir.

{\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}

Ramanujan Toplamı İspatı

Bu aşamada orijinal serimize dönelim: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, geleneksel anlamda ∞’a gittiğini biliyoruz. Bu seri için Cesàro toplamını hesaplamak da işe yaramayacaktır. Bu noktada işin içine biraz hile karışacak. Öncelikle yeni üç toplam oluşturalım. Bunlara S1, S2 ve S3 diyelim. S3 bizim ulaşmaya çalıştığımız cevap olacak.

  • S1 = 1-1+1-1+1-1+1…
  • S2 = 1-2+3-4+5-6…
  • S3= 1+2+3+4+…

Şimdi, S2 yi kendisi ile toplayacağız ancak bunu yaparken alt alta yapmayacağız, aşağıda göreceğiniz gibi ikincisini bir rakam sağa doğru kaydıracağız.

2S(2) = 1-2+3-4…

           +   1-2+3-4…

Bu işlemin sonucu 1-1 + 1-1 + 1… serisi ile sonuçlanacaktır. Eğer dikkat ediyorsanız, yukarıda bu serinin Cesàro toplamının 1/2 olduğunu göstermiştik. Bu durumda , 2S2 = 1/2 ve S2=1/4 olacaktır. Sonra, S2 ‘yi S3‘den çıkarın.

1 + 2 + 3 + 4 +… – (1-2 + 3-4 +…) = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16… cevap 4 S3 yapıyor.

S3 – S2 = 4S3

∴ -3S3  = 1/4  (S2 = 1/4)

S3 = -1/12

Elbette burada gerçekleştirdiğimiz adımlar geleneksel anlamda tamamen meşru değil. Çünkü matematik bize sonsuzluk ile işlem yapmada bazı sınırlandırmalar getirir. Ancak işin büyüleyici kısmı bu toplamın fizikte gerçekten bir karşılık bulmasıdır. Aynı sonuç, Ramanujan toplamı olarak bilinen bir yöntemle de elde edilir. Hintli matematik dehası Srinivasa Ramanujan da sonucu yukarıda kullandığımız yaklaşıma benzer biçimde bulmuştur. Ayrıca, −1/12 sonucu ünlü Riemann zeta fonksiyonu ile ilişkili değerdir. Belki de sonsuzluk hakkında daha öğrenmemiz gereken çok şey var. Aşağıdaki videoya da göz atabilirsiniz.

Göz atmak isterseniz…

Konu ile ilgili bir başka yazı: https://prateekvjoshi.com/2014/01/24/1-2-3-4-5-112/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Yola Kadıköy Anadolu Lisesi ile başladım. Ardından gelen tesadüfler, zamanında pek de sevmediğim, matematik ile yolumu kesiştirdi. Sonucunda Marmara Üniversitesinde İng. Matematik öğretmenliğinden mezun oldum. Zaman akıp gitti; bu süreçte ben de çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. Bu esnada da bol bol matematik ile ilgili serzenişlere şahit oldum. Ne yapmalı diye düşünürken, aklıma bu site fikri geldi. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ve özelinde matematiğe ilgiliyi arttırmaktı. Matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarının da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Yolumuz uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir Yorum

  1. Çalışmalarınız harika. Başarılarınız sürekli olsun, emeği geçenlere binlerce teşekkür. Eğer sizden öğrendiklerimi kullanırsa mutlaka sizi kaynak göstereceğim.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu