Sorular ve Bulmacalar

Ramanujan Toplamı: 1+2+3+4+5+6+…= -1/12

Geçtiğimiz yıllarda popüler bir Youtube kanalı olan Numberphile tarafından yayınlanan bir video interneti uzun süre meşgul etmişti. Bu video sezgilerimize aykırı gelen bir işlemin sonucundan bahsediliyordu. Videoya göre tüm doğal sayıları topladığınız zaman 1+2+3+4+… toplamının cevabı -1/12’ye eşit oluyordu. Video da ayrıca bir ispat yer alıyor ve fizikte bu sonucun bir çok yerde kullanıldığından bahsediyordu. Gözden kaçıranlar videoya buradan göz atabilirler. İnsanlar bu fikri o kadar şaşırtıcı buldular ki, New York Times’a bile girdi. Peki tüm bunlar ne anlama geliyor?

Hepsinden önce elbette tüm doğal sayıların sonsuz toplamı -1/12’ye eşit değildir. Bunu ispatlamamıza gerek yok. Elinize bir hesap makinesi alın ve arka arkaya sayıları toplamaya başlayın. Emin olun ki sonucunda -1/12 sayısını elde etmeyeceksiniz. İşte bu nedenle matematikçiler 1+2+3+4+… toplamının sonsuza ıraksadığını söyler daha basit bir biçiminde de sonucun sonsuz olduğu söylenir. Peki -1/12 nereden geliyor? Yanlış sonuç aslında ünlü Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan’ın 1913’teki çalışmasında ortaya çıktı (daha fazla bilgi için kaynaklara bakın). Ama Ramanujan ne yaptığını biliyordu ve bunu yazmak için bir nedeni vardı.

Ramanujan Ne İle Uğraşıyordu?

Aslında kendisi Euler zeta fonksiyonu denen şeyin üzerinde çalışıyordu. Bunun ne olduğunu kabaca anlamak için önce S=1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 … biçiminde devam eden sonsuz bir toplamı düşünün. Bu toplamda paydadaki sayıların tam kare olduğunu fark etmiş olmalısınız. Bu durumda istersek toplamımızı S=1 + 1/22 +1/32 + 1/42 … biçiminde yazabiliriz. Bu gördüğünüz toplamı işleminin yazının başındakinden önemli bir farkı vardır. Çünkü kısmı toplamlara bakarsak aslında belli bir sayıya doğru toplamın yaklaştığını fark ederiz.

Pozitif tam sayıların karelerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı kaçtır? sorusu aslında Basel problemi olarak bilinir. Bu soru 1644 yılında Pietro Mengoli tarafından ortaya atılmıştır. Sonucun yaklaşık olarak 1.644934’e eşit olduğu 1741 yılında Euler tarafından kanıtlanmıştır. ( Konuyu ele aldığımız bu yazıya ispat için göz atabilirsiniz). Euler’in elde ettiği sonuç aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Basel problemi ve Euler’in bulduğu cevap

Euler Zeta Fonksiyonu

Ancak elbette matematikçiler burada da durmaz. Şimdi başa dönsek, paydadaki doğal sayıların kuvvetlerini 2 yerine başka sayılar yapsak, genel olarak da bunu bir bilinmeyen ile göstersek sonuç ne olur? Yani S(x)= 1 + 1/2x +1/3x + 1/4x … toplamının sonucu nedir? Aslında x, birden büyük bir sayı olursa sonuç sonlu bir değere yakınsar. Yani, her x > 1 için, S(x) ifadesinin iyi tanımlanmış, sonlu bir değeri vardır. S(x) fonksiyonu ise Euler zeta fonksiyonu olarak adlandırılır.

Peki ama bu fonksiyona birden küçük bir değer yazarsanız ne olur? Mesela x=-1 için bir deneme yapalım. S(-1) = 1 + 1/2-1 +1/3-1 + 1/4-1 … yani S(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 +… çıktı. Başa döndük. En başta da bunun sonsuza ıraksadığını yani herhangi bir sayıya yaklaşmadığını söylemiştik. Aslında aynı durum, 1’den küçük veya eşit olan diğer değerler için de geçerlidir.

Ancak hala bir şeyler yapabilirsiniz. Karmaşık analiz kullanarak, Euler zeta fonksiyonunu 1’den küçük veya 1’e eşit olan sayılarda bir sonuç verecek şekilde genişletmenin bir yolu vardır. Matematikçi Bernhard Riemann, Euler’in zeta fonksiyonunu alıp karmaşık sayıları içerecek şekilde genişletti. Fonksiyon bu yeni haliyle Riemann zeta fonksiyonu olarak bilinir. ζ(s) = 1 + 2s+ 3s + 4s + … biçimindedir ve Yunan alfabesinin altıncı harfi zetayla (ζ) gösterilir. Peki Zeta fonksiyonunda x=-1’i yerine yazdığınızda hangi değeri elde edersiniz? Tahmin etmiş olmalısınız. ζ(-1) =-1/12 kadardır.

Ancak ζ(-1) ile S(-1)’i aynı şey gibi kabul ederseniz hata yaparsanız. Zaten Ramanujan da aynı hatayı yapmıştı. Bu nedenle Ramanujan toplamı yanlıştı. Ama üzerinde çalıştığı her şey aslında doğruydu.

Videodaki Ramanujan Toplamı İspatındaki Hata Nerede?

Aslında ispatta bir hata yoktur. Çünkü videoda aslında bir ispat yapılmamaktadır. Sorun izleyenlere yapılıyormuş gibi sunulmasındadır. Bu da matematikçiler arasında bir süre tartışmalar çıkmasına neden olmuştur. Gelelim bu sonucun fizik ile bağlantısına. Aslında işlerin gerçekten ilginçleştiği yer burası. Diyelim ki iki iletken metalik plaka alıp bunları birbirine paralel olacak şekilde bir boşlukta yerleştiriyorsunuz. Klasik fiziğe göre, iki levha arasına etki eden net bir kuvvet olmamalıdır. Ancak klasik fizik, dünyaya çok küçük ölçeklerde baktığınızda gördüğünüz garip etkileri hesaba katmaz. Bunu yapmak için bize çok garip şeyler söyleyen kuantum fiziğine ihtiyacınız var. Bu durumda boşluk aslında boş değildir.

Casimir etkisi, yüksüz bir boşlukta salınan, birbirine birkaç nanometre kadar yakın iki yüksüz plaka ile yaratılır. 

Kuantum fiziğinin matematiğini kullanarak iki plaka arasındaki toplam enerji yoğunluğunu hesaplamaya çalıştığınızda, 1+8+27+64 biçiminde sonsuz bir toplamı elde edersiniz. Yazıyı buraya kadar okuduysanız aslında bağlantıyı anlamış olmanız gerekiyor. Çünkü bu sonuç aslında Euler zeta fonksiyonuna x=-3 yazdığınızda elde edeceğiniz sonuçtur. Bu talihsiz bir durumdur, çünkü toplam ıraksar, bu da sonsuz bir enerji yoğunluğunu ima eder. Sonuç elbette saçmadır.

Peki ya sonsuz toplamın Euler zeta fonksiyonu yerine Riemann zeta fonksiyonuna eşit olduğunu varsayarsanız? O zaman sonlu bir enerji yoğunluğu elde edersiniz. Bu durumda da klasik fizik ile çelişirsiniz. Ama sürpriz asıl burada. Fizikçiler deneyler sonucunda böyle bir kuvvetin var olduğunu buldular. Sonuç tam olarak ζ(-3)’e eşit bir enerji yoğunluğu olduğunu bizlere gösterdi. Bu şaşırtıcı fiziksel sonuç, Hollandalı fizikçi Hendrik Casimir’den sonra Casimir etkisi olarak bilinir.

Sonuçta videoyu hazırlayanlar elbette tüm bunları biliyorlardı. Ancak bazı şeyleri detaylara girmeden aktardılar. Aslında bir yer de iyi bir şeye de hizmet ettiler. Sonuçta tüm dünyanın zeta fonksiyonları ve matematik hakkında konuşmasını sağladılar. Hiç yoktan iyidir.


Göz atmak isterseniz…


Kaynaklar ve ileri okumalar için:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

2 Yorum

  1. Çalışmalarınız harika. Başarılarınız sürekli olsun, emeği geçenlere binlerce teşekkür. Eğer sizden öğrendiklerimi kullanırsa mutlaka sizi kaynak göstereceğim.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz

Başa dön tuşu