Bazı işlemleri, sayıların yapısından yararlanarak uzun hesaplara gerek kalmadan yapabilirsiniz. Genellikle “matematik hileleri” diye adlandırılan bu yöntemler aslında birer hile değildir. Her biri basamak değeri, işlem özellikleri ya da sayı örüntüleri gibi temel matematiksel ilişkilere dayanır.
Aşağıdaki yöntemleri önce kâğıt ve kalemle denemeniz daha yararlı olacaktır. Buradaki amaç hesap makinesinden uzak durmak değil, sayıların birbirleriyle nasıl ilişki kurduğunu fark etmektir. Bu ilişkileri gördükçe hem işlemleri daha hızlı yapar hem de matematiğin yalnızca ezberlenmiş kurallardan ibaret olmadığını daha iyi anlarsınız.
1- Sonu 5 ile Biten Sayıların Karesini Hızlıca Bulma
Örneğin 45 sayısının karesini hesaplamak istediğimizi düşünelim. Önce 45’in hemen altında ve üstünde bulunan 10’un katlarını, yani 40 ile 50’yi çarparız. Ardından birler basamağındaki 5’in karesini alırız. Bu iki sonucu topladığımızda 2000+25=2025 elde ederiz. Dolayısıyla 452=2025 olur.
Aynı yöntem sonu 5 ile biten üç basamaklı sayılarda da işe yarar. Örneğin 1152 işlemi için 110 ile 120’yi çarpar ve sonuca 25 ekleriz: 110⋅120+25=13225 eder.
Peki bu yöntem neden işe yarıyor? Sonu 5 ile biten iki basamaklı bir sayıyı 10a+5 biçiminde gösterebiliriz. Bu ifadenin karesini aldığımızda (10a+5)2=100a2+100a+25 elde ederiz.
İlk iki terimi ortak çarpan parantezine alırsak: (10a+5)2=100a(a+1)+25 olur. Bu da 10a⋅10(a+1)+25 biçiminde yazılabilir. Yani yaptığımız işlem, sayının hemen altındaki ve üstündeki 10’un katlarını çarpıp sonuca 25 eklemekten ibarettir.
2- 20’den Küçük İki Basamaklı Sayıları Çarpma
20’den küçük iki basamaklı sayıları zihinden çarpmak için çarpmanın dağılma özelliğinden yararlanabiliriz. Örneğin 18⋅17 işlemini ele alalım. 17 sayısını 10+7 biçiminde düşünürsek 18⋅17=18⋅10+18⋅7 olur. Ardından 18⋅7 işlemini 10⋅7+8⋅7 biçiminde ayırabiliriz. Böylece 180+70+56=306 sonucuna ulaşırız.
İlk bakışta bu yöntem uzun görünebilir. Ancak birkaç alıştırmadan sonra işlemleri yazmadan, doğrudan zihinden yapmak kolaylaşır. Aynı mantığı sayıları uygun parçalara ayırarak farklı çarpma işlemlerinde de kullanabilirsiniz.
3- 100’e Yakın Sayıları Çarpma
Benzer bir yöntemi 100’e yakın sayılar için de kullanabiliriz. Örneğin 95⋅97 işlemini ele alalım. 95 sayısı 100’den 5, 97 sayısı ise 100’den 3 eksiktir.
Önce sayılardan birini diğerinin eksikliği kadar azaltırız: 95−3=92. Aynı sonucu 97−5=92 işlemiyle de bulabiliriz. Ardından eksik miktarları çarparız: 5⋅3=15. Bulduğumuz iki parçayı yan yana yazdığımızda 9215 sonucuna ulaşırız.
Bir örnek daha yapalım. Şimdi 98⋅97 işleminin sonucunu hesaplayalım. Bu sayıların de 100 sayısından farkları 2 ve 3’tür. Bu farkların çarpımı 6 yapar ancak biz bu sayıyı 06 olarak düşüneceğiz. Çapraz çıkarma sonucunda 98−3=95 elde ederiz. Böylece sonuç 9506 olur.
Bu yöntem, 100’e yakın sayılarda oldukça hızlı çalışır. Ancak ilk denemelerde işlemleri kâğıt üzerinde yapmak, yöntemin mantığını daha kolay kavramanızı sağlayacaktır. Temel fikir, sayıları uygun bir yuvarlak sayıya göre yeniden düzenlemek ve çarpmanın dağılma özelliğinden yararlanmaktır.
4. İki Basamaklı Sayıları 11 ile Hızlı Çarpma
İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarparken çoğu zaman uzun çarpma işlemi yapmanıza gerek kalmaz. Örneğin 43⋅11 işlemini ele alalım. Önce 4 ile 3’ü toplarız: 4+3=7. Ardından bulduğumuz 7’yi iki rakamın arasına yazarız. Böylece 43⋅11=473 sonucuna ulaşırız. Aynı yöntemi 52⋅11 işleminde de kullanabiliriz. 5+2=7 olduğundan sonuç 572 olur.
Rakamların toplamı 10’dan büyükse eldeyi de hesaba katmamız gerekir. Örneğin 68⋅11 işleminde 6+8=14 olur. 4’ü ortaya yazar, eldeki 1’i ise soldaki 6’ya ekleriz. Böylece 68⋅11=748 sonucunu elde ederiz.
Peki bu yöntem neden işe yarıyor? İki basamaklı bir sayıyı 10a+b biçiminde gösterebiliriz. Bu sayıyı 11 ile çarptığımızda (10a+b)⋅11=110a+11b elde ederiz. Bu ifadeyi basamaklarına ayırırsak 100a+10(a+b)+b biçimine ulaşırız. Yani solda ilk rakam, ortada rakamların toplamı, sağda ise ikinci rakam yer alır. Rakamların toplamı 10’dan büyük olduğunda da ortaya çıkan elde bir sonraki basamağa aktarılır.
5- Yüzde Hesaplarını Kolaylaştırma
Bir sayının belirli bir yüzdesini hesaplamak zor görünüyorsa sayı ile yüzde değerinin yerini değiştirebilirsiniz. Örneğin 50’nin yüzde 18’ini bulmak yerine 18’in yüzde 50’sini hesaplamak çok daha kolaydır. 18’in yarısı 9 olduğuna göre 50’nin yüzde 18’i de 9’dur.
Benzer biçimde 25’in yüzde 16’sını hesaplamak yerine 16’nın yüzde 25’ini düşünebiliriz. Bir sayının yüzde 25’i onun dörtte biri olduğundan 16÷4=4 sonucuna ulaşırız.
Bu yöntem çarpmanın değişme özelliğine dayanır. Çünkü bir sayının yüzde y’si x⋅y/100 biçiminde hesaplanır. Çarpma işleminde sayıların yerini değiştirmek sonucu değiştirmediği için x⋅y/100=y⋅x /100 olur. Bu nedenle hangi hesap daha kolaysa onu seçebiliriz.
6- Fibonacci Sayılarıyla Mil ve Kilometre Dönüşümü
Bir milin kaç kilometre olduğunu bilmiyorsanız, yaklaşık bir sonuç bulmak için Fibonacci sayılarından yararlanabilirsiniz. Bir kara mili yaklaşık 1,609 kilometredir; bir kilometre ise yaklaşık 0,621 mildir. Altın oran φ yaklaşık 1,618, bunun tersi olan 1/φ ise yaklaşık 0,618 değerindedir. Bu sayıların mil-kilometre dönüşüm katsayılarına oldukça yakın olması, pratik bir tahmin yöntemi sunar.
Örneğin 5 mil yaklaşık olarak 5⋅1,609=8,05 kilometredir. Yani 5 mil, yaklaşık 8 kilometreye karşılık gelir. Ters yönde baktığımızda da 8 kilometre yaklaşık 8⋅0,621=4,97 mil, yani yaklaşık 5 mildir.
Buradaki 5 ve 8 sayıları ardışık Fibonacci sayılarıdır. Ardışık Fibonacci sayılarının oranı, sayılar büyüdükçe altın orana yaklaşır. Bu nedenle bir Fibonacci sayısını kilometre olarak alıp bir önceki Fibonacci sayısını mil olarak düşünebiliriz. Örneğin 13 kilometre yaklaşık 8 mil, 8 kilometre yaklaşık 5 mil ve 5 kilometre yaklaşık 3 mil kabul edilebilir.
Bu yöntem tam sonuç vermez, ancak zihinden hızlı bir tahmin yapmak için oldukça kullanışlıdır. Üstelik daha büyük Fibonacci sayıları kullandıkça tahmin genellikle daha isabetli hâle gelir.
Sonuç Olarak
Buradaki yöntemlerin hiçbiri gerçek anlamda birer “hile” değildir. Her biri sayıların yapısından ve temel cebirsel özelliklerden yararlanır. Bir yöntemin neden işe yaradığını anlamak, onu ezberlemekten çok daha değerlidir. Çünkü zihinden işlem becerisi, yalnızca hızlı hesap yapmayı değil, sayılar arasındaki ilişkileri fark etmeyi de geliştirir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Convert Miles to Km Example Problem. Yayınlanma tarihi: 26 Mart 2022. Bağlantı: https://sciencenotes.org
- How to Multiply Two Digit Numbers Mentally. Yayınlanma tarihi: 13 Haziran 2021. Bağlantı: https://www.wikihow.com/
Matematiksel
