Eğer bugüne kadar matematiği, özellikle de geometriyi hayatınızdan uzak tutmaya çalıştıysanız, sebebi belki de çevrenizdeki şekil ve desenlerin gizli düzenine yeterince dikkat etmemiş olmanızdır.
“Doğadaki geometri” gibi geniş ve etkileyici bir konuyu tek bir yazıyla anlatmak mümkün değil. Yine de, size birkaç örnekle bu büyüleyici düzenin kapılarını aralamak istiyoruz. Şimdi doğanın içindeki gizli matematiği birlikte keşfetmeye başlayalım.
Fraktal Geometri
Doğadaki geometri denildiğinde, çoğu kişinin aklına ilk olarak fraktal geometri gelir. Fraktallar, doğanın ürettiği ve çevremizde fark edilmeden varlığını sürdüren olağanüstü yapılardır. Belirli bir tanım yapmak güçtür, ancak çoğu fraktal birkaç temel özellikte birleşir: sonsuz ayrıntıya sahip olmaları, her ölçekte benzer desenler göstermeleri, basit kurallardan karmaşık yapıların oluşması ve tam sayı olmayan, kesirli boyutlara sahip olmaları.
Basit bir örnek vermek gerekirse, bir eğrelti otuna dikkatle bakmak bu özellikleri doğrudan gözlemleme imkânı sunar. Bitkinin genel yapısında son derece ayrıntılı bir form vardır. Daha yakından bakıldığında ise, yaprakların dalların küçük kopyaları şeklinde oluştuğu görülür.
Aslında eğrelti otunun bütünü, aynı temel formun farklı ölçeklerde tekrar edilmesiyle meydana gelmiştir. En dikkat çekici nokta ise, fraktal matematiğinin gösterdiği gibi, bu yapının ne tam anlamıyla bir boyutlu ne de iki boyutlu olmasıdır. Bu iki boyut arasında bir yerde konumlanır.
Fibonacci Spirali
Doğa düzensiz, karmaşık ve kaotiktir. Ancak daha yakından baktığınızda, en büyük sarmal gökadalardan en küçük salyangoz kabuğuna kadar her türlü farklı ölçekte desenler, diziler ve simetriler fark etmeye başlayabilirsiniz. Birçok yerde görülen popüler bir desen Fibonacci dizisi ve beraberinde Fibonacci spiralidir.
Fibonacci dizisi, her sayının kendisinden önceki iki sayının toplamı olduğu bir sayı dizisidir. 0 ve 1’den başlayarak, dizinin ilk 10 sayısı 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 biçimindedir. Bazı bitkiler, her zaman Fibonacci dizisindeki sayılarla aynı sayıda büyüme noktasına sahip olacak şekilde dallanır.
Buna bir örnek ananastır. Bir anansın pullarını dikkatlice incelerseniz 8, 13 ve 21 sayısına uyacak biçimde pulların dizilimine rastlarsınız. Benzer bir durum çam kozalakları için de geçerlidir. Bir çam kozalağı alıp incelerseniz ilk başta yalnızca tek yöndeki spiralleri görebilirsiniz. Ancak yakından baktığınızda hem saat yönünde hem de saat yönünün tersine spiraller görebilirsiniz. Hemen hemen her durumda spirallerin sayısı Fibonacci dizisindeki tam sayılar olacaktır.
Fibonacci spirali, bitkilerde son derece yaygındır ve Leonardo da Vinci’den Charles Darwin’e kadar birçok bilim insanını tarih boyunca büyülemiştir. Aslına bakarsanız, günümüzde Fibonacci sarmalıyla uyumlu olmayan bitki türleri oldukça azdır.
Kar Tanelerinin Geometrisi
Doğadaki birçok geometrik unsuru anlamak için fiziğin, kimyanın, biyolojinin ve mekaniğin yasalarıyla şekillenmiş matematiksel formüllere başvurmak gerekir. Bunun en güzel örneklerinden biri kuşkusuz kar tanelerinin geometrisidir. Yeryüzünde bulunması en düşük olasılıklardan biri, birbirinin tamamen özdeş iki kar tanesine rastlamaktır.
Kar taneleri, genellikle havadaki küçük toz parçacıkları veya polen gibi mikroskobik çekirdekler etrafında oluşur. Su buharı, bu çekirdekler üzerinde yoğunlaşır ve donarak küçük bir buz kristali meydana getirir. İlk aşamada kristalin şekli, sıcaklığa bağlı olarak değişir. Örneğin, yaklaşık -2°C’de iğne benzeri kristaller oluşurken, -15°C civarında daha karmaşık ve simetrik altıgen yapılar gelişir.
Bu küçük kristal büyümeye devam ederken, atmosferdeki su buharı buzun yüzeyine yapışır ve yeni dallanmalar oluşturur. Hava akımları ve nem miktarı da büyüme sürecini etkileyerek her kar tanesinin kendine özgü bir şekil almasına neden olur. Kristalin yapısı, onun geçtiği her hava katmanında değişime uğrar. Bu da aynı kaynaktan gelen kar tanelerinin bile farklı şekillerde oluşmasına yol açar.
Kar tanelerinin altıgen olmasının nedeni, su moleküllerinin kimyasal yapısı ve donma sırasında oluşturduğu atomik düzenle doğrudan ilgilidir.
Hayvanlardaki Turing Desenleri – Kaplan Geometrisi
Moda tasarımcılarının hayvan desenlerinden ilham almasının bir nedeni var. Doğada canlılar, baş döndürücü çeşitlilikte desenler geliştirmiştir. Bazı desenler basit ya da rastlantısal şekilde oluşur. Ancak bazıları, desen üreten sistemlerin karmaşık ve hassas etkileşimleriyle meydana gelir.
Kediler ve köpekler gibi memelilerin beyaz karınlara sahip olması oldukça basit bir mekanizmaya dayanır. Embriyo gelişirken, pigment üreten hücreler gelecekte omurga olacak hat boyunca oluşur ve oradan aşağıya, karın bölgesine doğru göç eder. Ancak bu hücreler her zaman hedeflerine tam olarak ulaşamaz. Pigment hücreleri yolun sonuna kadar varamadığında, o noktada beyaz alanlar oluşur.
Dalmaçyalı köpeklerin üzerindeki siyah benekler rastgele oluşur. Aynı şekilde, tekir (calico) kedilerdeki siyah ve turuncu lekeler de rastlantısaldır. Ancak sincapların ve kaplanların çizgileri, balıklar ve tavuklardaki benekler gibi birçok hayvanın göz alıcı desenleri son derece hassas bir şekilde oluşur. Bu olağanüstü öz-organizasyon sürecinde, başlangıçta tekdüze olan bir yüzey düzenli bir desene dönüşür.
Bu sürecin nasıl işlediğini çözen kişi Alan Turing’di. Onu, yapay zekânın temelini atan 20. yüzyılın önemli matematikçilerinden biri olarak tanıyor olabilirsiniz. Ancak Turing, matematik bilgisini gelişmekte olan embriyoda düzenli yapıların nasıl ortaya çıktığını anlamak için de kullandı.
O günden bu yana bilim insanları, Turing denklemlerini parmak izi çizgilerinin oluşumu, tüylerin çıkacağı yerlerin belirlenmesi ve çizgi ya da benek gibi renk desenlerinin gelişimi gibi birçok alana uyguladı. Ve görünen o ki Turing gerçekten doğru bir iz üzerindeydi. Bugün hayvan desenlerini inceleyen bilim insanları, özellikle başka etkenlerle birleştirildiğinde, Turing’in fikirlerinin hâlâ son derece geçerli olduğunu söylüyor.
Sonuç olarak
Aslında doğadaki geometri ile ilgili vermemiz gereken çok sayıda örnek mevcuttur. Mesela bunlardan bir tanesi de örümcek ağları olmalıdır. Konu hakkındaki detaylara da bu yazımızdan erişebilirsiniz: Doğanın Mühendisleri Örümceklerdir, Peki Örümcek Ağının Matematiği Nedir?
Kaynaklar ve ileri okumalar için:
- Modelling nature with fractals; yayınlanma tarihi:1 Temmuz 1998; Bağlantı: https://plus.maths.org/content/modelling-nature-fractals
- The mathematical theory that connects swimming sperm, zebra stripes, and sunflower seeds. Yayınlanma tarihi: 27 Eylül 2023. Bağlantı: The mathematical theory that connects swimming sperm, zebra stripes, and sunflower seeds
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
