Fibonacci Dizisi Nedir? Neden Bu Kadar Özeldir?

Matematik, bir yerde kalıpların incelenmesi ile ilgilidir. Bu kalıplar bazen hiç beklemediğimiz yerlerde karşımıza çıkar. Bu yüzden de her daim ilgimizi çeker. Şimdi size bir sayı dizisi verelim. 13-3-2-21-1-1-8-5. Tanıdık geldi mi? Aslında bu sayıları Da Vinci Şifresi isimli filmi izleyenler anımsayacaktır. İpucu, Fibonacci dizisi elbette. Bu sayılar bu dizinin küçük bir kısmı ve sadece yerleri değişik. 

Fibonacci dizisi adını muhtemelen hepiniz bir yerlerde duymuşsunuzdur. Matematiğin en ünlü dizisinin bir kısmı 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…biçimindedir. Bir sonraki rakamı merak ederseniz de aslında yapmanız gereken son derece basit bir toplama işlemidir. Çünkü Fibonacci dizisindeki her sayı kendisinden önceki iki sayının toplamıdır.

Bu dizi adını İtalyan Leonardo Bigollo Pisano’dan alır. (1170 – 1250). Kendisi Orta Çağ’ın en yetenekli Batılı matematikçisi olarak kabul edilir. Ancak biz kendisini daha çok ‘Fibonacci’ lakabıyla, yani ‘Bonaccio’nun oğlu’ olarak biliriz. Fibonacci ismi 18. yüzyıldan önceki kayıtlarda yer almamaktadır. Bu lakabın daha sonraları Guillaume Libri tarafın­dan adına eklendiği düşünülmektedir.

Leonardo’nun Liber Abaci isimli kitabı. En sağdaki sayılar günümüzde “Fibonacci dizisi” olarak biliniyor. Kaynak:https://www.maa.org/

Fibonacci’nin matematiğin gelişimine katkısı büyüktür. Babasıyla yaptığı yolculuklar sonucunda tanıştığı Hindu-Arap matematiğinden son derece etkilenmiş ve bunun sonucunda 1202’de Liber Abaci adlı kitabı kaleme almıştır. Kitap, Hint-Arap sembollerini Avrupa’ya tanıtması anlamında önemlidir.

Fibonacci Dizisi ve Tavşan Problemi

Bu kitabın üçüncü bölümünde, bir problem yer alır. ‘Adamın biri, her tarafı duvarla çevrili bir yere yeni doğmuş bir dişi ve bir erkek tavşan koyar. Tavşanlar bir aylıkken çiftleşebilir, böylece ikinci ayın sonunda dişi tavşanımızın iki tavşan yavrusu daha olur. Bu tavşanlar ayda bir kez bir çift tavşan yavrularsa ve bu yavrular da ikinci aydan itibaren yavrulamaya başlarsa, adamın bir yılda kaç çift tavşanı olur? İşte bu problem bizi tarihe adını Fibonacci dizisi olarak yazacak bir sayı dizisi ile tanıştırır.

Şöyle düşünün. İlk ayın sonunda çiftleşirler, ancak hala sadece 1 çift vardır. İkinci ayın sonunda dişi yeni bir çift doğurur, yani şimdi 2 çift tavşan vardır. Üçüncü ayın sonunda, orijinal dişi ikinci bir çift daha doğurur ve toplamda 3 çift yapar. Dördüncü ayın sonunda, orijinal dişi yeni bir çift daha doğurur ve bu esnada iki ay önce doğan dişi de ilk çiftini doğurur ve toplamda 5 çift yapar. Bu problemde tavşanlar hiç ölmez. Bunun sonucunda mantığı devam ettirirseniz bir yıl sonunda 233 çift tavşan olacağını göreceksiniz.

Gerçek tavşanlar, Fibonacci’nin varsaydığı gibi üremezler, ancak onun dizisi, büyümenin bir yönünü yakaladığı için, doğada hala sıklıkla görülür. Tavşanlarda bu anlatılan mümkün olmasa da Fibonacci dizisi, arıların üreme şemasını mükemmel şekilde açıklar.

Fibonacci Dizisi
Yumurtalar döllenirse işçi (dişi) arılar doğmaktadır. Bu arıların genetik bilgisinin yarısı anneden (kraliçe arı) yarısı da babadan (erkek arı) gelmektedir. Yumurtalar döllenmezse erkek arılar doğmaktadır. Bu nedenle, işçi arıların iki erkek arıların tek ebeveyni vardır. Bunların genetik bilgilerinin tamamı anneden gelir.

Arılar tek istisna da değil. Fibonacci sayıları bitkilerde ve çiçeklerde de görülür. Bazı bitkiler, her zaman bir Fibonacci sayıda büyüme noktasına sahip olacak şekilde dallanır. Çiçeklerin genellikle Fibonacci sayıda yaprağı vardır, papatyalar 34, 55 ve hatta 89 yaprağa sahip olabilir!

Fibonacci Dizisinden Altın Orana Geçiş

Tarihe baktığımızda, Gopala (1135) ve Hemanchandra (1150) gibi birçok Hintli matematikçinin aslında söz konusu sayı dizisine atıflar yaptığı göze çarpmaktadır. Ancak Fibonacci’nin Liber Abaci’yi yazdığı dönemde bu sayılar özel bir şey olarak tanımlanmamıştı. Nitekim ünlü Alman matematikçi ve astronom Johannes Kepler (1571-1630), 1611 tarihli “Strena Seu de Nive Sexangula” adlı eserinde bu sayı dizisini tekrardan keşfetti. Kepler bu sayı dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranları inceledi ve bunların hemen hemen birbirinin aynısı olduğunu fark etti. Ancak bu sayılar matematikçiler arasında yine de fazla ilgi görmedi.

1800’lerin ortalarında Fibonacci sayıları matematikçilerin ilgisini çekmeye başladı. Şu anki adlarını da bu sayıları inceleyerek kendi sayı dizisini oluşturan genellikle “Edouard Lucas” olarak anılan Fransız matematikçi François-Édouard-Anatole Lucas’tan (1842-1891) aldılar. Bu sıralarda Fransız matematikçi Jacques-Philippe-Marie Binet (1786-1856), konumu verilen herhangi bir Fibonacci sayısını bulmak için bir formül geliştirdi.

Bu formül ile n yerine herhangi bir sayı yazarak istenen Fibonacci sayısını bulabilirsiniz.

1753’te de Robert Simson, ardışık Fibonacci sayıları arasındaki oranın bir sayıya yaklaştığını fark etti. Bu sayede de Fibonacci dizisi matematikçilerin ilgisini daha fazla çekmeye başladı. Sonuçta altın oran ile ilişkisi ortaya konulmuştu. Fibonacci sayı dizisi, Fibonacci’ye matematikçilerin nezdinde ölümsüzlük verilmesine yetti. Kendisi Fibonacci kullandığımız sayı sisteminin ve sembollerin yaygınlaştırılmasından temelde sorumlu olsa da bugün adı genellikle Fibonacci sayıları lie anımsanıyor.

Fibonacci heykeli
Pisa (İtalya) şehir mezarlığında bulunan Fibonacci heykeli.


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Deniz Karagöz

Hukuk eğitimi almış olmama rağmen matematik her zaman ilgimi çeken bir bilim olmuştur. Matematiksel.org bana bu ilgimi üretkenliğe çevirme şansı veren kaliteli bir ortam. Bu yüzden gerek çevirilerim gerekse yazılarımla katkıda bulunabilmek benim için oldukça anlamlı. Aynı zamanda buradan beslenerek öğrenmeye de devam ediyorum. İyi okumalar
Başa dön tuşu