MATEMATİKTemel Matematik

Fibonacci Dizisi Nedir? Neden Bu Kadar Özeldir?

Matematik, bir yerde kalıpların incelenmesi ile ilgilidir. Bu kalıplar bazen hiç beklemediğimiz yerlerde karşımıza çıkar. Bu yüzden de her daim ilgimizi çeker. Şimdi size bir sayı dizisi verelim. 13-3-2-21-1-1-8-5. Tanıdık geldi mi? Aslında bu sayıları Da Vinci Şifresi isimli filmi izleyenler anımsayacaktır. İpucu, Fibonacci dizisi elbette. Bu sayılar bu dizinin küçük bir kısmı ve sadece yerleri değişik. Bu dizide her sayı, kendinden önce gelen iki sayının toplamıdır. Merak edenler için dizinin bir kısmı şu şekildedir. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…610,987,1597….

İtalyan Leonardo Bigollo Pisano (1170 – 1250), Orta Çağ’ın en yetenekli Batılı matematikçisi olarak kabul edilir. Ancak biz kendisini daha çok ‘Fibonacci’ lakabıyla, yani ‘Bonaccio’nun oğlu’ olarak biliriz. An­cak Fibonacci ismi 18. yüzyıldan önceki kayıtlarda yok. Bu lakabın daha sonraları Guillaume Libri tarafın­dan adına eklendiği düşünülmektedir. Fibonacci, babasıyla yaptığı yolculuklar sonucunda tanıştığı Hindu-Arap matematiğinden son derece etkilenmişti. Bunun sonucunda 1202’de Liber Abaci adlı kitabı kaleme aldı. Kitap, Hindu-Arap sembollerini Avrupa’ya tanıttı, kapsamlı bir aritmetik metni oluş­turdu.

Leonardo’nun Liber Abaci isimli kitabı. En sağdaki sayılar günümüzde “Fibonacci dizisi” olarak biliniyor. Kaynak:https://www.maa.org/

Fibonacci Dizisi ve Tavşan Problemi

Kitabın üçüncü bölümünde, bir problem vardır. ‘Adamın biri, her tarafı duvarla çevrili bir yere bir çift tavşan koyar. Bir çift tavşan ayda bir kez bir çift tavşan yavrularsa ve bu yavrular da ikinci aydan itibaren yavrulamaya başlarsa, adamın bir yılda kaç çift tavşanı olur? İşte bu problem bizi tarihe Fibonacci dizisi olarak geçecek bir sayı dizisi ile tanıştırır.

Fibonacci’nin tavşan nüfusuna ait büyüme kuralı gerçekçi olmasa da bir yan­ dan üreyip öte yandan ölen hayvanların nüfusundaki değişiklikler ölçen bazı popülasyon dinamiği problemlerinde, buna benzer kurallar kullanılmaktadır Bunlara Leslie Modelleri denir.

Fibonacci Dizisi
Fibonacci dizisi, arıların üreme şemasını da mükemmel şekilde açıklar. Yumurtalar döllenirse işçi (dişi) arılar doğmaktadır. Bu arıların genetik bilgisinin yarısı anneden (kraliçe arı) yarısı da babadan (erkek arı) gelmektedir. Yumurtalar döllenmezse erkek arılar doğmaktadır. Bu nedenle, işçi arıların iki erkek arıların tek ebeveyni vardır. Bunların genetik bilgilerinin tamamı anneden gelir.

Arılar tek istisna da değil; Fibonacci dizisinin sayıları doğadaki birçok fenomenin perde arkasında bulunmaktadır. Örneğin, birçok çiçeğin yaprak sayısı Fibonacci dizisiyle ay­nıdır. Bu bir tesadüf değildir. Bitkinin büyüme şeklinin ve primordia’nın (yapraklar da dahil olmak üzere önemli yapıların ortaya çıkmasını sağlayan, büyüyen sürgünlerin uçlarındaki minik hücre yumakları) gelişme geometrisinin sonucudur. Peki bu nasıl mümkün olmaktadır?

Fibonacci Dizisinden Altın Orana Geçiş

Tarihe baktığımızda, Gopala (1135) ve Hemanchandra (1150) gibi birçok Hintli matematikçinin aslında söz konusu sayı dizisine atıflar yaptığı göze çarpmaktadır. Ancak Fibonacci’nin Liber Abaci’yi yazdığı dönemde bu sayılar özel bir şey olarak tanımlanmamıştı. Nitekim ünlü Alman matematikçi ve astronom Johannes Kepler (1571-1630), 1611 tarihli “Strena Seu de Nive Sexangula” adlı eserinde bu sayı dizisini tekrardan keşfetti. Kepler bu sayı dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranları inceledi ve bunların hemen hemen birbirinin aynısı olduğunu fark etti. Ancak bu sayılar matematikçiler arasında yine de fazla ilgi görmedi.

1800’lerin ortalarında Fibonacci sayıları matematikçilerin ilgisini çekmeye başladı. Şu anki adlarını da bu sayıları inceleyerek kendi sayı dizisini oluşturan genellikle “Edouard Lucas” olarak anılan Fransız matematikçi François-Édouard-Anatole Lucas’tan (1842-1891) aldılar. Bu sıralarda Fransız matematikçi Jacques-Philippe-Marie Binet (1786-1856), konumu verilen herhangi bir Fibonacci sayısını bulmak için bir formül geliştirdi.

Bu formül ile n yerine herhangi bir sayı yazarak istenen Fibonacci sayısını bulabilirsiniz.

1753’te de Robert Simson, ardışık Fibonacci sayıları arasındaki oranın bir sayıya yaklaştığını fark etti. Bu sayede de Fibonacci dizisi matematikçilerin ilgisini daha fazla çekmeye başladı. Sonuçta altın oran ile ilişkisi ortaya konulmuştu. Fibonacci sayı dizisi, Fibonacci’ye matematikçilerin nezdinde ölümsüzlük verilmesine yetti. Kendisi Fibonacci kullandığımız sayı sisteminin ve sembollerin yaygınlaştırılmasından temelde sorumlu olsa da bugün adı genellikle Fibonacci sayıları lie anımsanıyor.

Fibonacci heykeli
Pisa (İtalya) şehir mezarlığında bulunan Fibonacci heykeli.

Kaynaklar:

  • Fibonacci and his Magic Numbers; https://www.bbvaopenmind.com/
  • Alfred S. Posamentier and Christian Spreitzer; The Lives and Works of 50 Famous Mathematicians; 

Matematiksel

Deniz Karagöz

Hukuk eğitimi almış olmama rağmen matematik her zaman ilgimi çeken bir bilim olmuştur. Matematiksel.org bana bu ilgimi üretkenliğe çevirme şansı veren kaliteli bir ortam. Bu yüzden gerek çevirilerim gerekse yazılarımla katkıda bulunabilmek benim için oldukça anlamlı. Aynı zamanda buradan beslenerek öğrenmeye de devam ediyorum. İyi okumalar

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu