Temel Matematik

Negatif Sayılar: Negatif Düşünmenin Pozitif Gücü

Negatif sayılar bize yüzyıllarca zihinsel eziyet yaşattı ve bir çoğumuza halen yaşatmaya devam ediyor. Bu nedenle, binalardaki yer altı katlarını B1, B2 ve B3 gibi alfasayısal kombinasyonlarla gösteriyoruz. Bu yüzden zamanı belirtmemiz gerektiğinde sıfırı milat kabul edip, -300 yerine milattan önce 300 diyoruz. Kısacası negatif sayılardan kaçınmak için elimizden geleni yapıyoruz. Çünkü bir çok kişi hala iki negatif sayının hangisinin daha büyük olduğunu anlamakta bile zorlanıyor.

Bu durum aslında modern zamanlara ait bir sorun değil. Negatif sayıların sayı doğrusunda yerlerini alması oldukça uzun zaman aldı. Antik Yunan düşünürleri ve sonraki Avrupalı matematikçilerin çoğu, negatif sayıları yani bir şeyin hiçten az olduğu kavramını saçma buldular. Bu düşünce 1600’lü yıllara kadar da devam etti.

İnsanlığın negatif sayıların varlığını anlaması biraz da ticaretin gelişmesi ile ilgili gözüküyor. Antik dönemde Çinliler, hesap işlerini kolaylaştırmak için küçük bambu çubuklar kullandılar. Sistem, ticaret ve vergi hesaplamaları için kullanıldı. Alacaklar kırmızı çubuklarla ve borçlar siyah çubuklarla gösterildi. Pozitif sayıların (kırmızı çubuklar) ve negatif sayıların (siyah çubuklar) kutuplaşmış doğası, Çin felsefesiyle de uyumluydu.

Bu sayı sisteminde sayının anlaşılır olması için yatay ve dikey birlikte kullanılırdı. Örneğin örneğin, 752 sayısını yazmak için dikey 7’yi, ardından yatay 5’i ve ardından dikey 2’yi kullanmanız gerekliydi.

Buna karşılık, antik Yunanistan’ın matematiği, geometri ve geometrik büyüklüklere veya bunların oranlarına dayanıyordu. Bu nicelikler yalnızca pozitif olabileceğinden, negatif bir sayı fikri Yunan matematikçilerine mantıklı gelmedi.

Borçlar ve Servetler: Negatif Sayıların Ortaya Çıkışı

Birkaç yüzyıl sonra, Hindistan’da matematikçiler negatif miktarlar ile ilişkili olabilecek somut bir bağlam buldular. Bu para idi.. Sizden beş rupi ödünç alırsam, beş rupi borcum vardır. Ancak size beş rupi geri verdiğimde sıfır olacaktır. Yedinci yüzyıl gökbilimcisi Brahmagupta, pozitif ve negatif sayıların aritmetiği için “servet” ve “borçlar” adını verdiği kurallar yazdı. Bu sayede sıfır sayısı ile birlikte negatif sayılar varlığı da kabul görmeye başladı. Devamında Hint rakamları Orta Doğu, Kuzey Afrika ve onuncu yüzyılda İspanya’ya yayıldı.

Negatif sayılar gündelik yaşamda yerini almaya başlarken matematikçiler uzun bir süre bunlara karşı temkinli davrandılar. Örneğin, René Descartes (1596-1650) negatif nicelikleri denklemlerin çözümü olarak kabul etti. Ancak bunlara gerçek sayılar yerine “yanlış kökler” adını verdi. İngiliz matematikçi John Wallis (1616-1703), sayı doğrusunu sıfırın altına genişleterek negatif sayılara bir anlam verdi.

Negatif sayıların yol açtığı kafa karışıklığı İngiliz matematikçi John Wallis’in 1685 yılında yazdığı A Treatise of Algebra adlı çalışması ile son buldu. Kendisi sayıları bir çizgi üzerine yerleştirerek sayı doğrusu kavramını ortaya koydu. Sayı doğrusu aslında tüm zamanların en açıklayıcı diyagramıydı. Yine de on sekizinci yüzyılın sonunda bile, bazı matematikçiler, negatif sayıları çalışmalarına özellikle dahil etmeyeceklerdi.

Negatif sayılar ilk kez sayı olarak kabul edildiğinde, bunların nasıl yazılacağı konusunda büyük tartışmalar yaşandı. 19. yüzyılın sonlarında, bazı yazarlar, negatif sayıların yatay olarak çevrilmiş pozitif sayılar olarak yazılması gerektiğini öne sürdüler. Neyse ki bu kabul görmedi. Bir süreliğine sayıların üzerine ek bir çizgi eklenerek yazıldı. Bir dönemde de negatif ve pozitif sayılar ay ile gösterildi. Aşağıda bir örneğini görebilirsiniz.

Yukarıdaki denklem -4 + 6 = 2’dir

Okulda negatif sayılar konusunu öğrendiğimizde, bu geçmiş tartışmalara neyse ki artık maruz kalmıyoruz. Onların anlamını ve gösterim biçimlerini anlayabiliyoruz. Hayatımızın her alanında da negatif sayıları kullanıyoruz. Ancak hemen devamında yeni bir sorun ile tanışıyoruz. Bir sayı doğrusuna bakarak negatif sayıları anlamak, toplama ve çıkarma işlemleri yapmak mantıklıdır. Ancak sayı doğrumuz negatif sayıları birbirleriyle çarptığımızda ne olduğuna dair bize hiçbir fikir vermez. Bu noktada da bir çok kişinin aklına şu soru gelir.

Negatif İki Sayının Çarpımı Neden Pozitiftir?

Bu sorunun cevabı aslında bizim pozitif sayılar ile çalıştığımız dönemde çarpma işlemini tanımlamamız ile ilgilidir. Sonuçta matematik bazı kabuller üzerine kuruludur. Size yukarıda kısaca aktardığımız gibi negatif sayıların kabulü de kolay olmamıştır. Negatif sayılar matematiğe dahil edildikten sonra da sistemin bozulmaması için bazı uyarlamalar yapılmıştır.

Sayı doğrusunu düşünün. 0’dan iki adım ileri yürürsem, 2’ye ulaşırım. Bu iki adımı tekrar edersem 4’e ulaşırım ve tekrar tekrar edersem 6’ya ulaşırım. Aynı şekilde sıfırdan iki birim geriye gidersem –2’ye ulaşırım. –6’ya ulaşmak için de bu süreci iki defa daha tekrarlamam gerekir. Bu söylediklerimizi matematiksel semboller ile ifade edersek 2 + 2 + 2 = 6 ve –2 –2 –2 = –6 biçiminde bir ifade karşımıza çıkar. Sonuçta dediğimiz gibi matematik kabuller üzerine kuruludur. Ve kabullerimizden biri de toplamanın kısa yolunun çarpma olduğudur. Bu nedenle az önceki sonuçlarımızı 3 × 2 = 6 ve 3 × –2 = –6 biçiminde gösterebiliriz. Böyle gördüğünüz gibi pozitif çarpı pozitif sonuçta pozitif olacaktır. Pozitif çarpı negatif de negatif bir sonuç verecektir. Şimdi iki negatif sayının çarpımının neden pozitif yaptığını anlamaya çalışalım.

Unutmayın, matematikçiler negatif sayıları mevcut sistemin içine yerleştirmeye çalışırken halihazırda bir çok kavramı biliyorlardı. Bunlardan biri de dağılma özelliği idi. Şimdi 3x -2=-6 sonucumuza geri dönelim. Ancak bu sefer 3 yerine (4 – 1) yazalım. Bu durumda denklem şöyle olur: (4-1) x -2 = -6. Sonucumuzun -6 çıkmasını biliyoruz. Şimdi dağılma özelliği yapalım. (4 × –2) + (–1 × –2) = –6 yani –8 + (–1 × –2) = –6 . Yandaki işlemde kırmızı ile işaretli kısmın ne olduğunu bilmiyoruz. Ancak (-8)’e ne eklersek (-6) yapar sorusunun cevabını biliyoruz. Cevap (+2) olmalıdır. Bu durumda iki negatif sayının çarpımı pozitif yapmıştır. ( Kaynaklarda belirttiğimiz videoda alternatif bir örnek de inceleyebilirsiniz.)

Kaynaklar ve ileri okumalar

  • Alex Bellos; Alex Through the Looking-Glass: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life
  • Notation, notation, notation: a brief history of mathematical symbols; Bağlantı: https://www.theguardian.com

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu