Bir İleri İki Geri: Negatif Sayıların Kabulünün Kısa Tarihi

Negatif sayılar bize yüzyıllarca zihinsel eziyet yaşattı ve bir çoğumuza halen yaşatmaya devam ediyor. Bu nedenle, binalardaki yer altı katlarını B1, B2 ve B3 gibi alfasayısal kombinasyonlarla gösteriyoruz. Bu yüzden zamanı belirtmemiz gerektiğinde sıfırı milat kabul edip, -300 yerine milattan önce 300 diyoruz. Kısacası negatif sayılardan kaçınmak için elimizden geleni yapıyoruz. Çünkü bir çok kişi hala iki negatif sayının hangisinin daha büyük olduğunu anlamakta bile zorlanıyor.

Bu durum aslında modern zamanlara ait bir sorun değil. Negatif sayıların sayı doğrusunda yerlerini alması oldukça uzun zaman aldı. Antik Yunan düşünürleri ve sonraki Avrupalı matematikçilerin çoğu, negatif sayıları yani bir şeyin hiçten az olduğu kavramını saçma buldular. Sonucunda eksi bir elmayı hayal edemeyiz, bu yüzden doğuştan gelen bir negatif sayı hissine sahip olmamızın bir yolu yok. Bu düşünce 1600’lü yıllara kadar da devam etti.

İnsanlığın negatif sayıların varlığını anlaması biraz da ticaretin gelişmesi ile ilgili gözüküyor. Antik dönemde Çinliler, hesap işlerini kolaylaştırmak için küçük bambu çubuklar kullandılar. Sistem, ticaret ve vergi hesaplamaları için kullanıldı. Alacaklar kırmızı çubuklarla ve borçlar siyah çubuklarla gösterilmekteydi. Pozitif sayıların (kırmızı çubuklar) ve negatif sayıların (siyah çubuklar) kutuplaşmış doğası, Çin felsefesiyle de uyumluydu.

Bu sayı sisteminde sayının anlaşılır olması için yatay ve dikey birlikte kullanılırdı. Örneğin örneğin, 752 sayısını yazmak için dikey 7’yi, ardından yatay 5’i ve ardından dikey 2’yi kullanmanız gerekliydi.

Buna karşılık, antik Yunanistan’ın matematiği, geometri ve geometrik büyüklüklere veya bunların oranlarına dayanıyordu. Bu nicelikler yalnızca pozitif olabileceğinden, negatif bir sayı fikri Yunan matematikçilerine mantıklı gelmedi.

Borçlar ve Servetler: Negatif Sayıların Ortaya Çıkışı

Birkaç yüzyıl sonra, Hindistan’da matematikçiler negatif sayılar ile ilişkili somut bir bağlam buldular. Bu elbette para idi. Sizden beş rupi ödünç alırsam, beş rupi borcum vardır. Ancak size beş rupi geri verdiğimde sıfır olacaktır. Yedinci yüzyıl gökbilimcisi Brahmagupta, pozitif ve negatif sayıların aritmetiği için “servet” ve “borçlar” adını verdiği kurallar yazdı. Bu sayede sıfır sayısı ile birlikte negatif sayılar varlığı da kabul görmeye başladı.

Batı’da negatif sayıların ilk görülüşü 1202’de Fibonacci tarafından kaleme alınan Liber Abaci (Hesaplama Kitabı) adlı bir kitap ile oldu. Kendisi kitabında negatif sayıların adını kullanmadı ancak bazı problemlerin çözümünü elde etmek için bu sayılara ihtiyaç duyduğu açıktı. Fibonacci bazı matematiksel fikirleri diğer Avrupa’ya yaymaya başarmıştı. Ancak yine de negatif sayılar yüzyıllar boyunca Batı’da tutunamadı.

Blaise Pascal (19 Haziran 1623 – 19 Ağustos 1662)

Örneğin Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın “0’dan 4’ü çıkarmanın sonucu nedir?” sorusuna verdiği yanıtı ele alalım. Ona göre cevap 0’dı ve aksini düşünen herkesi küçümsedi. René Descartes (1596-1650) negatif nicelikleri denklemlerin çözümü olarak kabul etti. Ancak bunlara gerçek sayılar yerine “yanlış kökler” adını verdi. Bilimsel keşif ve teknolojik yeniliklerin ortasında bile, Batı’nın en iyi beyinlerinden bazıları negatif sayıların varlığını kabul etmekte isteksizdi.

Batı Dünyasında Negatif Sayıların Kabulü John Wallis’in Bu Sayıları Görselleştirmesi Sayesinde Oldu

Oxford Üniversitesi’nde Geometri Profesörü olan John Wallis (1616-1703), insanların bir görselleştirme yapıldığında daha iyi düşündüklerini fark ettiğinde işler değişmeye başladı. John Wallis’in 1685 yılında yazdığı A Treatise of Algebra adlı çalışmasında negatif sayılar ilk defa sayı doğrusunda yerini almıştı.

John Wallis’in sayı doğrusu

Bu sayı doğrusu aslında tüm zamanların en açıklayıcı diyagramıydı. Sizin de fark ettiğiniz gibi bu sayı doğrusunda negatif sayılar rakamlar yerine harfler ile gösteriliyor. Wallis’in bu rakamlardan kaçınmasının bir nedeni vardı. Sonucunda son derece önemli bir başka matematiksel araç – sıfır – henüz kabul edilmemişti.

Negatif Sayılar Nasıl Yazılmalı?

Negatif sayılar ilk kez sayı olarak kabul edildiğinde, bunların nasıl yazılacağı konusunda büyük tartışmalar yaşandı. 19. yüzyılın sonlarında, bazı yazarlar, negatif sayıların yatay olarak çevrilmiş pozitif sayılar olarak yazılması gerektiğini öne sürdüler. Neyse ki bu kabul görmedi. Bir süreliğine sayıların üzerine ek bir çizgi eklenerek yazıldı. Bir dönemde de negatif ve pozitif sayılar ay ile gösterildi. Aşağıda bir örneğini görebilirsiniz.

Yukarıdaki denklem -4 + 6 = 2’dir

Okulda negatif sayılar konusunu öğrendiğimizde, bu geçmiş tartışmalara neyse ki artık maruz kalmıyoruz. Onların anlamını ve gösterim biçimlerini anlayabiliyoruz. Ancak hemen devamında yeni bir sorun ile tanışıyoruz. Bir sayı doğrusuna bakarak negatif sayıları anlamak, toplama ve çıkarma işlemleri yapmak mantıklıdır. Ancak sayı doğrumuz negatif sayıları birbirleriyle çarptığımızda ne olduğuna dair bize hiçbir fikir vermez. Bu noktada da bir çok kişinin aklına şu soru gelir.

Negatif İki Sayının Çarpımı Neden Pozitiftir?

Gördüğünüz gibi negatif sayıların kabulü de kolay olmamıştır. Negatif sayılar matematiğe dahil edildikten sonra da sistemin bozulmaması için bazı uyarlamalar yapılmıştır.

Sayı doğrusunu düşünün. 0’dan iki adım ileri yürürsem, 2’ye ulaşırım. Bu iki adımı tekrar edersem 4’e sonra da 6’ya ulaşırım. Aynı şekilde sıfırdan iki birim geriye gidersem –2’ye ulaşırım. –6’ya ulaşmak için de bu süreci iki defa daha tekrarlamam gerekir.

Bu söylediklerimizi 2 + 2 + 2 = 6 ve –2 –2 –2 = –6 biçiminde düşünebiliriz. Sonuçta toplamanın kısa yolunun çarpma olduğunu biliyoruz. Bu nedenle az önceki sonuçlarımızı 3 × 2 = 6 ve 3 × –2 = –6 biçiminde de yazabiliriz. Bu sayede de pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımının negatif olduğunu kolayca görebiliriz. Şimdi iki negatif sayının çarpımının neden pozitif yaptığını anlamaya çalışalım.

Unutmayın, matematikçiler negatif sayıları mevcut sistemin içine yerleştirmeye çalışırken halihazırda bir çok kavramı biliyorlardı. Bunlardan biri de dağılma özelliği idi. Ayrıca her sayının toplama işlemine göre bir tersi olduğunu da anlamışlardı. Yani 3 sayısının tersi -3 idi. Aynı biçimde -3 sayısının tersi de 3’tü. Bir sayının kendisi ile tersinin toplamı da sıfır sayısını veriyordu. Bu durumda, bir sayının tersinin tersini aldığınızda aynı sayıyı tekrar elde ettiğimizi görüyoruz. Yani -(-3)=3 yapıyor.

Şimdi bu bildiklerimizi bir örneğe yerleştirelim. Diyelim ki -3 x -2 işleminin sonucunu bulmaya çalışıyoruz. Cevabın ne çıkacağını bilmediğimizi düşünelim. Bu durumda bildiğimiz şeylerden yola çıkarak bir düşünce deneyi yapalım. – 3 x ( 2 + (-2))=0 işlemini düşünelim. Dağılma özelliğini biliyoruz. Sonucumuz (-3×2 ) + ( (-3)x(-2) =0 biçiminde olur. Bu noktada -6 sayısına ne eklersem sonucum sıfır çıkar? sorusunu sorarız. Cevabımız ise 6 olacaktır. Bu durumda iki negatif sayının çarpımı pozitif yapmıştır.



Kaynaklar ve ileri okumalar

  • Alex Bellos; Alex Through the Looking-Glass: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life
  • Notation, notation, notation: a brief history of mathematical symbols; Bağlantı: https://www.theguardian.com

Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bu Yazılarımıza da Bakmanızı Öneririz