Antik çağlardan beri bilinen sihirli kareler, içinde 1’den n’e kadar sayıların yazılı olduğu nxn boyutlarında bir karedir. Ancak bu sayılar öyle yazılmışlardır ki her satır, sütun ve köşegenin toplamı aynı sayıya eşittir.
Uygulamaya doğrudan hizmet etmeyen matematik alanları arasında, sihirli kareler kadar uzun süre popülerliğini koruyan çok az konu vardır. Bu hikâye yaklaşık 4.000 yıl önce Çin’de başlar. Efsaneye göre, yaklaşık üç bin yıl önce Çin’de büyük bir sel meydana gelir.
Halk, öfkeli nehir tanrısını yatıştırmak için Lo Nehri’ne adaklar sunar, ancak tanrıyı bir türlü memnun edemez. Her adaktan sonra nehirden bir kaplumbağa ortaya çıkar. Bir gün bir çocuk, kaplumbağanın sırtındaki işaretlerin 1’den 9’a kadar olan sayıları temsil ettiğini fark eder.
Bu sayılar öyle bir düzenle yerleştirilmiştir ki her satırın toplamı 15 eder. Bunun üzerine halk, sundukları adakların doğru miktarda olmadığını anlar.
Çinliler bu kareye Lo Shu adını vermiş ve ona manevi bir anlam yüklemiştir. Bu kareyi, evrenin uyumunu yansıtan bir yapı olarak görmüşlerdir. Evlerdeki eşyaların düzenlenmesini konu alan Çin kökenli feng shui sistemi de kısmen bu Lo Shu karesine dayanır.
Sihirli kareler, İslam dünyasındaki matematikçiler tarafından da biliniyordu. Bu bilgi, muhtemelen 8. yüzyıla kadar uzanır. O dönemde Müslümanlar Hint kültürüyle temas kurmuş ve Hint matematiği ile astronomisini öğrenmiştir.
Sihirli Kareler Nedir?
Sihirli kare, sayılarla oluşturulan bir kare düzenlemesidir. Bu düzende her satırın, her sütunun ve ana köşegenlerin toplamı aynıdır. Bu ortak toplama sihirli sayı denir. Geleneksel olarak sihirli karelerde, 1’den n²’ye kadar olan sayılar kullanılır. Burada n, karenin boyutunu ifade eder.
En yaygın sihirli kare, 3×3 boyutunda olup toplam 9 hücreden oluşur. Bu karede 3 satır ve 3 sütun vardır. 1’den 9’a kadar olan sayılar, her satırın, her sütunun ve her köşegenin toplamı 15 olacak şekilde yerleştirilir.
Sihirli kareler yalnızca 3×3 boyutuyla sınırlı değildir. Örneğin, 4×4’lük olanda 4 satır ve 4 sütun bulunur ve 1’den 16’ya kadar olan sayılar, her satırın, sütunun ve köşegenin toplamı 34 olacak şekilde yerleştirilir.
Benzer şekilde, 5×5’lik bir düzenlemede 1’den 25’e kadar olan sayılar olur. Bu durumda, her satır, sütun ve köşegenin toplamı 65 eder. Kare büyüdükçe sayıları bu kurallara uygun şekilde yerleştirmek giderek zorlaşır.
Tüm satırların, sütunların ve köşegenlerin aynı toplamı vermesini sağlamak, daha büyük boyutlarda oldukça karmaşık bir hâl alır. İki boyutlu düzlemde, günümüze kadar 35×35 boyutuna kadar sihirli kareler elde edilmiştir.
Ünlü Sihirli Kareler
Sihirli kareler farklı biçimlerde karşımıza çıkar; ancak bazıları, sahip oldukları ilginç özellikler ya da keşfedildikleri dönem sayesinde diğerlerinden daha çok öne çıkar. Bu yazıda daha önce Lo Shu karesinden bahsetmiştik. Bunun dışında, tarih boyunca dikkat çeken başka sihirli kareler de vardır.
Albrecht Dürer’in Sihirli Karesi
1514 yılında Alman sanatçı Albrecht Dürer, Melencolia I adlı gravüründe gizli bir sihirli kareye yer verdi. Bu 4×4’lük karede 1’den 16’ya kadar sayılar vardır ve her satır, sütun ve köşegenin toplamı 34 eder.
Benjamin Franklin’in Sihirli Karesi
Benjamin Franklin’in oluşturduğu sihirli kare, 8×8’lik bir düzen içerir ve 1’den 64’e kadar sayıları kapsar. Bu karede her satırın, sütunun ve köşegenin toplamı 260’tır. Tarihçiler bu ilginç düzeni Franklin’e ait bir el yazmasında keşfetmiştir.
Euler’in Greko-Latin Karesi
İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, alışılmışın dışında bir kare tasarlamıştır. Bu 4×4’lük yapıda sayılar yerine Yunan ve Latin harfleri yer alır. Her harf yalnızca bir kez yer alır ve her kombinasyon kare içinde tam bir kez görülür. Euler bu fikri, farklı boyutlardaki sihirli kareleri oluşturmak için geliştirmiştir.
Siyam Yöntemi
Siyam yöntemi (ya da De la Loubère yöntemi), tek sayılı sihirli kareleri oluşturmak için kullanılan pratik bir yöntemdir. Fransız diplomat Simon de la Loubère, Siam’da (bugünkü Tayland) bu yöntemle karşılaşmış ve Avrupa’ya tanıtmıştır. Bu yöntemde sayılar belirli bir kurala göre yerleştirilir ve ortaya düzenli bir sihirli kare çıkar.
Khajuraho Sihirli Karesi
Hindistan’daki Khajuraho Tapınağı’nın duvarına işlenmiş olan bu sihirli kare, bilinen en eski 4×4 örneklerden biridir. 1’den 16’ya kadar sayıları içerir. Ancak bu kareyi özel kılan şey, yalnızca satır, sütun ve ana köşegenlerin değil, kırık köşegenlerin de toplamının 34 olmasıdır. Bu yüzden bu tür karelere pan-sihirli kare denir.
Özel Sihirli Kare Türleri
Bu yapılar yalnızca temel kurallarla sınırlı değildir. Her satırın, sütunun ve köşegenin toplamının eşit olduğu klasik biçimin ötesinde, matematikçiler farklı özelliklere sahip birçok özel tür geliştirmiştir.
Pan-Sihirli Kareler
Bu türde yalnızca satırların, sütunların ve ana köşegenlerin toplamı eşit değildir. Aynı zamanda kırık köşegenler de (yani kesintili ya da kenardan devam eden köşegenler) aynı toplamı verir. Örneğin, 5×5’lik bir düzende satır, sütun ve tüm köşegenlerin toplamı 65’tir. Kenardan devam eden köşegenler de aynı sonucu verir.
Bu yapının bazı alt türleri vardır. Çerçeveli olanlarda dış sınır kendi başına aynı özelliği taşır. Ardışık olanlarda ise sayılar kesintisiz bir sıra hâlinde yerleştirilir.
Çok Katmanlı (Multimagic) Kareler
Bu türde özellik yalnızca sayıların toplamıyla sınırlı değildir. Sayıların farklı kuvvetleri de aynı düzeni korur.
- Bimagic: Hem sayıların toplamı hem de karelerinin toplamı eşittir.
- Trimagic: Küplerin toplamı da eşittir.
- Tetramagic: Dördüncü kuvvetler de aynı sonucu verir.
Daha ileri örnekler de vardır. Ancak bu tür yapıları oluşturmak oldukça zordur ve genellikle bilgisayar desteği gerektirir.
Asal Sayılı Kareler
Bu tür sihirli karelerde yalnızca asal sayılar kullanılır. Sayı seçiminin sınırlı olması, bu karelerin oluşturulmasını zorlaştırır. Küçük boyutlu örnekler üzerinde ayrıntılı çalışmalar yapılmıştır. Ancak daha büyük boyutlardaki asal sihirli kareler hâlâ tam olarak çözülememiştir ve araştırılmaya devam etmektedir.
Bileşik (Bileşke) Kareler
Bu tür, daha küçük düzenlerin birleştirilmesiyle oluşur. Yapı öyle kurulur ki hem büyük tablo hem de içindeki küçük bölümler aynı özelliği korur. Örneğin, 9×9’luk bir düzende, tüm satır ve sütunların toplamı aynıdır. İçteki her 3×3’lük bölüm de kendi içinde aynı kurala uyar. Bu tür yapılar, farklı seviyelerde düzen kurulabildiğini gösterir.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Abiyev, Askerali & Baykasoglu, Adil & Dereli, Turkay & Filiz, İ & Abiyev, Azer. (2004). Investigation of center of mass by using magic squares and its possible engineering applications. Robotics and Autonomous Systems. 49. 219-226. 10.1016/j.robot.2004.09.009.
- The maths of magic squares; Yayınlanma tarihi: 15 Temmuz 2014; Kaynak site: Plus Math. Bağlantı: The maths of magic squares
Matematiksel
Hesaplarınız ve anlatımınız harika
Teşekkür ederim. Keyifli okumalar :)