Sihirli Kareler: Bir Kareden Çok Daha Fazlası

Sayıları kullanmaya başladığı ilk günden itibaren insan sayıların içinde saklı sırlar arar durur. Bulduğu sırları da tanrıların kendisine yaptığı oyunlar olarak değerlendirir. İşte binlerce yıl insanları meşgul eden ve birçokları tarafından kutsal kabul edilmiş olan “sihirli kareler” de bu sırlardan biri. Bugün kutsal olmadıklarını biliyoruz ancak hâlâ tam olarak çözülememiş yönleriyle bizim sırlar içermeye devam ediyorlar.

Yetenekli bir devlet adamı ve büyük bir bilge olan Çin İmparatoru Yü, sık sık taşan ve halk arasında lânetli olduğuna inanılan Sarı Irmak’ın kenarlarına topraktan bir set yaptırıyordu. Birden önünde kutsal bir kaplumbağa gördü. Kaplumbağanın kabuğunda İmparatorun o güne kadar hiç görmediği bir şekil vardı. Bu bir sihirli kareydi. Bilge imparator, Çin kaynaklarında Lo-shu adıyla geçen bu kareyi hemen kaydetti ve sihirli karelerin günümüze kadar sürecek 3000 yıllık serüveni başlamış oldu.

Sihirli karelerin Çin’de başlayan serüveni İpek Yolu kervanlarıyla Hindistan’a ve çok sonraları da Eski Yunan’a taşındı. Batıda sihirli karelerle ilgili ilk yazılı kaynak yaklaşık olarak M.S. 130 yılına ait İzmirli Theon’un yapıtıdır. 9. yy’da ise Arap dünyasına giren sihirli kareler Arap astrologlar tarafından gök haritalarının çiziminde kullanıldı. Bir ara Ortaçağ Avrupası’nda da moda olan sihirli kareler, henüz bilimsel düşüncenin egemen olamadığı zamanın Avrupa’sında pek çok başka bilimsel düşüncede ve olayda olduğu gibi dinsel ya da matematiksel olgularla ilişkilendirilmiştir.

Sihirli Kareler Nedir?

Sihirli kareler binlerce yıl boyunca birçok insanın ilgisini çekmiştir. Önce bir tanım vererek başlayalım. Sihirli kare, içinde l’den n’e kadar sayıların yazılı olduğu nxn boyutlarında bir karedir. Ancak bu sayılar öyle yazılmışlardır ki her satır, sütun ve köşegenin toplamı aynı sayıya eşittir. 1lik bir karenin 1 elemanı vardır, 2’lik bir sihirli kare yoktur. 3’üncü dereceden sihirli karenin 9, 4. dereceden karenin de 16 elemanı vardır.  n dereceli sihirli karede n tane satır bulunduğuna göre her bir satırın toplamı ise (1/n)[n²(n²+1)]/2 yani [n(n²+1)]/2 biçiminde hesaplanır. Aynı şekilde sütun ve köşegenlerdeki sayıların toplamı da bu sayıya eşit olmalıdır.

Sihirli Kareler Nasıl Yapılır? De La Loubere ve Siamese Yöntemi

Sihirli bir kare yapmak için kolay bir yol olup olmadığını merak ediyor olabilirsiniz. Neyse ki, var. De La Loubere, 17. yüzyılın sonunda Fransız büyükelçisi olan Siam’a (bugünkü Tayland) geldi. Fransa’ya döndükten sonra yanında, tek sayılı sıra ve sütunlarla sihirli kareler inşa etmenin bir metodunu getirdi. Sihirli karenin en üst satırında ki orta hücreyi bularak başlayın ve hücrenin içine 1 yazın. Daha önceden üzerine yazılmış olan karenin diyagonal olarak bitişik hücrenin kuzey-doğusundaki sayıları 2, 3, 4 ve benzeri şekilde yazarak devam edin.

Karenin ortasına geldiğinizde, zıt kenarlardan sanki birbirine yapıştırılmış gibi devam edin. Herhangi önceden doldurulmuş bir hücreye rastladığınızda, o hücrenin hemen altındaki hücrelere gidin ve daha önce izlediğiniz yolu takip edin. Tüm hücreler doldurulduğunda, iki ana çapraz çizgi ve her satır ve sütundaki sayıların toplamı aynı sayı olmalıdır!

İşte 5×5’lik büyülü karenin bir kısmı burada. 1’den başlayarak 10’a kadar sayıları doldurdum. 1’in kuzeydoğusundaki boşluk yok, bu yüzden 2’yi en alt sıraya koyduktan sonra 3’ü yerleştirdim. 3’ün yukarı kuzey doğusunda kare yok bu yüzden üst satır 4 ile devam ediyor. 6, 1’in bulunduğu hücrede olmalıdır, ancak bu hücre dolu olduğu için 6’yı 5’in hemen altına koydum ve 10’a kadar devam ettim. Kareyi tamamlamayı siz de deneyebilirsiniz elbette. Siamese metodu olarak bilinen bu yöntem, muhtemelen sihirli kareler yapmak için en iyi bilinen yöntemdir, ancak başka yöntemler de mevcuttur. Mesela İngiliz matematikçi olan John Horton Conway’nin Lozange metodu. Bu yöntemlerin ispatlanması cebir kullanılarak yapılabilir, ancak kolay değil!

Çift Dereceli Sihirli Kareler

Siamese yöntemi herhangi bir tek sayılı sihirli bir kare oluşturmak için kullanılabilir, ancak n çift olduğunda n. dereceden sihirli kare elde etmekse çok daha karmaşıktır. Hatta çift dereceli sihirli kare yapmak için geçerli bir yöntem bugüne kadar geliştirilememiştir. n sayısı dördün katı ise, yani 4,8,12i16…. sayılarından biri ise nxn boyutlarında sihirli kareler elde edilebiliyor ancak n dörde tam bölünmeyen bir çift sayı ise n dereceli sihirli kare elde edemiyoruz.

Şimdi dörde tam bölünen n çift sayıları için sihirli kare elde etme yöntemini inceleyelim. Öyleyse karenin kaça kaç bir kare olduğunu seçerek işe başlayın. 4k olduğundan emin olun ve soldan başlayarak satırlar boyunca 1 ‘den (4k)² ‘ye kadar olan hücreleri numaralandırın. Ardından kare 4’ü 4’lük altkümeler halinde bölün ve her alt karenin ana köşegenlerinde bulunan sayıları işaretleyin. Örnekte bunlar renkli numaralardır;

Bu örnekte, n 4’tür, bu nedenle 1 ‘den 17’ye kadar olan sayıları bahsettiğimiz düzene göre değiştirmeliyiz 1 ile 16, 4 ile 13, 6 ile 11, 7 ile 10.

Bu, ünlü Alman sanatçı Albrecht Dürer’in çizdiği sihirli kare ile aynıdır. Gravür Melencolia’nin köşesinde görebilirsiniz.

Latin Kareleri

Latin kareleri Sudoku’nun gerçek atalarıdır. 700 yılı aşkın Arap edebiyatında Latin karelerinden örnekler bulabilirsiniz. Onlar birkaç yüzyıl sonra Euler tarafından keşfedildi ve onları yeni bir sihirli kare olarak düşündü ve Latin kareleri olarak adlandırdı. Latin kareleri, sayı, harf veya sembollerle dolu ızgaralardır, böylece aynı satır veya sütunda iki kez hiçbir sembol görünmez. Sihirli bir kare ile Latin karesi arasındaki fark kullanılan sembollerin sayısıdır. Örneğin, 4×4 sihirli kare arasında 16 farklı numara var, ancak 4×4 Latin kare yapmak için yalnızca 4 farklı sayıya veya harfe ihtiyacınız var.

Her satırda ve sütunda 1’den 4’e kadar rakamlarla dolu bir Latin kare örneği. İlk satıra ve ilk sütuna bakarsanız, sayıların sırayla göreceksiniz: 1, 2, 3, 4. Bu olduğunda Latin kare standart formda veya normalize edilmiş diyoruz. Herhangi bir Latin kare, çift sıra ve çift sütun takas yapılarak standart forma dönüşebilir. 3×3’lük normalleştirilmiş yalnız bir Latin karesi var ve yalnızca 4×4’lük, 4 farklı Latin karesi var, ancak sarsıcı ki 9×9’lük karenin sayısı 377597570 964258816 tane. 1979’da JR Nechvatal, karmaşık bir formülle, herhangi bir kare için farklı normalleştirilmiş Latin karelerinin sayısını bulan formülü yaratmıştı.

Eğer iki Latin kareyi birleştirirsek, harfler ve sayılarla eşleşmiş yeni bir kare elde ederiz. Hiçbir çift tekrar edilmez, ancak ızgarada her bir kombinasyon bulunur. Bu yeni kareye Euler Karesi veya Graeco-Latin Karesi diyoruz ve Euler karesini oluşturan iki kareye karşılıklı ortogonal deniyor. Latin kareleri ve Euler kareleri geniş bir yelpazede uygulama alanına sahiptir.

Tanıdık Bir Latin Kare: SUDOKU

Sudoku veya Su Doku, Latin karelerinin özel bir türüdür. Genellikle 9x9luk kare ızgara şeklindedir ve küçük 3×3’lük kutulara bölünürler. Oyunun amacı, 1’den 9’a kadar olan her bir sayı ile bütün hücreleri doldurmaktır, böylece her sayı tam olarak her sıra, sütunda ve 3×3’lük kutularda bir kez görünür. Sudoku’nun çözümü mantıklı düşünme ve sistematik bir yaklaşım gerektirir. Normal olarak bazı sayılar ipucu olarak verilir. Çok ipucu işi kolaylaştırır. Gerçek Sudoku bağımlıları muhtemelen az sayıda ipucu tercih ederler. Ancak tam olarak bir ve daha fazla çözüm bulunmasını sağlamak için verilmesi gereken asgari ipuçları nelerdir? Bu iyi ve şu ana kadar matematikçilerin tam cevap veremediği bir soru ancak 17 sayısına inanmak için iyi bir neden var.

Peki bu soruyu etrafa çevirirsek?

Başlı başına tamamlanmış bir sudoku ızgarası verildiğinde, bu ızgarayı bir çözüm olarak sunan çok sayıda başlangıç ızgarası var mı? Burada, birkaç çözümün mümkün kılınmasına gerek olmadan daha fazla numaranın kaldırılamayacağı ilk ızgaraları kastediyoruz. Yine, matematikçiler bu sorunun cevabını bilmiyorlar. Ancak Sudoku bulmacasını çözmeye nasıl başlayacağınıza bir göz atalım. Tarama olarak bilinen temel tekniklerden birini görüntülemek için oluşturdum.

Ortadaki üç kutuya baktığımızda sol kutuda bir tane 3, orta kutuda bir tane 3 var, ancak yine de sağdaki kutuya 3’ü koymamız gerekiyor. Peki nereye gitmeli? Üst satırda olamaz, çünkü o satırda zaten 3 tane var. Aynı nedenle, alt satırda da olamaz 2. Kutucukta 3 var. Orta sırada ve son kutucukta sadece bir boş hücre var, bu yüzden 3 oraya yazılmalı.

Şimdi, alttaki üç kutuyu incelersek, satırlardan birinde zaten 6 sayı vardır. Boş hücreleri A, B ve C (soldan sağa sırayla) olarak adlandırdım ve eksik olan sayı 3, 7 ve 8’dir. C hücresine bakarsanız, içine girebileceğiniz tek sayı 7. Çünkü C’nin içinde bulunduğu sütun zaten 3 ve 8 içeriyor.

A ve B’yi bulmak son derece basittir. B ile aynı sütunda 3, B’nin 8 olması gerekiyor. Bu A’nın 3 olması gerektiği anlamına geliyor. Bulmacanın geri kalanını çözmek biraz daha hileli ama çabaya değer. Görüldüğü gibi uzun yıllar boyu büyücülerin, kahinlerin tekelinde kalan sihirli kareler matematikçilerin ilgi alanına girdikten sonra çok farklı bir boyut kazanmıştır. Bugün bile. çoğu amatör olmak üzere. birçok matematikçi sihirli karelerle ilgilenmekte ve bu konuda çalışmalar yapmaktadır.

Kaynakça: Anything but square: from magic squares to Sudoku; https://plus.maths.org/