Türev ve integral, matematiksel evrenin yapıtaşlarındandır. Ancak muhtemel bu ikili en az anlaşılan ve en çok kaçınılan konuların başında yer alır. Bu iki konu genellikle insanları korkutacak şekilde sunulsa da çevremizdeki dünyayı anlama biçimimiz için bir zemin sağlar.
Aslında iki kavram da, oldukça basittir. İngiltere’de Newton ve Almanya’da Leibniz birbirlerinden bağımsız olarak bu kavramların temellerini attılar. Kalkülüs kavramı oluşmaya başladıkça onun temelini oluşturan türev ve integral işin içine karıştı. Konuyu detaylı bir biçimde Kalkülüs Savaşları başlıklı yazımızda ele almıştık. Şimdi bu yazıda “türev ve integral nedir?” sorusunun cevabına odaklanalım.
Türev Nedir? İntegral Nedir?
Aslında her ikisi de özünde değişim ile alakalıdır. Ancak bunu farklı biçimde yaparlar. Türev, bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğiyle, integral ise nicelikle, bir şeyin ne kadar değiştiğiyle ilgilidir. Bir doktorsanız hastanın tümörün bir süre sonra ne kadar büyüyeceğini anlamak için integrale ihtiyacınız vardır.
Değişim hızının hesaplanması her türlü durumda yararlıdır. Arabanızdaki hız sabitleyici, sürekli olarak ne kadar hızlanması veya yavaşlaması gerektiğini hesaplamak zorundadır. Lüks kahve makineniz, bir espresso için suyu tam olarak doğru sıcaklığa bu sayede getirir.
Bir tümörün ne kadar hızlı büyüdüğünü görmek için değişime bakarız. Tüm bunları yapmak için aynı tekniği kullanıyoruz. Ne tür bir değişim olduğu önemli değildir. Çünkü hepsinin arka planında kullanılan matematik aynıdır.
Kullandığınız toplam elektrik miktarı, beğendiğiniz adayın seçimde yeniden seçilme şansı, bir destek kirişinin ne kadar bükülebileceği…Fark etmez. Ne olursa olsun, bir şeyin ne kadar değiştiğini bilmek istediğimiz zaman integral kullanırız.
Türev Ve İntegral Ne İşimize Yarar?
Bir araba fabrikasında matematikçi olarak çalıştığınızı düşünün. Göreviniz arabaları olabildiğince güvenli hale getirmek olsun. Bunu arabaları yakarak, ezerek, bir yerlere çarptırarak ölçebilirsiniz. Ama matematiği kullanarak işi çok daha ucuza da halledebilirsiniz.
Bir araba kazasında, en büyük risk baş tarafımızdan yaralanmaktır. Çarpışma esnasında başın ileri ya da geri hareketi hayati olabilir. Aracın hızı bu hareketin şiddeti konusunda çok etkilidir. İşte bu hızı ölçmek için diferansiyel denklemler kullanabilirsiniz.
Diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Bu denklemler yardımıyla çarpışmanın her anında, kafanın ne kadar hızlı hareket ettiğine bakabilirsiniz. Bu sayede de araca gerekli güvenlik donanımlarını önerebilirsiniz.
Bir matematikçi olarak, kafanın bir dizi anda ne kadar hızlı hareket ettiğini hesapladınız. Ama yine de kafanın hareket hızı ile çarpışmanın ne kadar tehlikeli olduğunu bilemezsiniz. İşte bu yüzden şimdi de integrale ihtiyacınız var. Tehlikeyi tanımlayabilmek için çarpışma sırasında toplamda kafanın ne kadar hareket ettiğini bulmanız lazım.
Diyelim ki bir saniyede öne arkaya iki kere hareket ettiğini buldunuz. Kaza toplam 4 saniye sürdü. 2 kere 4 toplam 8 hareket ediyor diyemezsiniz. Yapmamız gereken aslında basittir. Bir saniye bir kaza için büyük bir zaman dilimi.
Oysa ki saniye yerine çok daha küçük zaman birimlerine bakıp, her zaman birimindeki hareketi belirleyip sonra da bunların toplamını alırsak çözümümüz gerçekçi olacaktır. Bu arada bu verdiğimiz örnek bizim tarafımızdan uydurulmadı.
Gerçekten de araba üreticileri, arabalarının güvenlik testlerinde bu hesaplamayı kullanıyorlar. Şimdi artık türev nedir? İntegral nedir? Ve ne işe yararlar sorusu için kafanızda bir fikir oluşmuş olması lazım. Ama daha bitmedi. İntegralin geometri ile de ilişkili olduğunu hatırlarsınız.
Geometrik Anlamda Türev ve İntegral Nedir?
Aşağıdaki grafik herhangi bir şeyin zaman içindeki değişimini göstersin. Bu değişimi görebilmek için birbirine çok yakın iki noktayı incelememiz gerekir. Bu noktalar o kadar yakındır ki bir çizgi oluşturuyorlar gibi düşünebiliriz.
Yani bu çizginin kısaca teğetin şekline bakarak karar verebiliriz. Teğet ne kadar “dik” ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir, ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Newton ve Leibniz bu fikri ilk ortaya atanlardı.
Bir noktanın grafik üzerindeki bir çizgi boyunca ne kadar hızlı yukarı ve aşağı hareket ettiğini düşündüler. Çizgi ne kadar dik olursa, nokta o kadar hızlı hareket ederdi. Bu türevin geometrik anlamda karşılığıdır. Peki ya integral ne olacak?
Aslında görsele dikkatli bakarsanız bir dizi adımla bir eğri altındaki alanın nasıl hesaplanacağını gösterir. Adımlar ne kadar küçükse, dalgalı şeklin altındaki bölgede o kadar az boşluk kalır. Kısacası çizginin altındaki alanı küçük dikdörtgenlere bölerseniz.
Her bir dikdörtgenin alanını hesaplar ve hepsini toplarsınız. Dikdörtgenler ne kadar küçükse, hesaplama o kadar doğru olur. Aynı şekilde hacmi de hesaplayabilirsiniz. Ancak bu biraz daha zor olacaktır. Prensip aynı olsa da hem dikey hem de yatay çalışmanız gerekir.
Türev ve İntegral Hayatımızın Her Alanındadır
Siz fark etseniz de etmeseniz de integral ve türev arabanızda, kahve makinenizde veya merkezi ısıtma sisteminizin termostatında, her an her yerdedir. Her yerde hesaplanması gereken değişimler vardır ve bunu bu ikili olmadan yapmak neredeyse imkansızdır.
Doğal dünyada her şey sürekli değişir, bu yüzden onu incelemek için de aynı mantığı kullanırız. Peki türev ve integral öğrenmek zorunda mısınız? Aslında bu biraz da seçtiğiniz mesleğe göre değişir.
Günlük yaşamımızda bu ikilinin sağladığı avantajların tadını çıkartır ancak hesaplamaları biz yapmak zorunda kalmayız. Bu anlamda, matematiği kullanmanız gereken bir meslek seçmediğiniz sürece, integraller ve diferansiyeller hakkında detaylı bilgi sahibi olmanıza gerek yoktur. İlgili bir meslek seçseniz bile hesaplamaları artık bilgisayarlar yapmaktadır.
Yine de bu durum size öğretilen şeylerden şikayet etmeniz anlamına gelmemelidir. Arka plandaki fikri başta anlamak zor gelebilir ama kısaca anlatmaya çalıştığımız gibi fikir çılgınca değildir. Sembolik gösteriminin ürkütücü görüntüsünden uzaklaşır ve işin mantığını kavramaya çalışırsak anlamlandırmak çok daha kolaylaşır.
Doğal dünyada her şey sürekli değişir, bu yüzden onu incelemek için değişimi anlamanın bir yoluna ihtiyacınız vardır. Ve bunu kalkülüs başarmıştır.
Etrafınızdaki dünyanın nasıl çalıştığını bilmek istiyorsanız, temel fikri anlamak çok önemlidir. İntegraller ve diferansiyeller dünyayı değiştirdi. Bilgisayarları, akıllı telefonları, uçakları ve diğer birçok modern makineyi mümkün kıldılar. Onlar olmasaydı çok farklı bir dünyada yaşıyor olurduk. Yazının devamında Diferansiyel Denklemler Nedir? Bu Denklemler Ne İşimize Yarar? başlıklı yazımıza da göz atabilirsiniz.
Kaynaklar ve ileri okumalar :
- Stefan Buijsman; Pluses and Minuses: How Math Solves Our Problems; ISBN-10 : 0143134582;
- Maths in five minutes: Calculus. Yayınlanma tarihi: 22 Nisan 2022; Bağlantı: https://plus.maths.org/
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
