Diferansiyel Denklemler Nedir Ve Ne İşimize Yarar?

Bir cismin belirli bir sürede ne kadar yol aldığını nasıl buluruz? Radyoaktif bir madde hangi hızla bozunur? Bir kondansatör zamanla nasıl boşalır? İlk bakışta birbirinden tamamen farklı görünen bu soruların ortak bir noktası vardır. Hepsinin yanıtı diferansiyel denklemlerde saklıdır.

Analiz, matematiğin en temel alanlarından biridir. Ancak önemi yalnızca matematik içindeki yerinden kaynaklanmaz. Fizikten mühendisliğe, biyolojiden ekonomiye kadar birçok alanda değişimi anlamak ve sistemlerin davranışını açıklamak için kullanılır. Diferansiyel denklemler de bu uygulamaların merkezinde yer alır.

Diferansiyel Denklemler Nedir?

Bir diferansiyel denklem, bir niceliğin değişim hızını o niceliğin mevcut durumuyla ilişkilendirir. Bu sayede düşen bir cismin hareketini, bir elektrik devresindeki akımın zamanla nasıl değiştiğini ya da bir nüfusun nasıl büyüdüğünü matematiksel olarak inceleyebiliriz. Dahası, bu süreçlerin gelecekte nasıl davranacağını da tahmin edebiliriz.

Bir cismin bir doğru üzerinde hareket ettiğini düşünelim. Seçtiğimiz bir noktaya göre konumu, t anında x(t) fonksiyonuyla gösterilsin. Cismin anlık hızı, konumunun değişim hızıdır. Yani x′(t) ile ifade edilir. Anlık ivme ise hızın değişim hızıdır ve ikinci türev olan x″(t) ile gösterilir.

Newton’ın en bilinen hareket yasalarından birine göre, kütlesi m olan bir cismin ivmesi, ona uygulanan kuvvetle ilişkilidir. Bu yasa genellikle F = m x″(t) şeklindedir.

Şimdi en basit durumu ele alalım. Cismin kütlesi m ve ona etki eden kuvvet F sabit olsun. Yerçekimi etkisiyle düşen bir cisim, bu duruma iyi bir örnektir. Newton’ın ikinci yasasını F = m x″(t) biçiminde yazarsak, cismin ivmesi için x″(t) = F/m elde edilir.

Bu ifade bize ivmenin sabit olduğunu söyler. Fakat çoğu zaman asıl merak ettiğimiz şey ivme değildir. Cismin herhangi bir t anında nerede olduğunu bilmek isteriz. Bunun için önce ivmeden hıza, sonra hızdan konuma geçmemiz gerekir.

Başka bir deyişle, içinde x’in türevleri bulunan bir denklemden x’i bulmaya çalışırız. İşte bu tür denklemlere diferansiyel denklem denir. Bu denklemleri çözmek, çoğu zaman sıradan cebir denklemlerini çözmekten daha farklı ve daha gelişmiş yöntemler gerektirir.

Bu örnekte x″(t) = F/m denkleminin zamana göre integralini aldığımızda hız fonksiyonunu elde ederiz. Bu x′(t) = (F/m)t + b biçiminde olur. Buradaki b, başlangıç koşullarından gelen bir sabittir. Fiziksel olarak cismin başlangıç hızını temsil eder.

Aynı ifadenin bir kez daha integralini aldığımda ise x(t) = (F/2m)t² + bt + c konum fonksiyonuna ulaşırız. Bu kez ortaya çıkan c sabiti, cismin başlangıç konumunu gösterir. Böylece yalnızca kuvvetten yola çıkarak cismin zaman içindeki hareketini adım adım bulmuş oluruz.

Diferansiyel Denklemleri Çözmek Her Zaman Kolay Değildir

Diferansiyel denklemler alanındaki en önemli isimlerden biri Augustin-Louis Cauchy idi. Özellikle adi diferansiyel denklemler için geliştirdiği yöntemler, matematikçilere bir denklemin hangi koşullar altında çözülebileceğini anlamada güçlü araçlar sağladı.

Cauchy’nin geliştirdiği yöntemler yalnızca teorik açıdan değil, sayısal hesaplamalar açısından da büyük önem taşıyordu. Nitekim günümüzde bilgisayarların kullandığı birçok sayısal çözüm tekniğinin kökeninde bu fikirler yer alır.

Ancak diferansiyel denklemlerin daha zorlu bir sınıfı vardı. Bunlar, bilinmeyen fonksiyonun birden fazla değişkene bağlı olduğu kısmi diferansiyel denklemlerdi.

Örneğin bir cismin doğru üzerindeki konumunu yalnızca zamana göre inceleyebiliriz. Fakat bir metal levhanın her noktasındaki sıcaklığı anlamak istersek, hem zamanı hem de levha üzerindeki konumu dikkate almamız gerekir. İşte bu tür durumlarda kısmi diferansiyel denklemler ortaya çıkar.

19. yüzyılın başlarında matematikçiler, ikinci veya daha yüksek mertebeden bir kısmi diferansiyel denklemin çözümü olup olmadığını gösterecek genel yöntemlerden yoksundu.

Buna rağmen bazı özel problemlerde önemli ilerlemeler kaydedildi. Özellikle dinamik alanında çalışan William Rowan Hamilton ve Carl Jacobi, hareket problemlerinin bir kısmının birinci mertebeden kısmi diferansiyel denklem sistemlerine indirgenebileceğini gösterdiler.

Bu fikir önemliydi. Çünkü matematikçiler artık yalnızca tek tek hareket problemlerini çözmeye çalışmıyordu. Bu problemlerin arkasındaki ortak yapıyı da görmeye başlıyorlardı. Böylece diferansiyel denklemler, yalnızca fiziksel hareketi hesaplamanın bir yolu olmaktan çıktı. Matematiğin kendi içinde yeni yöntemlerin ve yeni düşünme biçimlerinin gelişmesine de katkı sağladı.

Sonuç olarak

Bugün diferansiyel denklemler yalnızca matematiğin değil, modern bilimin ve mühendisliğin de temel araçlarından biridir. Doğadaki süreçleri anlamak, sistemlerin gelecekteki davranışlarını öngörmek ve karmaşık problemleri modellenebilir hâle getirmek için vazgeçilmez bir rol oynar.

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• Maths in a minute: Differential equations; Yayınlanma tarihi: 6 Mayıs 2020; Kaynak site: Plus math. Bağlantı: Maths in a minute: Differential equations/
• Why We Use Differential Equations and Their significance. Kaynak site: Medium. Yayınlanma tarihi: 29 Kasım 2023. Bağlantı: Why We Use Differential Equations and Their significance.

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel