Matematikte “Kaç sayı vardır?” sorusu, teknik olarak anlamlı değildir. Çünkü şu anda saymaya başlasanız ve birer birer artarak yaşamınız boyunca devam etseniz bile, doğal sayıların sonuna ulaşmanız mümkün değildir. Bu nedenle, doğal sayılar kümesinin sonsuz eleman içerdiğini söyleriz.
“Kaça sayı var” sorusunun cevabı ve beraberinde sonsuzluk, düşündüğümüzden çok daha karmaşık bir kavram. Bu nedenle bir matematikçiye “Sonsuzluk nedir?” diye sorduğunuzda, size büyük ihtimalle şu karşılığı verir: “Hangi sonsuzluk?”. Çünkü matematikçiler sonsuzluğu tek bir şey olarak görmez.
Sonsuzdan Büyük Sonsuz Ne Anlama Gelir?
1873 yılında Alman matematikçi Georg Cantor, matematik dünyasını derinden sarstı. Sayı doğrusunu dolduran “gerçek” sayıların — örneğin 3.14159… gibi sonu gelmeyen ondalıklı sayıların — sayıca, 1, 2, 3 gibi doğal sayılardan fazla olduğunu gösterdi. Oysa her iki küme de sonsuzdur.
Sonsuz sayı kümeleri, büyüklük kavramına dair sezgilerimizi altüst eder. Isınma turu olarak, doğal sayılar kümesi {1, 2, 3, …} ile tek sayılar kümesi {1, 3, 5, …} arasındaki ilişkiyi düşünelim. İlk bakışta doğal sayılar kümesinin daha büyük olduğunu düşünebilirsiniz; çünkü ikinci küme ilk kümenin yalnızca yarısını içeriyor gibi görünür.
Ancak Cantor, bu iki kümenin bire bir eşlenebileceğini fark etti. Bu durumda, iki sonsuz küme aynı büyüklüğe sahiptir. Cantor, bu büyüklüğe “kardinalite” adını verdi ve sayılabilir sonsuzluk anlamına gelen bu büyüklüğü ℵ0 (“aleph-sıfır) olarak isimlendirdi.
Ancak Cantor, doğal sayıların gerçek sayılar kümesiyle bire bir eşlenemeyeceğini de ortaya koydu. Örneğin, 1’i 1.00000… ile, 2’yi 1.00001… ile eşlemeye çalıştığınızda, 1.000000001… gibi sayıların arada kaldığını görürsünüz. Bu arada kalanlar sonsuz sayıdadır. Yani tüm gerçek sayıları böyle eşleyemezsiniz. Gerçek sayıların kardinalitesi, doğal sayılar kümesinin kardinalitesinden büyüktür.
Cantor’un çalışması, sonsuzluk kavramının homojen olmadığını, tersine kendi içinde hiyerarşik bir yapıya sahip olduğunu gösterdi. Sonsuz kümeler arasında büyüklük farkı vardır ve bu fark, yalnızca sezgisel değil, mantıksal olarak da tanımlanır.
Reel sayılar kümesi de sayılamaz bir sonsuzdur. Reel sayılar kümesi de bu nedenle ℵ1 olarak gösterilmektedir. Bu biçimde devam ederek, ℵ2 kümesini de tanımlamamız mümkündür. (ℵ2 elemanları gerçel sayıların tüm alt kümelerinden oluşan kümenin eleman sayısıdır. Yani gerçel sayılar kümesinin kuvvet kümesidir. )
Süreklilik Hipotezi Nedir?
1900 yılında matematikçi David Hilbert, yeni doğmakta olan sonsuzluk matematiği karşısında büyülenmişti. Bu nedenle 20. yüzyılda çözülmesi gereken 23 matematik probleminden oluşan ünlü listesinde süreklilik hipotezini ilk sıraya koymuştu. Süreklilik hipotezi, sayma sayılarının sonsuzluğu ile gerçel sayıların sonsuzluğu arasında sonsuzluğun bulunmadığı ileri sürer. Yani eleman sayısı ℵ0 dan büyük ve ℵ1 den küçük bir kümenin var olmadığını söyler. Ancak bu ilk madde matematikçileri bir açmaza sürükleyecekti.
Yüz yıl sonra çok ilerleme kaydedildi, ancak bu ilerleme yeni gizemlere yol açtı. 1940 yılında ünlü mantıkçı Kurt Gödel, küme teorisinin yaygın olarak kabul edilen kurallarına göre, doğal sayılar ile reel sayılar arasında bir sonsuzluğun var olduğunu kanıtlamanın imkansız olduğunu kanıtladı.
ZFC, matematikte Zermelo-Fraenkel küme teorisi olarak bilinen bir aksiyomatik sistemdir. Bu sistem, matematiksel nesneleri kümelerle temsil eder ve bu kümelerin nasıl tanımlanacağına dair kuralları belirler. Matematiksel hemen hemen her şey kümelerden oluşturulabildiğinden (örneğin, boş küme {} 0’ı belirtir; {{}} 1’i belirtir; {{},{{}}} 2’yi belirtir vb.), kümelerin kuralları matematik boyunca kanıt oluşturmak için yeterlidir.
Ancak 1940 yılında Kurt Gödel, süreklilik hipotezinin bu aksiyomları kullanılarak kanıtlanamayacağını gösterdi. Bu, süreklilik hipotezinin doğru olduğunu kanıtlama yolunda büyük bir adım gibi görünecektir. Ancak yirmi yıl sonra matematikçi Paul Cohen böyle bir sonsuzluğun var olmadığını kanıtlamanın imkansız olduğunu kanıtladı! Süreklilik hipotezinin öyle ya da böyle kanıtlanamayacağı ortaya çıktı. Süreklilik hipotezini matematiğin aksiyomlarından bağımsız hale getirdi. Bu sayede de 1966 Fields Madalyasını kazandı.
Bu sonuçlar hep birlikte süreklilik hipotezinin “bağımsızlığını” ortaya koydu. Bu, kümelerin yaygın olarak kabul edilen kurallarının, doğal sayılar ile reel sayılar arasında bir sonsuzluğun olup olmadığını bize söylemek için yeterli olmadığı anlamına gelir.
Günümüzde Süreklilik Hipotezi Ne Durumda?
Gödel ve Cohen, süreklilik hipotezinin ZFC’den bağımsızlığını ortaya koyduktan sonra konu kapandı sanıyorsanız yanılıyorsunuz. Bu matematikçilerin sonsuzluğu anlama çabalarını sonlandırmak yerine onları yeni yönlere yönlendirdi.
Matematikçiler artık sonsuz kümeler için hem sonsuzluk hakkında bilinenleri açıklayabilecek hem de boşlukları doldurmaya yardımcı olacak yeni temel kurallar arıyorlar. Sorunun hala çözülebileceğini ancak bunun için yeni mantık araçlarına yani yeni aksiyomlara ihtiyacımız olduğunu düşünüyorlar. Hatta günümüzde bunu gerçekleştirme yolunda ilerleyen iki rakip teori de mevcut. İkisi de temelini Paul Cohen’in 1963’te yaptığı çalışmadan alıyor.
Cohen’in kanıtı, o güne dek bilinmeyen bir yöntem kullanmıştı. İngilizcesiyle Forcing, Türkçesi zor kullanma ya da zorlama olarak söyleyebileceğimiz bu yöntemle, Cohen, ZFC’nin aksiyomlarının doğru olduğu ama Süreklilik hipotezinin yanlış olduğu bir matematiksel evren inşa etmişti. Bu nedenle matematikçiler günümüzde yeni matematiksel evrenler üzerine çalışmalara devam ediyorlar.
Yazının başlığında da sorduğumuz “kaç sayı var?” sorusuna net bir cevap bulamayacak olsak da küme teorisyenleri matematiksel çoklu evrenden çıkmak ve tek bir resmin arkasında birleşmek istiyor.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer. Yayınlanma tarihi: Kaynak Site: Bağlantı: How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer.
- Martin’s Maximum++++ implies Woodin’s axiom (∗).
https://doi.org/10.4007/annals.2021.193.3.3
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
