Geçmişi ve geleceğimizi oluşturan sayılar gerçeklik ile derinden bağlantılıdır. Örneğin kesir elde etmek istiyorsanız bir elmayı dörde bölebilirsiniz ya da pi sayısını görmek için bir daireyi inceleyebilirsiniz. Fakat gerçeklik ile ilişkisi olmayan sayılar da vardır. Bunlar karmaşık sayılar olarak da bilinmektedir.
Okulda veya işte bazı denklemleri çözdüğünüzü hayal edin. x2=1 denklemi kolaydır. Cevabın x=1 veya x=-1 olduğunu kolayca anlayabilirsiniz. Peki ya x2=0? Bu denklem için de tek olasılık x=0’dır. Sıra x2=-1 denklemine geldiği zaman işler biraz garipleşir.
Karmaşık Sayıların Kısa Tarihi
Sonuçta negatif bir sayının karekökünü almak matematikte yasaktır. Ancak neyse ki bu yasağı delmek için de bir seçenek vardır. Negatif bir sayının karekökünü kullanan ilk kişi ise kübik denklemler üzerine çalışmalar yapan İtalyan Fontana olmuştur.
Fontana’dan sonra karmaşık sayılar sık sık matematikte yer almaya başladı. Kartezyen koordinat sisteminin kaşifi Descartes, bu sayılara “sanal” adını taktı. Aradan on yıllar geçtikten sonra de Moivre ve Newton, trigonometriyi karmaşık sayılarla birleştirdi. Daha sonraları Euler, matematiğe i gösterimini kazandırdı.
Fontana’nın doğumundan üç yüz yıl sonra, Norveçli yerölçümcü ve harita tasarımcısı Caspar Wessel, sanal sayıları geometrik olarak çizen ilk kişi oldu. Ne var ki Wessel’in çalışması yüz yıl boyunca fark edilmeden bekledi.
Sonrasında bu buluşun onuru Jean-Robert Argand adında bir muhasebeciye verilecekti. Biraz haksız bir şekilde, karmaşık sayıların geometrik diyagramlarına bugün Wessel diyagramları değil, Argand diyagramları denmektedir.
Ne olduğunu tanımlasak da karmaşık sayılar çok uzun süre boyunca bir muamma olarak kaldı. Onları hayal edebiliyor, hatta çizebiliyor ama gerçekten ne anlama geldiklerini kavrayamıyorduk. Sorun, Carl Gauss adında bir matematikçi tarafından çözülecekti.
Gauss ve Karmaşık Sayılar
Yirmi iki yaşına geldiğinde, Gauss cebrin temel teoremi üzerine doktorasını verdi. Gauss, karmaşık sayılar için a + bi gösterimini doktora tezinde resmi olarak tanıttı. Bunun göze batan ilk sonucu; gerçek sayıların, karmaşık sayıların b’yi sıfır aldığımızda ortaya çıkan özel bir türü oluşuydu.
Gauss, karmaşık sayıların cebirsel olarak kapalı olduğunu düzgün bir şekilde ispatlayan ilk matematikçiler arasındaydı. Gauss karmaşık sayılar cisminde tanımlanmış n’inci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümü olduğunu ispatlamayı başarmıştı.
Bu, karmaşık sayılar kullandığımız takdirde bir polinomun köklerini her zaman bulabileceğimiz anlamına gelir. Bu yüzden günümüz fiziğinde denklem çözümleri için çoğu zaman karmaşık sayılara başvurulmaktadır.
Kuantum Mekaniği ve Karmaşık Sayılar
Karmaşık sayıların fizikçilerin işlerini kolaylaştırmaktan öte hayati bir önem sahip olduğu bir alan da kuantum mekaniğidir. Örneğin bir ışık ışınının sahip olduğu enerji, foton parçacıklarından meydana gelmektedir. Fakat aynı zamanda ışığın dalga gibi hareket ettiğini de biliyoruz. Peki ama ışık nasıl hem parçacık hem de dalga olabilir?
Bu açmazı, her parçacığın bir dalga fonksiyonuna sahip olduğunu söyleyen kuantum mekaniğiyle çözeriz. Karmaşık dalga fonksiyonu, parçacığın belli bir yerde olmasının ya da başka bir özelliğinin olasılığını verir. Karmaşık sayılar bu hesaplamalarda çok gereklidir.
Ölçülebilir büyüklüğe karşılık gelen gerçel kısmın ve ölçülemeyen, genişletilmiş gerçekliğe karşılık gelen sanal kısmın birlikteliği, evrenin küçük boyutlardaki davranışını çok daha zengin ve eksiksiz olarak anlamamızı sağlamaktadır. Daha fazlası için: Kuantum Fiziği Gerçekliği Tanımlamak İçin Sanal Sayılara İhtiyaç Duyuyor.
Karmaşık Sayılar ve Geometri
Gerçel sayıları kullanarak geometrik şekiller tanımlayabiliyoruz. Peki ya karmaşık sayıların geometrisi nasıl bir şey? Karmaşık geometrik şekiller tanımlamak için karmaşık sayıları kullanabilir miyiz?
Benoit Mandelbrot’un keşfettiği üzere, cevabımız kesin bir “evet”. Karmaşık sayılardan doğan garip şekillerin çizimine dair yaptığı çalışma, ilk bilgisayar grafik çalışmaları arasındadır.
Günümüzde Mandelbrot’un fraktalleri, Mandelbrot kümeleri olarak bilinir. Şekilleri, denklemdeki uzunlukları ikiden daha küçük değer alan karmaşık sayıların görüntüsüdür. Bu şekiller bilgisayarların oluşturduğu belki de en ünlü ve en çok bakılan görüntüler olmuşlardır.
Karmaşık Sayılarda İşlemler
Karmaşık sayılarda da normal sayılarda yaptığımız bir çok işlemi yapabilirsiniz Örneğin iki karmaşık sayıyı toplayabilirsiniz ya da çarpabilirsiniz. Fakat bu sayıları, toplama ve çarpma işlemlerini nasıl görselleştirebiliriz?
(x+iy) ve (u+iv) toplamı olan (x+u) + i(y+v) karmaşık sayısını ele alalım. Burada x ve y bileşenleri normal sayılardır, bu nedenle noktayı düzlemde (x,y) koordinatlarıyla ilişkilendirebiliriz; bu, yatay yönde x mesafesini ve dikeyde y mesafesini yürürseniz varacağınız yerdir.
Bu nedenle de toplamanın sonucu da yatay yönde x+u kadar ve dikey yönde y+v kadar yürüyerek varacağınız yere karşılık gelir. Bunun mantığını kavramak kolaydır.
Peki ya çarpma? Koordinatları (x,0) olan yatay eksende bulunan sayıları düşünün. Onları -1 ile çarpmak onları (0,0) noktasının diğer tarafına çevirecektir. Yani (1,0) noktasını -1 ile çarparsanız (-1,0) noktasını elde edersiniz. Bu nedenle -1 ile çarpmayı 180 derece döndürme olarak düşünebilirsiniz.
Şimdi -1’in karekökü olan i ile çarpmaya ne dersiniz? Aslında i ile iki kez çarpmak, -1 ile çarpmakla aynıdır. Dolayısıyla, ilki 180 derecelik bir dönüşe karşılık geliyorsa, ikincisi 90 derecelik bir dönüşe karşılık gelmelidir. Bunu aşağıdaki örnekte de görebilirsiniz.
Peki ya sadece i ile değil, daha zor bir karmaşık sayı ile çarpmaya ne dersiniz? Sıradan bir pozitif sayı ile çarpma yaptığımızda koordinat düzleminde aslında ne olduğunu anımsayalım. Örneğin 2 ile çarpma sonucunda (x,y) koordinatları (2x,2y) biçimini alacaktır.
Bu bir genişleme anlamına gelir. Benzer biçimde de 1/2 ile bir koordinatı çarparsanız, (0,0)’a daha yakın olan (x/2,y/2) sonucuna ulaşırsınız yani bir daralma olur. Aynı sonuç karmaşık sayılarda da geçerlidir.
Dolayısıyla karmaşık sayılar, denklemleri çözmenize yardımcı olmak için tasarlanmış hayal gücünün tuhaf figürleri değildir. Aslında kendi başlarına geometrik anlamları da vardır.
Karmaşık Sayıları Karşılaştırmak Neden Mümkün Değildir?
Bir reel sayı doğrusu üzerinde iki sayıyı seçtiğimiz zaman sağda olan sayının her zaman soldakinden büyük olacağını ya da tam tersini biliriz. Bu noktada sıfır sayısı kritik sayımızdır. Ancak aynı şey karmaşık sayılar için geçerli değildir. Bu nedenle 4-2i karmaşık sayısının, 3+27i’den daha büyük olduğunu söyleyemeyiz.
Bunun için öncelikle karmaşık sayıların modülünü yani mutlak değerini bulmalıyız. Bu bize karmaşık sayının başlangıç noktası yani orijinden uzaklığını verir. z = x + y i sayısının modülü | z | ile gösterilir. Kıyaslamak istediğimiz iki karmaşık sayının önce modüllerini karşılaştırmalıyız.
Küçük modüle sahip olan sayı küçük sayı olacaktır. Eğer iki sayının modülü birbirine eşitse o zaman da argümanları kıyaslanır. Bir karmaşık sayıyı orijinle birleştirdiğimizde ortaya çıkan doğru parçasının reel eksenle pozitif yönde yaptığı açıya o karmaşık sayının argümanı denir.
Aynı modül değerine ve aynı argümana sahip sayılar birbirine eşittir ve bu yöntem herhangi iki kompleks sayı çifti için her zaman çalışır. Bu biçimde bir kıyaslama ile 1 < 4 < -7i < 3; 1 < i < -1 < -i ; 3+3i < 5 < 3+4i < 5i < -5 gibi sıralamalar yapılabilir.
Karmaşıklık Bilimi
Günümüzde, analiz ve karmaşık denklem çözümlemeleri yerine, denklemleri sayısal olarak incelemek için artık bilgisayarları kullanabiliyoruz. Bu sayede, biyolojik sistemleri modelleyebiliyoruz. Nöronların beyinde birbiriyle nasıl etkileştiğini, evrimin genleri nasıl değiştirdiğini, hücrelerimizin birbirine nasıl uyum sağladığını öğreniyoruz. Modern karmaşıklık kuramlarına yol açan bu yeni matematik türüne karmaşıklık bilimi deniyor.
Bu karmaşıklığın neden ve nasıl ortaya çıktığını inceleyerek, diğer karmaşık yapıların nasıl kontrol edilebileceğini anlamaya başlıyoruz. Buna benzer, merak ettiğimiz pek çok karmaşık sistem var: salgın hastalıkların yayılması, ekonomideki dalgalanmalar, ekolojik değişim tahminleri ve daha pek çoğu.
Karmaşık sistemleri yöneten sayıları anladığımızda, müdahalelerimizin gelecekte ne tür etkiler yapacağını (ve geçmişte bu sistemlere yaptığımız müdahalelerin sonuçlarını) anlamış olacağız. Umarız bir sayfaya sığdırmaya çalıştığımız bu yazımız, “Neden karmaşık sayılar öğreniyoruz ki?” şeklindeki sorulara kısa bir cevap verebilecektir…
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Maths in a minute: Complex numbers; yayınlanma tarihi: 19 Şubat 2013; Bağlantı: https://plus.maths.org
- Sayılar Kitabı, The Secret of Numbers and How They Created Our World, Peter J. Bentley, NTV Yayınları
Matematiksel
