Çocukken sayılar dendiği zaman aklımıza sadece parmaklarımız ile sayabildiğimiz bir şey gelirdi. Büyüdükçe tamsayılar, reel sayılar adı verilen bir çok sayı kümesi ile tanıştık. Yine de tüm bu sayılar oldukça gerçek görünüyordu. Ancak karmaşık sayılar ile tanıştığımız zaman durum değişecekti.
x2=1 denklemini çözmek kolaydır. Cevabın x=1 veya x=-1 olduğunu kolayca anlayabilirsiniz. Peki ya x2=0? Bu denklem için de tek olasılık x=0’dır. Sıra x2=-1 denklemine geldiği zaman işler biraz garipleşir. Çünkü bu sorunun cevabının -1’in karekökü diğer deyişle x=√ -1 biçiminde olur. Bu da bizi sanal sayılar fikrine götürecektir.
Karmaşık Sayılar Hayatımıza Nasıl Girdi?
Negatif bir sayının karekökünü kullanan ilk kişi ise kübik denklemler üzerine çalışmalar yapan İtalyan Fontana olmuştur. Fontana’dan sonra karmaşık sayılar sık sık matematikte yer almaya başlar. Kartezyen koordinat sisteminin kaşifi Descartes, bu sayılara “sanal” adını taktı. Aradan on yıllar geçtikten sonra Euler, matematiğe i gösterimini kazandırdı.
Sanal sayılar işin içine karıştığı zaman karşımıza yeni bir sayı sistemi çıkar. Bu sistemin adı karmaşık sayı sistemidir. Artık yeni sistemimizde 1, 2 gibi sayıların yanı sıra 1+2i, -3+i gibi sayılar da vardır. Ne olduğunu tanımlasak da karmaşık sayılar çok uzun süre boyunca bir muamma olarak kaldı. Onları hayal edebiliyor, hatta çizebiliyor ama gerçekten ne anlama geldiklerini kavrayamıyorduk. Sorun, Carl Gauss adında bir matematikçi tarafından çözülecekti.
Yirmi iki yaşına geldiğinde, Gauss cebrin temel teoremi üzerine doktorasını verdi. Gauss, karmaşık sayılar için a + bi gösterimini doktora tezinde resmi olarak tanıttı. Bunun göze batan ilk sonucu; gerçek sayıların, karmaşık sayıların b’yi sıfır aldığımızda ortaya çıkan özel bir türü oluşuydu.
Gauss, karmaşık sayıların cebirsel olarak kapalı olduğunu düzgün bir şekilde ispatlayan ilk matematikçiler arasındaydı. Bu, karmaşık sayılar kullandığımız takdirde bir polinomun köklerini her zaman bulabileceğimiz anlamına gelir. Ancak karmaşık sayılar sadece matematiksel araçlar olarak kalsaydı, muhtemel çok fazla kişinin ilgisini çekmezdi. Neyse ki öyle olmadı.
Kuantum Mekaniği ve Karmaşık Sayılar
Karmaşık sayıların bilim insanları tarafından bile kolayca kabul görmemesinin nedeni günlük hayatımızda karşılıklarının olmadığı düşüncesinden ileri geliyordu. Ancak Michael Faraday 1830’larda alternatif akımı keşfedince karmaşık sayılar fiziksel bir gerçekliğe bürünecekti. Sonrasında da bilimsel ilerlemeler neticesinde, matematiğin ve fiziğin başka alanlarında da karşımıza çıkmaya başladı.
Günümüzde parçacık fiziği, elektrik mühendisliği gibi birçok bilimsel alan karmaşık sayılara güvenir hale geldi. Ölçülebilir büyüklüğe karşılık gelen gerçek kısmın ve ölçülemeyen gerçekliğe karşılık gelen sanal kısmın birlikteliği, evrenin küçük boyutlardaki davranışını eksiksiz olarak anlamamızı sağlamaktadır.
Sonuçta kuantum mekaniğinin temel denklemi olan Schrödinger dalga denklemi de yukarıda gördüğünüz gibi sanal sayı içeriyor. ( Daha fazlası için: Kuantum Fiziği İle İlgili Hesaplamalarda Neden Her Seferinde Karşımıza Sanal Sayılar Çıkıyor?)
Gerçel sayıları kullanarak geometrik şekiller tanımlayabiliyoruz. Peki ya karmaşık sayıların geometrisi nasıl bir şey? Karmaşık geometrik şekiller tanımlamak için karmaşık sayıları kullanabilir miyiz? Benoit Mandelbrot’un keşfettiği üzere, cevabımız kesin bir “evet”. Karmaşık sayılardan doğan garip şekillerin çizimine dair yaptığı çalışma, ilk bilgisayar grafik çalışmaları arasındadır.
Günümüzde Mandelbrot’un fraktalleri, Mandelbrot kümeleri olarak bilinir. Şekilleri, denklemdeki uzunlukları ikiden daha küçük değer alan karmaşık sayıların görüntüsüdür. Bu şekiller bilgisayarların oluşturduğu belki de en ünlü ve en çok bakılan görüntüler olmuşlardır. ( Detaylar burada: Fraktal Geometri Nedir? Kesirli Boyutlar Ne Anlama Gelir?)
Karmaşık Sayılarda İşlemler Nasıl Yapılır?
Karmaşık sayılarda da normal sayılarda yaptığımız bir çok işlemi yapabilirsiniz Örneğin iki karmaşık sayıyı toplayabilirsiniz ya da çarpabilirsiniz. Sonucunda (x+iy) ve (u+iv) karmaşık sayılarının toplamı (x+u) + i(y+v) karmaşık sayısı olacaktır. Bunun mantığını çizerek de anlamanız kolaydır. Peki ya çarpma?
Koordinatları (x,0) olan yatay eksende bulunan sayıları düşünün. Onları -1 ile çarpmak onları (0,0) noktasının diğer tarafına çevirecektir. Yani (1,0) noktasını -1 ile çarparsanız (-1,0) noktasını elde edersiniz. Bu nedenle -1 ile çarpmayı 180 derece döndürme olarak düşünebilirsiniz.
Şimdi i ile çarpmaya ne dersiniz? Aslında i ile iki kez çarpmak, -1 ile çarpmakla aynıdır. Dolayısıyla, ilki 180 derecelik bir dönüşe karşılık geliyorsa, ikincisi 90 derecelik bir dönüşe karşılık gelmelidir. Bunu aşağıdaki örnekte de görebilirsiniz.
Peki ya sadece i ile değil, daha zor bir karmaşık sayı ile çarpmaya ne dersiniz? Sıradan bir pozitif sayı ile çarpma yaptığımızda koordinat düzleminde aslında ne olduğunu anımsayalım. Örneğin 2 ile çarpma sonucunda (x,y) koordinatları (2x,2y) biçimini alacaktır. Bu bir genişleme anlamına gelir. Benzer biçimde de 1/2 ile bir koordinatı çarparsanız, (0,0)’a daha yakın olan (x/2,y/2) sonucuna ulaşırsınız yani bir daralma olur. Aynı sonuç karmaşık sayılarda da geçerlidir.
Dolayısıyla karmaşık sayılar, denklemleri çözmenize yardımcı olmak için tasarlanmış hayal gücünün tuhaf figürleri değildir. Aslında kendi başlarına geometrik anlamları da vardır. Şu ana kadar okumuş ve karmaşık sayılar için gerçekten de karmaşıkmış dediyseniz aslında yanılıyorsunuz. Karmaşık sayılardan daha karmaşık şeyler de matematikte vardır.
Karmaşık Sayıların Dönüşlerini 3 Boyutlu Olarak Nasıl Düşünebilirsiniz?
Bu soru, karısıyla yürüyüşe çıkan William Hamilton’ı rahatsız ediyordu. Hamilton hayatının son yirmi yılını, karmaşık sayıların iki boyuttaki dönüşlerine benzer bir şekilde üç boyutlu dönüşlerini temsil etmenin bir yolunu aramaya adamıştı.
Ancak 4 boyutlu bir sayının sorunu çözeceğinin aniden farkına varmasıyla bir aydınlanma anı yaşayacaktı. Sonucunda da Kuaterniyonlar olarak bilinen bu sayıların ilk kuralını Brougham köprüsünün üzerine kazıyacaktı. Yazdığı formül şu şekildeydi: i2 = j2 = k2 = ijk = –1. Buluşunu “kuaterniyonlar” ( dördey) olarak adlandırdı. ( Çünkü bu sayılar dört parçaya sahiptir.)
Bir kuaterniyon q ile gösterilmek üzere q=a + bi + cj + dk şeklinde yazılabilir. Burada a, b, c ve d gerçek sayılar ve i, j ve k ise sanal sayılardır. 2 boyutlu karmaşık sayılar durumunda gördüğümüz gibi, i ile çarpma sayıyı 2 boyutlu düzlemde döndürür; dördey durumunda, i, j, k’den herhangi biri veya bunların kombinasyonları ile çarpma, bir sayıyı 3 boyutta döndürür.
Her ne kadar kulağa soyut bir kavram gibi gelse de kuaterniyonlar, akıllı telefonunuzun ve tabletlerinizin dönüşünü programlamak için de kullanılır. ( Detaylar burada: Kuaterniyonlar (Dördey) Nedir? Neden Önemlidir?)
Umarız bir sayfaya sığdırmaya çalıştığımız bu yazımız, “Neden karmaşık sayılar öğreniyoruz ki?” şeklindeki sorulara kısa bir cevap verebilecektir.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Maths in a minute: Complex numbers; yayınlanma tarihi: 19 Şubat 2013; Bağlantı: https://plus.maths.org
- Sayılar Kitabı, The Secret of Numbers and How They Created Our World, Peter J. Bentley, NTV Yayınları
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
