MATEMATİK HER YERDE

Hayal Edilemeyen Sayılar: Karmaşık Sayılar

Geçmişi ve geleceğimizi oluşturan sayılar gerçeklik ile derinden bağlantılıdır. Örneğin kesir elde etmek istiyorsanız bir elmayı dörde bölebilirsiniz ya da pi sayısını görmek için bir daireyi inceleyebilirsiniz. Fakat gerçeklik ile ilişkisi daha karmaşık olan sayılar da vardır. Adına karmaşık sayılar diyoruz ya da sanal sayılar kısaca i.

Adına rağmen bu sayılar oldukça gerçek…

Karmaşık sayılar, matematikçilerin yüzyıllarca kafasını karıştırmış olan kareler ve kareköklerle ilgili bir bilmecenin cevabıdır. Karekök fonksiyonu, elimizdeki sayıya ulaşmak için hangi sayıyı kendisiyle çarpmamız (karesini almamız) gerektiği sorusunun cevabıdır. Başka bir deyişle, karekök bize alanını bildiğimiz bir karenin bir kenar uzunluğunun ne olması gerektiğini söyler.

Karekök basit bir fikir olsa da sorun şu soruda karşımıza çıkar: -1 ‘in karekökü hangi sayıdır? Cevap -1 olamaz, çünkü -1 x -1 = 1. Benzer şekilde 1 de olamaz, çünkü 1 x 1 = 1. Kenarları -1 metre olan bir kare çizip köşegenini de ölçemezsiniz. Hesap makineniz ise size hata mesajı verecektir.

Karmaşık Sayıların Kısa Tarihi

İlk olarak MS 50 yılında Yunan matematikçi Heron, piramidin bir bölümünün hacmini hesaplamaya çalışırken bu bilmeceyle karşılaşmıştır. Matematik yazılarında negatif bir sayının karekökünü kullanan ilk kişi ise İtalyan Fontana olmuştur.

Fontana pek çok önemli kitap yazdı. Öklid’in Elemanlar’ını İtalyancaya, Arşimet’in eserlerini Latinceye ilk çeviren o oldu. Fakat onun hayatını karartan şey kübik denklemler üzerine çalışmaları olacaktı.

Konuyu fazla uzatmamak adına kübik denklemler ile ilgili hikayeyi buraya eklemiyoruz. Ancak merak edip göz atmak isterseniz bu yazıyı inceleyebilirsiniz.

Üçüncü Dereceden Denklemlerin Sıradışı Hikayesi

Yazıyı okuduğunuzu kabul ederek anlatmaya devam edelim…

Fontana’dan sonra karmaşık sayılar sık sık matematikte yer almaya başladı. Ancak ciddi hoşnutsuzluk ve karışıklık konusuydular. Kartezyen koordinat sisteminin kaşifi Descartes, bu sayılara “sanal” adını taktı.

Aradan on yıllar geçtikten sonra de Moivre ve Newton, trigonometriyi karmaşık sayılarla birleştirdi. Daha sonraları Euler, matematiğe i gösterimini kazandırdı.

Fontana’nın doğumundan üç yüz yıl sonra, Norveçli yerölçümcü ve harita tasarımcısı Caspar Wessel, sanal sayıları geometrik olarak çizen ilk kişi oldu. Ne var ki Wessel’in çalışması yüz yıl boyunca fark edilmeden bekledi ve bu buluşun onuru Jean-Robert Argand adında bir muhasebeciye verildi.

Biraz haksız bir şekilde, karmaşık sayıların geometrik diyagramlarına bugün Wessel diyagramları değil, Argand diyagramları denmektedir.

karmasik
Argand diyagramı

Argand diyagramları, karmaşık sayıları gözümüzde canlandırmamızı sağlayan çok basit geometrik diyagramlardır. a + bi şeklindeki bir karmaşık sayı, “a” gerçel kısmı ve “b” sanal kısmı göstermek üzere (a, b) koordinatlarında bir nokta olarak düşünülebilir. Yatay x ekseni gerçel kısmı, dikey y ekseni ise sanal kısmı tanımlar.

Okuma önerisi: İki Dakikada Matematik: Sanal Sayılar

Karmaşık sayılar çok uzun süre boyunca bir muamma olarak kaldı. Onları hayal edebiliyor, hatta çizebiliyor ama gerçekten ne anlama geldiklerini
kavrayamıyorduk.

Pi’nin çemberlerle ilişkili olması gibi, i sayısı doğada daha önceden bilinmeyen, gizemli bir şeyle mi ilişkiliydi? Eğeri sanalsa, ona karşılık gelen gerçeklik neydi?

Carl Friedrich Gauss

Gauss ve Karmaşık Sayılar

Carl Gauss adında bir matematikçi karmaşık sayıların ne olduğunu kavramamızı sağladı. Yirmi iki yaşına geldiğinde, Gauss cebrin temel teoremi üzerine doktorasını verdi.

Gauss, karmaşık sayılar için a + bi gösterimini doktora tezinde resmi olarak tanıttı. Bunun göze batan ilk sonucu; gerçel sayıların, karmaşık sayıların b’yi sıfır aldığımızda ortaya çıkan özel bir türü oluşuydu. Gauss ayrıca karmaşık sayı terimini ilk kez kullanıyordu.

Cebrin temel teoremi bize, karmaşık sayılar cisminin cebirsel olarak kapalı olduğunu söylemektedir. Bunun anlamı şudur: Örneğin 3x2+1=0 biçiminde bir polinom denklemi verildiğinde x’in katsayılarla aynı cismin içinde bir çözümü vardır.

Kabaca söylemek gerekirse matematikte cisim elemanları arasında temel aritmetik işlemleri yapılabilen ve bulunan sonucun yine aynı kümenin içinde olduğu bir kümedir.

Verdiğimiz örnek denklemde, katsayılar olan 3 ve 1 reel sayılar cismindendir, fakat çözüm kök içinde -1 /3 olduğu için sanaldır. Çözüm, katsayılardan farklı bir sayı cismine aittir. Gerçel sayıların cebirsel olarak kapalı olmadığını böylece göstermiş oluruz.

Gauss, karmaşık sayıların cebirsel olarak kapalı olduğunu düzgün bir şekilde ispatlayan ilk matematikçiler arasındaydı. Gauss karmaşık sayılar cisminde tanımlanmış n’inci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümü olduğunu ispatlamayı başarmıştı.

Bu, karmaşık sayılar kullandığımız takdirde bir polinomun köklerini her zaman bulabileceğimiz anlamına gelir. Bu yüzden günümüz fiziğinde denklem çözümleri için çoğu zaman karmaşık sayılara başvurulmaktadır.

Kuantum Mekaniği ve Karmaşık Sayılar

Karmaşık sayıların fizikçilerin işlerini kolaylaştırmaktan öte hayati bir önem sahip olduğu bir alan da kuantum mekaniğidir.

Kuantum mekaniği bize enerjinin her zaman belli bazı büyüklüklerde olabileceğini söyler. Paketlere bölünmüş gibidir enerji. Her bir paket bir parçacık gibi davranır.

Örneğin bir ışık ışınının sahip olduğu enerji, foton parçacıklarından meydana gelmektedir. Fakat aynı zamanda ışığın dalga gibi hareket ettiğini de biliyoruz. Peki ama ışık nasıl hem parçacık hem de dalga olabilir?

Bu açmazı, her parçacığın bir dalga fonksiyonuna sahip olduğunu söyleyen kuantum mekaniğiyle çözeriz. Karmaşık dalga fonksiyonu, parçacığın belli bir yerde olmasının ya da başka bir özelliğinin olasılığını verir. Karmaşık sayılar bu hesaplamalarda çok gereklidir.

Ölçülebilir büyüklüğe karşılık gelen gerçel kısmın ve ölçülemeyen, genişletilmiş gerçekliğe karşılık gelen sanal kısmın birlikteliği, evrenin küçük boyutlardaki davranışını çok daha zengin ve eksiksiz olarak anlamamızı sağlamaktadır.

Karmaşık Sayılar ve Geometri

Karmaşık sayıları farklı şekillerde nasıl yazabileceğimizi, karmaşık sayılara karşılık gelen noktaları ve vektörleri nasıl çizeceğimizi biliyoruz. Peki, ya geometri?

Gerçel sayıları kullanarak geometrik şekiller tanımlayabiliyoruz. Peki ya karmaşık sayıların geometrisi nasıl bir şey? Karmaşık geometrik şekiller tanımlamak için karmaşık sayıları kullanabilir miyiz?

Benoit Mandelbrot’un keşfettiği üzere, cevabımız kesin bir “evet”.

Karmaşık sayılardan doğan garip şekillerin çizimine dair yaptığı çalışma, ilk bilgisayar grafik çalışmaları arasındadır.

Mandelbrot, şekilleri sürekli bölme yoluyla elde ettiğinden dolayı fraksiyonel [kesirli] sözcüğünü çağrıştırması için bunlara “fraktal” adını verdi. Çok geçmeden fraktal şekillere doğanın her yerinde rastlandığını anlaşıldı.

Günümüzde Mandelbrot’un fraktalleri, Mandelbrot kümeleri olarak bilinir. Şekilleri, denklemdeki uzunlukları ikiden daha küçük değer alan karmaşık sayıların görüntüsüdür. Bu şekiller bilgisayarların oluşturduğu belki de en ünlü ve en çok bakılan görüntüler olmuşlardır.

Karmaşık Sistemler

Günümüzde, analiz ve karmaşık denklem çözümlemeleri yerine, denklemleri sayısal olarak incelemek için artık bilgisayarları kullanabiliyoruz. Bu saye de, biyolojik sistemleri modelleyebiliyoruz: Nöronların beyinde birbiriyle nasıl etkileştiğini, evrimin genleri nasıl değiştirdiğini, hücrelerimizin birbirine nasıl uyum sağladığını öğreniyoruz.

Modern karmaşıklık kuramlarına yol açan bu yeni matematik türüne karmaşıklık bilimi deniyor. Yeni yeni anlıyoruz ki bazı sistemler (özellikle insanlar gibi biyolojik sistemler) geleneksel matematikle, hatta kaos kuramıyla öngörülebilir şekillerde davranmıyorlar.

Bu karmaşıklığın neden ve nasıl ortaya çıktığını inceleyerek, diğer karmaşık yapıların nasıl kontrol edilebileceğini anlamaya başlıyoruz. Buna benzer, merak ettiğimiz pek çok karmaşık sistem var: salgın hastalıkların yayılması, ekonomideki dalgalanmalar, ekolojik değişim tahminleri ve daha pek çoğu…

Karmaşık sistemleri yöneten sayıları anladığımızda, müdahalelerimizin gelecekte ne tür etkiler yapacağını (ve geçmişte bu sistemlere yaptığımız müdahalelerin sonuçlarını) anlamış olacağız.

Umarız bir sayfaya sığdırmaya çalıştığımız bu yazımız, “Neden karmaşık sayılar öğreniyoruz ki?” şeklindeki sorulara kısa bir cevap verebilecektir…

Referans kitap: Sayılar Kitabı, The Secret of Numbers and How They Creared Our World, Peter J. Bentley, NTV Yayınları

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu
Kapalı