Bir banyonun zeminini yaratıcı biçimde döşemek yalnızca evini yenilemeye çalışan insanlar için zor bir iş değildir. Aynı zamanda matematiğin en karmaşık problemlerinden biridir. Matematikçiler yüzyıllardır, boşluk bırakmadan düzlemi kaplayabilen karo şekillerinin özelliklerini inceliyor. Özellikle de tüm düzlemi kaplayabilen fakat hiçbir zaman düzenli biçimde tekrar etmeyen desenlerle ilgileniyorlar.
İnsanlar en az altı bin yıldır düzenli ve bazen de düzensiz desenleri kumaşları, duvarları, zeminleri ve tavanları süslemek için kullanıyor. Beş bin yıldan daha uzun bir süre önce, antik Uruk kentindeki Sümerler küçük kil karoları bir araya getirerek zarif matematiksel desenler oluşturuyordu. Romalılar ise binlerce küçük renkli parçadan oluşan mozaikleriyle ünlüdür. Camiler de dikkat çekici geometrik motiflerle bezelidir.
Matematikte bu tür döşeme desenlerine “teselasyon” denir. Bu kelime, Roma mozaiklerinde kullanılan küçük taş parçalarını ifade eden Latince tessera sözcüğünden gelir.
Düzlemi düzenli biçimde kaplama fikri çok eski zamanlardan beri matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Aslında yalnızca üç düzgün çokgen, düzlemi boşluk bırakmadan kaplar: eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen. Burada şekillerin kenar kenara yerleştiğini ve köşelerde tam olarak birleştiğini düşünüyoruz.
Bunun nedeni iç açılarla ilgilidir. Eşkenar üçgenin iç açısı 60°, karenin 90° ve düzgün altıgenin 120°dir. Bu açıların her biri 360°yi tam olarak böler. Böylece aynı köşe etrafında altı üçgen, dört kare veya üç altıgen bir araya geldiğinde boşluk oluşmaz. Bu düzen tekrarlandığında tüm düzlem kaplanacaktır.
Diğer düzgün çokgenlerde ise bu mümkün değildir. Örneğin düzgün beşgenin iç açısı 108°dir. Üç beşgen bir araya geldiğinde açı toplamı 360°yi doldurmaz, dört beşgen ise bu sınırı aşar. Bu nedenle ya boşluk kalır ya da şekiller üst üste gelir. Yedi veya daha fazla kenarlı düzgün çokgenlerde de benzer bir durum ortaya çıkar.
Periyodik Ya da Aperiyodik Döşemeler Nedir?
Matematiksel yaratıcılığın önemli kaynaklarından biri, mevcut kuralların dışına çıkmaktır. Elbette bunun için kuralları biraz değiştirmek gerekir; çünkü doğru bir teoremi çürütmek mümkün değildir. Bu yüzden matematikçiler genellikle oyunun kurallarını yeniden tanımlar.
Örneğin, döşemede yalnızca tek bir düzgün çokgen yerine birden fazla düzgün çokgen kullanılmasına izin verilirse, yarı düzenli döşemeler ortaya çıkar. Bu durumda kurallar hâlâ oldukça katıdır.
Şekillerin kenarları aynı uzunlukta olmalı, birbirine tam kenarlarından bağlanmalı ve her köşedeki dizilim aynı biçimde tekrar etmelidir. Matematikçiler aynı yöntemi kullanarak, üç düzenli döşemeye ek olarak sekiz farklı yarı düzenli döşeme daha bulunduğunu gösterdi.
Kurallar biraz daha gevşetildiğinde ise çok daha zengin desenler elde etmek mümkün olur. Özellikle İslam mimarisindeki geometrik süslemeler, bunun en etkileyici örnekleri arasında yer alır. Bu desenlerin bazıları, yalnızca tamamen düzgün çokgenler kullanılarak oluşturulamaz.
Şimdiye kadar söz edilen döşemelerin hepsi periyodiktir. Yani aynı desen belirli bir düzen içinde tekrar eder. Matematikçiler bu tür düzenli yapılara “örgü” ya da “kafes yapı” anlamına gelen lattice adını verir.
Matematikçiler uzun süre boyunca bu düzenli döşemeleri inceledi. Ancak zamanla daha ilginç bir soruyla karşılaştılar: Bir desen hiç tekrar etmeden düzlemi kaplayabilir miydi?
Bu soru özellikle düzgün beşgenler üzerinde yapılan çalışmalarla önem kazandı. Düzgün beşgenler düzlemi tek başına kaplayamaz. Buna rağmen matematikçiler, düzgün olmayan beşgenlerle oluşturulan çok sayıda farklı döşeme keşfetti. Bu çalışmalar matematikçileri periyodik olmayan, yani “aperiyodik” döşemelere yöneltti. Aperiyodik döşemelerde desen belirli aralıklarla tekrar etmez.
Ancak hikâye burada bitmiyordu. Matematikçilerin çözmesi gereken ikinci problem daha zordu. Bir döşemenin aperiyodik olduğunu göstermek yetmezdi. Aynı şekillerle hiçbir periyodik döşeme oluşturulamayacağını da kanıtlamak gerekiyordu.
Penrose Karoları Nedir?
Desenin periyodik olmadığını kanıtlamak çok zordu. Örneğin bir bilgisayar milyarlarca karodan oluşan dev bir desen üretse ve hiçbir tekrar bulamasa bile, bu durum daha büyük bir ölçekte tekrar olmayacağını kanıtlamazdı.
Daha sonra matematikçiler probleme doğrudan saldırmak yerine dolaylı yöntemler geliştirmeye başladı. 1961 yılında Hao Wang, bilgisayarların matematiksel problemleri çözme biçimiyle döşeme desenleri arasında ilginç bir bağlantı kurdu.
Wang’ın geliştirdiği özel karolar yalnızca belirli kurallara göre birleşebiliyordu. Wang, eğer bir karo kümesi düzlemi kaplayabiliyorsa bunu mutlaka düzenli ve tekrar eden bir biçimde yapacağını düşündü.
Ancak 1966 yılında öğrencisi Robert Berger, bunun her zaman doğru olmadığını gösterdi. Bazı karo kümeleri düzlemi tamamen kaplayabiliyor, fakat desen hiçbir zaman düzenli biçimde tekrar etmiyordu.
Sonraki yıllarda araştırmacılar daha az sayıda karo kullanarak aynı sonucu elde etmeye çalıştı. En büyük soru ise şuydu: Acaba tek bir şekil kullanarak yalnızca aperiyodik döşeme oluşturmak mümkün müydü?
1970’lerin başında Roger Penrose, özel desenler üzerine çalışmaya başladı. Tasarladığı desenler sürekli genişleyebiliyor, ancak hiçbir noktada düzenli biçimde tekrar etmiyordu. Üstelik bu karmaşık yapı, yalnızca basit yerel kurallarla ortaya çıkıyordu.
Penrose önce dört farklı şekilden oluşan bir döşeme sistemi geliştirdi. Daha sonra bunu iki şekle indirdi: “uçurtma” ve “ok”. Bu şekiller belirli kurallarla birleşiyor ve tekrar etmeyen karmaşık desenler oluşturuyordu.
Bir süre sonra kimyager Daniel Shechtman, metallerin atom yapısını incelerken şaşırtıcı bir sonuç elde etti. Bazı kristallerde beş katlı simetri bulunduğunu fark etti. Oysa bilim insanları uzun zamandır kristallerde yalnızca iki, üç, dört veya altı katlı simetrilerin mümkün olduğunu düşünüyordu.
Başlangıçta birçok araştırmacı Shechtman’ın sonuçlarına inanmadı. Ancak zamanla bilim insanları, düzenli tekrar etmeyen yapıların da kristallerde ortaya çıkabileceğini fark etti. Penrose’un aperiyodik döşemeleri ile bu kristaller arasında güçlü bir benzerlik vardı.
1984 yılında Dov Levine ve Paul Steinhardt, bu tür yapılara “yarı kristal” anlamına gelen quasicrystal adını verdi. Bu keşif sayesinde döşeme teorisi yalnızca soyut bir matematik konusu olmaktan çıktı.
‘Einstein’ Şekli, Asla Tekrarlanmayan Bir Desen Oluşturuyor
Uzun yıllar boyunca matematikçiler, aperiyodik döşeme oluşturmak için en az iki farklı şeklin gerekli olduğunu düşündü. Bu nedenle tek başına yalnızca aperiyodik döşeme oluşturabilen bir şekil bulmak büyük bir hedef haline geldi. Bu varsayımsal şekle Almancada “tek taş” anlamına gelen sözcüklerden türetilen “einstein taşı” adı verildi.
2022 yılında İngiltere’de yaşayan David Smith adlı amatör bir araştırmacı dikkat çekici bir şekil keşfetti. “Şapka” adı verilen bu 13 kenarlı karo, düzlemi boşluk bırakmadan kaplayabiliyor ancak düzenli biçimde tekrar etmiyordu.
Smith daha sonra matematikçi Craig Kaplan ve diğer araştırmacılarla birlikte çalıştı. Yapılan matematiksel analizler sonunda şapkanın gerçekten de uzun süredir aranan aperiyodik monotil olduğu kanıtlandı. Üstelik araştırmacılar yalnızca tek bir örnek değil, sonsuz sayıda benzer şeklin bulunabileceğini de gösterdi.
Sonuç Olarak
Döşeme teorisi, ilk bakışta yalnızca geometrik desenlerle ilgili küçük bir matematik alanı gibi görünebilir. Oysa bu alan, matematiksel mantıktan kristalografiye kadar birçok farklı disiplinle bağlantı kurar. Üstelik yalnızca soyut fikirler üretmekle kalmaz; doğadaki düzenleri anlamamıza da yardımcı olur.
Yüzyıllar boyunca matematikçiler, düzlemi tekrar etmeyen desenlerle kaplamanın mümkün olup olmadığını araştırdı. Penrose döşemelerinden yarı kristallere, oradan da “şapka” karosuna uzanan çalışmalar, matematiğin beklenmedik bağlantılar kurabilen canlı bir bilim olduğunu gösterdi.
Belki de en dikkat çekici nokta şudur: Bu alandaki önemli keşiflerin bazıları profesyonel matematikçilerden değil, merakını kaybetmeyen amatör araştırmacılardan geldi. David Smith, Robert Ammann ve Marjorie Rice gibi isimler, matematikte yaratıcılığın yalnızca akademik unvanlarla sınırlı olmadığını kanıtladı.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Newfound Mathematical ‘Einstein’ Shape Creates a Never-Repeating Pattern. Yayınlanma tarihi: 10 Nisan 2023. Kaynak site: Scientific American. Bağlantı: Newfound Mathematical ‘Einstein’ Shape Creates a Never-Repeating Pattern
- At Long Last, Mathematicians Have Found a Shape With a Pattern That Never Repeats. yayınlanma tarihi: 29 Mart 2023; bağlantı: https://www.smithsonianmag.com/
Matematiksel
