Sanat ve Edebiyat

İki İmkansız Şekil Tanıyalım: Penrose Üçgeni Ve Penrose Merdiveni

Gözleriniz bir resim gördüğünde, beyninize bir görüntü gönderir ve beyninizin onu anlamlandırması gerekir. Ama bazen beyniniz yanlış anlar. Sonuç, optik bir yanılsamadır. Optik illüzyonlar, beynimize oyun oynayan ve algımızı şaşırtan resimlerdir. Bunlar, hatalı görmenin sonucu değildir. Işığa, görüş açısına veya resmin çizilme şekline bağlı olarak, orada olmayan şeyleri görebiliriz. Aslında benzer sebeplerle çoğu zaman da burnumuzun dibinde olanı göremeyebiliriz.

Optik illüzyonlar, tarihin başlangıcından itibaren, insan deneyiminin bir parçası olmuştur. Antik Yunanlılar, yarattıkları tapınaklarının görünümünü mükemmelleştirmek için optik illüzyonlardan yararlandılar. Daha yakın zamanda ise, grafik sanatlarının gelişmesi ile çok daha fazla illüzyon karşımıza çıkmaya başladı. Bunlar arasında, yanılsamalar dünyasında benzersiz ve oldukça yeni bir tür oluşturan “imkansız şekiller” vardır.

İmkansız Şekiller Nedir?

Bir Penrose üçgeni görüyorsunuz. Bu şekle bakarak bir üçgenin sağ tarafının sizden uzağa, sol tarafının size doğru uzandığı perspektifini elde edebilirsiniz. Yine de aynı dikdörtgen çubuğa bağlıdırlar ve aynı düzlemde görünürler.

İmkansız şekiller gerçek hayatta var olamayacak ancak iki boyutlu düzlemde ifade edilebilen, fizik kurallarına aykırı geometrik şekillerdir. Örneğin yukarıda görmüş olduğunuz bu üçgenin gerçek hayatta var olması imkansızdır. Eğer var olursa Öklid geometrisinin kurallarını çiğnemek zorundadır. Bu geometrik şeklin imkânsızlığı, her bir kenarı oluşturan dikdörtgenler prizmasının, ikili ikili olacak şekilde birbiriyle 90 derecelik açılarda kesişiyor olmasıdır.

Penrose üçgeni veya imkansız üçgen olarak isimlendirilen yukarıda görmüş olduğunuz bu üçgen, ilk olarak 1934’te İsveçli sanatçı Oscar Reutersvärd tarafından tasarlandı. Kendisi bu resmi henüz 18 yaşındayken Latince dersinde rastgele karalamalar yaparken yarattı.

Oscar Reutersvärd, 1934’te başlangıçta uygulanabilir görünen, ancak fiziksel olarak inşa edilemeyen 3D çizim sanatına öncülük eden İsveçli bir grafik sanatçısıydı. Çok daha eski örnekler olmasına rağmen, kendisi genellikle “imkansız figürlerin babası” olarak tanımlanır,

Üçgen, 1950’lerde, bir psikiyatrist olan Lionel Penrose ve onun oğlu Nobel ödüllü matematikçi Sir Roger Penrose tarafından bağımsız olarak yeniden keşfedilince daha yaygın bir ilgi gördü. İkili 1958 yılında konu ile ilgili bir de kitap kaleme aldılar. Penrose bu üçgeni ilk başlarda üç çubuk olarak isimlendirmişti. Ancak daha sonraları onun adıyla Penrose üçgeni olarak anıldı. Ancak elbette, bu imkansız şekillerin yaygınlaşması Hollandalı grafik sanatçısı M. C. Escher’in eserlerinde bu nesnelere de yer vermesi sayesinde oldu. Aslında Penrose’da bu üçgeni 1954 yılında Escher tarafından verilen bir konferansa katıldıktan sonra ortaya çıkarmıştı.

Gerçek Hayatta Penrose Üçgeni Nasıl Görülmektedir?

Penrose üçgeninin fiziksel bir modeli. Yapı sadece bir açıdan üçgen olarak görünür. Resim: Bjørn Christian Torrissen.

Daha sonraları Escher, Penrose üçgenini, Şelale adı verilen ünlü imkansız çizimini yaratmak için ilham kaynağı olarak kullanacaktı. Aşağıda gördüğünüz şekilde, iki Penrose üçgeni kullanılmıştır. Dikkatli bakılırsa suyun döngüsünün imkansız olduğu fark edilecektir. İki kulenin tepesinde bulunan çokyüzlüler de Escher’in matematiğe olan ilgisini göstermektedir.

Waterfall – 1961; Bu çizimde Escher, görsel olarak ikna edici bir sürekli hareket makinesi yarattı. 

Bir Başka İmkansız Şekil: Penrose Merdiveni

Bir kişinin bu merdivenleri çıktığı hayal edildiğinde sonuçta herhangi bir yükselme ya da alçalma olmadığı hep başladığı yere döndüğü sonsuza kadar devam eden bir döngü ortaya çıkmaktadır.

Yukarıda ilginç bir merdiven görmektesiniz. Bu merdiven Penrose merdiveni olarak bilinmektedir ve gerçek hayatta var olması mümkün olmayan bir merdivendir. Penrose merdiveni hiç yükselmeden veya alçalmadan yukarıya veya aşağıya iner. Bu merdiven Penrose üçgeninin merdiven şeklindeki varyasyonu olarak kabul edilmektedir. Bu merdivene de farklı bir açıdan baktığınız zaman yanılsama ortadan kalkacaktır. Bu merdiveni Escher aşağıda gördüğünüz biçimde kullanmıştı.

Ascending and Descending – 1960; Bu çizimdeki merdivende, bir yöne giderken merdivenden çıkarsınız ve diğer yöne giderken de inersiniz.

Bu noktada hatırlatmakta fayda var. Gördüğünüz gibi Escher ve Penrose birbirleri ile karşılıklı etkileşim içinde idi. Ancak her ikisi de bu imkansız şekiller ilk olarak 1937’de Oscar Reutersvärd tarafından yaratıldığından bilindiği kadarı ile haberdar değildi.

Oscar Reutersvärd tarafından çizilen imkansız merdivenler

Penrose merdivenleri bir çok filmde de yer almıştır. Bunlardan bir tanesi de 2010 yılında çekilen Başlangıç – Inception filmidir. Ayrıca, 1998’deki Yenilmezler filminde de, bir kişinin Penrose merdiveninden aşağı indiği görülmektedir.

İnsanların yaratıcılığının bir sınır yoktur. Bu şekillerin gerçek dünyada var olmaları imkansız olsa da bize aslında bunu anımsatmaktadır.


Kaynaklar ve ileri okumalar

Dip Not

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konularda ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu