Sorular ve Bulmacalar

Kesirleri Sadeleştirmek İçin Yanlış Ancak Bazen işe Yarayan Bir Yöntem

Verilen bir kesri sadeleştirmek ile ilgili ne bilmeyebiliriz ki demeyin. Aslında genellikle ilköğretim düzeyindeki öğrencilerin yaptığı ve bizim de her seferinde yanlışını düzelterek uyardığımız bir hata vardır. Bu hata iki ya da daha fazla basamaklı kesirlerin sadeleştirilmesi sırasında ortaya çıkar. Ancak bu hata bir çok durumda doğru cevabı da verebilir. Nasıl mı?

Örneğin 16/64 kesrini ele alalım. Şimdi matematik ile pek de ilgisi olmayan bir öğrencinin yapabileceği gibi 6 sayılarını sadeleştirelim. Sonucunda cevap 1/4 olacaktır. Yaptığımız işlemin yanlış olduğunu biliyoruz. Ancak farkındaysanız sonuç doğru. Bu durumda öğrencimize bir itiraz hakkı doğmuş oldu. Bunu tamamen şans olarak düşünebilirsiniz. Ancak aynı şey 26/65 kesrindeki 6’ları ya da 19/95 kesrindeki 9’ları ve yine 49/ 98 kesrindeki 9’ları sadeleştirdiğimizde de olacaktır.

Sonuçlar bir biçimde normal sadeleştirme işlemiyle aynı çıkar. Öğrenciler bunu elbette bir hata olarak yapmıştır ama bazen buldukları sonuçlar şans eseri değil matematiksel bir gerçeklik sonucundadır. Diğer bir deyişle yöntem hatalı da olsa sonucun doğru çıkacağı benzer durumlar da vardır.

Ancak hatırlatalım. Hiç bir biçimde genelleme yapmamalıyız. Eğer bazı örneklere bakarak bunun genel olarak doğru olduğu düşüncesine kapılırsak o zaman ortaya önemli bir soru çıkacaktır. Şimdi gelin yukarıda aktardığımız hatalı yöntemler kesirleri sadeleştirdiğimiz zaman sonucun neden bazen doğru çıktığını anlamaya çalışalım.

Kesirleri Yanlış Gidiş Yoluyla Doğru Biçimde Nasıl Sadeleştirdik?

Aslında iki basamaklı sayılarda bu durumun geçerli olduğu sadece 4 sayı vardır. Bu sayılar yukarıda da aktardığımız gibi 1/4, 26/65, 19/95 ve 49/98 biçimindedir. Şimdi gelin bu durumu genelleyelim. Yukarıda verdiğimiz 4 kesir bu garip sadeleştirme durumunu gerçekleştirmişti. Bu kesirler için elimizde xa ve ay iki basamaklı sayılarımız var ise bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli idi.

İçler dışlar çarpımı ve düzenleme ile yukarıdaki ifadeyi aşağıdaki biçimde de yazabiliriz.

Bu noktada bu denklemi inceleyeceğiz. Bu kesrin pay ve paydasının rakamlardan oluştuğunu biliyoruz. Bu durumda x, y ve a’nın tamsayı olması gerekiyor. Şimdi a/x değerlerini inceleyelim. hangi sayıların bu şartı sağladığını ve aynı şartı sağlayan başka sayıların olup olmadığını aşağıdaki tablodan görmeye çalışalım.

Yukarıdaki tabloda da görebileceğiniz gibi tüm x ve a sayıları yerlerine yerleştirildiğinde y’nin tamsayı olmasını sağlayan sadece 4 değer var. Bunlarda bizim en başta örnek olarak verdiğimiz sayılara denk geliyorlar. Ancak bu nokta da aklınıza şu soru gelmelidir. İki basamaklı sayılar yerine daha fazla basamakla uğraşırsak acaba benzer kazara doğru sonuçlar bulabilir miyiz? Cevabımız bir kere daha evet. Hatalı da olsa doğru cevap veren bu sayıları aşağıda görebilirsiniz.

Ayrıca aşağıdaki kesirlerin de hepsi birbirine denktir ve başlangıçtaki kesir bizim iki basamaklı sadeleşen sayımız olduğu için bu sayılarda, tekrar eden rakamları silmeniz sonucunda sadeleşebilmekte ve yine doğru cevabı vermektedir.

Kesirleri Bu Biçimde Sadeleştirmeyi Lütfen Sadece Eğlence Amaçlı Kullanınız

Bir kere daha hatırlatalım. Aktardığımız bilgiler bir kural teşkil etmez. Sadece matematiğin ve sayıların eğlenceli yüzünü bizlere gösterir. Bu nedenle sınıflarda eğlenceli bir aktivite olarak kullanılmalı ve bunun bir hata olduğu vurgulanmalıdır. Bu tuhaf kesirlerden bir kaç örnek daha verelim sizlere. Hepsini sadeleştirmek için kullanılan gidiş yolu yanlış ancak yine de sonuçları doğrudur!

Hatalı biçimde kesirleri sadeleştirme ve bulduğumuz doğru cevaplar

Matematik hataların içinde de keşfedilmeyi bekleyen hazineler mevcuttur. Bu hazineleri keşfetmek de eğlencelidir.



Kaynaklar ve ileri okumalar:

  • Magnificent mistakes in mathematics / by Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann,2013; Prometheus Books
  • The Wrong Way To Reduce Fractions. But It Works Sometimes; Yayınlanma tarihi: 8 Aralık 2014; Bağlantı: https://www.youtube.com/watch?v=fQl040dANZw

Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu