İlginç Sorular ve Bulmacalar

Kesirleri Sadeleştirmek İçin Garip Bir Metot

Verilen bir kesri sadeleştirmek ile ilgili ne bilmeyebiliriz ki demeyin. Aslında genellikle ilköğretim düzeyindeki öğrencilerin yaptığı ve bizim de her seferinde yanlışını düzelterek uyardığımız bir hata vardır. Bu hata iki basamaklı kesirlerin sadeleştirilmesi sırasında ortaya çıkar. Ancak bu hataya kimi zamanlarda daha dikkatli baktığınızda aslında doğru cevabın bulunmuş olduğunu görebilir ve bunu tamamen şans olarak nitelendirebilirsiniz. Öğrenciler bunu elbette bir hata olarak yapmıştır ama bazen buldukları sonuçlar şans eseri değil matematiksel bir gerçeklik sonucundadır.

Örneğin 16/64 kesrini ele alalım ve 6 sayılarını sadeleştirelim cevap 1/4 olacaktır ve bu doğrudur. Aynı şey 26/65 kesrindeki 6’ları ya da 19/95 kesrindeki 9’ları ve yine 49/ 98 kesrindeki 9’ları sadeleştirdiğimizde sonuçlar normal sadeleştirme işlemiyle aynı çıkar. Bazen hatalı bir yöntem (sadece tesadüfen) bu gibi durumlarda olduğu gibi bizi doğru sonuca götürebilir. Elbette tehlike, bu yöntemi genelleştirmememiz durumunda ortaya çıkar. Şimdi yukarıdaki gibi kesirlerde bunun neden işe yaradığına dair aritmetik bir açıklamaya bakalım.

Kesirleri Yanlış Gidiş Yoluyla Doğru Biçimde Nasıl Sadeleştirdik?

Ne yazık ki iki basamaklı sayılarda bu durumun geçerli olduğu sadece 4 sayı vardır ve onlarda yukarıdaki örneklerimiz arasında verilmiştir. Öncelikle bu durumu genelleyelim. Yukarıda verdiğimiz 4 kesir bu garip durumu gerçekleştirmişti. Bu kesirler için elimizde xa ve ay iki basamaklı sayılarımız var ise bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerli idi.

İçler dışlar çarpımı ve düzenleme ile yukarıdaki ifadeyi aşağıdaki biçimde de yazabiliriz.

Bu noktada bu denklemi inceleyeceğiz. Bir kesirin payında ve paydasında rakamlar oldukları için x, y ve a’nın tamsayı olması gerektiğini biliyoruz. Şimdi a/x değerlerini inceleyelim ve aynı şartı sağlayan başka sayılar olup olmadığını görmeye çalışalım.

Yukarıdaki tabloda da görebileceğiniz gibi tüm x ve a sayıları yerlerine yerleştirildiğinde y’nin tamsayı olmasını sağlayan sadece 4 değer var. Bunlarda bizim en başta örnek olarak verdiğimiz sayılara denk geliyorlar. Ancak bu nokta da aklınıza şu soru gelebilir. Daha fazla basamakla uğraşırsak acaba benzer kazara doğru sonuçlar bulabilir miyiz? Cevabımız evet.

Ayrıca aşağıdaki kesirlerin de hepsi birbirine denktir ve başlangıçtaki kesir bizim iki basamaklı sadeleşen sayımız olduğu için bu sayılarda kolayca tekrara eden rakamları silmeniz sayesinde sadeleşebilmektedir.

Bu bilgiler elbette genel bir kural olarak kabul edilemez ancak eğlenceli bir aktivite olarak kabul edilebilir. Bu tuhaf kesirlerden bir kaç örnek daha verelim sizlere. Hepsini sadeleştirmek için kullanılan gidiş yolu yanlış ancak yine de sonuçları doğru! Biraz daha örnek vererek yazıyı bitirelim.

Matematik hataların içinde de keşfedilmeyi bekleyen hazineler saklıyor gibi gözüküyor. Ayrıca aşağıdaki yazılarımıza da göz atabilirsiniz.

Kaynak: Magnificent mistakes in mathematics / by Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann,2013; Prometheus Books

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.