Mükemmel Sayı Nedir? Bir Sayı Ne Zaman Mükemmel Olur?

Çoğu matematik öğretmeni, öğrencilere sürekli olarak matematiğin mükemmel olduğunu söyler. O zaman, şimdi matematik camiası tarafından tanımlanan şekliyle sayılarda mükemmelliği tanıyalım. Konumuz mükemmel sayılar.

Kalkülüsün icadından yüzyıllar önce, matematikçiler tam sayıların özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri araştırmaya başladılar. Bu nedenle, günümüzde sayı teorisi olarak bilinen bir matematik dalı yani sayıların incelenmesi, en eski matematik disiplinlerinden biri olarak kabul edilmektedir. Bu alanda, birçoğu yüzyıllar sonra çözülmüş ve hatta çözülememiş büyüleyici sorulara rastlanır. Bu sorulardan bir tanesi de mükemmel sayıları içerir. Gerçekten de, mükemmel sayılar hem matematikçileri hem de matematikçi olmayanları tarih boyunca büyülemiştir. Bunun nedeni anlaşılır tanımlarının, karmaşıklıkları ve gizemleriyle çelişmesidir.

Mükemmel Sayı Nedir?

Bazı sayıların az, bazılarının çok sayıda çarpanı var­dır. Ancak bazı sayıların çarpan sayısı ise “tam olması gerektiği gibidir”. İşte bu durumda o sayıyı mükemmelleştirir. Yani, eğer bir sayı öz çarpanlarının toplamına eşitse, matematikçiler bu sayıyı “mükemmel sayı” olarak adlandırır.

Öz çarpan tanımını daha önce duymamış olabilirsiniz. Açıklayalım. Bir sayının çarpanı, o sayının aynı zamanda bir bölenidir. Sayının kendisi dışındaki bütün çarpanları birer öz çarpandır. 12 sayısının çarpanları ( yani bölenleri) 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 dir. Bu sayının öz çarpanları ise 1, 2, 3, 4 ve 6 dır. En küçük mükemmel sayı 6’dır. Çünkü bu sayı 6, 2, 3 ve 1’e tam bölünebilir. Ayrıca 1+2+3=6 toplamına da eşittir. İkinci sırada gelen ise 28 sayısıdır. Bu sayı da 1, 2, 4, 7 ve 14’e bölünür ve 1+2+4+7+14=28’e eşittir.

İlk iki mükemmel sayı olan 6 ve 28’in mükemmel sayı lügatinde önemli bir yeri vardır, çünkü her çift mükemmel sayının bu ikisinden biriyle bittiği ispatlanabilir. Yüzyıllar boyunca bu sayılara mistik anlamlar verilmiştir. Aziz Au­gustine dünyanın 6 günde yaratılışının ve ayın dünya çevresinde 28 günde dönmesinin nedenleri olarak bu sayıların mükemmelliğini göstermiştir.

Mükemmel Sayılar ve Öklid

Mükemmel sayıların hikayesi, yirmi üç yüz yıldan fazla bir süre önce, şimdiye kadar yayınlanmış en etkili matematiksel çalışmalardan birinde başladı: Bu kitabın adı Elementler idi. Kendisini çoğu zaman bir geometrici olarak düşünsek de aslında Öklid matematiğin birçok dalı üzerinde çalışmalar yaptı. Sayılar teorisi de bunlardan birisi idi. Ortaya attığı sorulardan biri şu şekilde idi.

1 sayısından başlayarak sonraki sayıları 2 ile çarparak 1, 2, 4, 8, 16 sayıları dizisini elde ederiz. Bu sayıları toplayarak 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 asal sayısına ulaşırız. Öklid bize dizideki son sayı olan 16 ile toplam sayı 31’i çarparsak sonucun mükemmel sayı olacağını söylüyor. Yani 31×16 = 496 mükemmel olmalıdır. Gerçekten de üçüncü mükemmel sayı 496 sayısıdır. Öklid’in bu inanılmaz sonucu, yeni mükemmel sayıları keşfetmenin kesin bir yolunu sağladığı için sonraki nesil matematikçilere ilham verdi.

Öklid’in daha büyük mükemmel sayılar bulmamız için önerdiği yöntemi bir kısıtlaması vardı. İş yaraması için toplamın asal bir sayı olması gerekiyordu. Bunu şu biçimde genelleyebiliriz. Tüm mükemmel sayılar iki çarpana ayrılır. Bunlardan bir tanesi ikinin kuvveti iken diğeri ikinin bir sonraki kuvveti eksi 1’dir.

6 =21 x (22-1)

28 =22 x (23-1)

496 =24 x (25-1),

8128 = 26 x (27-1).

İşin İçine İbnü’l-Heysem’de Dahil Oldu

Öklid’in ölümünden bin iki yüz yıl sonra, mükemmel sayılarla ilgili başka bir sonuç için Orta Doğu’ya gitmemiz gerekiyor. İranlı matematikçi İbn el-Heysem, fizik ve optikten sayı teorisi ve geometriye kadar çok çeşitli alanlarda çalıştı. Özellikle, matematiksel yöntemler için Öklid’in Elementlerini detaylı bir şekilde inceledi. Öklid’in önermesinin tersinin de doğru olduğunu öne süren ilk kişi İbnü’l-Heysem’dir: Öklid’in mükemmel sayılar üretme süreci aslında çift ​​olan tüm mükemmel sayıları üretir.

İlginç bir bilgi: herhangi bir mükemmel sayının bölenlerinin tersini alır toplarsak (bu toplama sayının kendisini de dahil ediyoruz), toplamları her zaman 2’ye eşit olacaktır. Aşağıda bu durum ile ilgili bir kaç örnek görebilirsiniz.

İbnü’l-Heysem bu sonucu tam olarak kanıtlayamasa da, sonraki birçok matematikçi, ek ilerleme sağlamayı umarak İbnü’l-Heysem’in çalışmalarını taklit etmeye çalıştı. Ancak dünya tam bir tanımlamanın ortaya çıkması için yedi yüz yıl daha beklemek zorunda kaldı. Sonunda her sorunun çözümünde olduğu gibi işin içine yine Euler karıştı. Kendisi Euclid’in mükemmel sayılar üretme algoritmasının aslında her çift mükemmel sayıyı ürettiğini kanıtladı. Buna ek olarak, Euler sekizinci mükemmel sayıyı da tanımladı.

Mükemmel Sayılar Listesi

Peki ya tek ve mükemmel olan sayılar? Tek olan bir mükemmel sayının var olup olmadığını bilmiyoruz; şu ana bulunamamıştır.

Bugüne kadar 51 mükemmel sayı keşfedildi; en büyüğü 49.724.095 basamaklıdır. Yukarıda mükemmel sayıların bazılarının bir listesini görebilirsiniz. Sonsuz sayıda çift mükemmel sayı var mıdır? Onu da bilmiyoruz. Sonuçta belki de Descartes’ın da dediği gibi, mükemmel sayılar mükemmel insanlar gibi çok azdır, ancak biz yine de aramaktan vazgeçmeyelim…


Ayrıca göz atmak isterseniz:

İleri okumalar için: Dylan Johnson; A strange definition of perfect; yayınlanma tarihi: 5 Şubat 2020; Bağlantı: https://plus.maths.org/content/bizarre-definition-perfect

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu