Matematik Öğrenelim

90 Yıl Sonra Matematikçiler Ramsey Sayıları İle İlgili Problemi Çözdüler

Matematikçiler neredeyse bir yüzyıldır kesin olarak belirlenmesi zor olan Ramsey sayıları üzerine çalışıyorlar. Daha fazla Ramsey sayısı bularak hayatımızdaki kaosa bir düzen getirmeyi amaçlıyorlar.

Sonunda San Diego’daki Kaliforniya Üniversitesi’nden Sam Mattheus ve Jacques Verstraete bu konuda önemli bir adım attı. Detaylara geçmeden önce konu hakkında kısaca bir ön bilgi verelim.

Rastgele kaosun olduğu bir dünyada yaşasak da hepimiz hayatımızdan, çevremizdeki dünyadan Evren’e kadar her şeyde düzen ararız. İngiliz matematikçi ve filozof Frank Plumpton Ramsey’in adını taşıyan Ramsey teorisi, sistemlerde düzen ve örüntü bulmakla ilgilenir.

Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) İngiliz filozof, matematikçi ve ekonomist. 26 yaşında ölümünden önce her üç alana önemli katkıları olmuştur. 

Birazdan okuyacağınız gibi teorinin temel fikirlerini anlamak oldukça kolaydır. Öte yandan, bazı olağanüstü zor soruları da gündeme getirdiği için aynı zamanda aktif bir araştırma alanıdır. Sorduğu temel soru şudur. Düzensiz ve karmaşık bir sistemde her zaman bir düzen var mıdır? Eğer öyleyse, içinde belirli bir düzen bulabileceğimizden emin olmak için düzensizliğin boyutu ne olmalıdır? Bu sorulara cevap vermeye başladığımız zaman karşımıza Ramsey sayıları çıkar.

Ramsey Sayıları Nedir?

Ramsey sayısının ne olduğunu anlamak için bir parti düzenlediğinizi hayal edin. Bu partiye 6 kişi çağırdığınızı düşünelim. Partide birbirini tanıyan ya da tanımayan kişilerin olması olasıdır. İki kişi birbirini tanıyorsa arkadaş, tanımazlarsa yabancı diyelim. Şimdi aşağıdaki görselde gördüğünüz gibi odadaki her bir insan çiftini birleştiren çizgiler çizdiğimizi ve ikisi arkadaşsa maviye, yabancıysa kırmızıya boyadığımızı varsayalım. 

Şekle baktığınız zaman üç kenarı mavi ve 3 kenarı kırmızı olan üçgenler göreceksiniz. 6 kişide en az bir tane böyle bir üçgen bulmak mümkündür. Örneğin şeklimizde Charlie, Evelyn ve Fred birbirlerine yabancıdırlar. Çünkü bu üçlünün oluşturduğu üçgenin üç kenarı da kırmızıdır.

Bu durumda üçünün arkadaş ya da üçünün yabancı olduğundan emin olmak için en az kaç kişiye ihtiyacımız var?” sorusunun cevabını bulduk. Ramsey sayısı, r, partide ihtiyaç duyulan minimum kişi sayısıdır. Böylece k kişi birbirini tanıyor veya t kişi birbirini tanımıyor olacaktır. Bunu r(s,t) olarak yazılabiliriz. Ve denemeler sonucunda r(3,3) = 6’nın cevap olduğunu biliyoruz.

Ne var ki bunda demeyin. Partinize çağırdığınız kişi sayısı arttıkça çizdiğiniz çizgiler karmaşıklaşacaktır. Bir örnek için aşağıdaki görsele göz atabilirsiniz. Görselde s’nin aralarında mavi çizgiler bulunan noktalar ve t’nin de kırmızı çizgiler olan noktalar olduğunu düşünün.

r(4,5) gibi Ramsey problemlerinin ifade edilmesi basittir. Ancak bu grafikte gösterildiği gibi olası çözümler neredeyse sonsuzdur.

Bu konuya el atan matematikçiler Paul Erdös ve George Szekeres, 1935’te r(4,4)’ün 18’e eşit olduğunu keşfettiler. Ve 1995’ten beri r(4,5) = 25 cevabını biliyoruz. Peki R(5,5)’in değeri nedir?

Aslında, çok az sayıda Ramsey R(a,b) sayısı bilinmektedir. R(3,3)=6, R(4,3)=9 ve R(4,4)=18, R(5,3)=14, R(6,3)=18 ve R(7,3)=23 bildiklerimizdir. Mevcut bilgilerimizle R(5,5) hakkında söyleyebileceğimiz ise en fazla şey, 42 ile 55 arasında bir yerde olduğu. Yani, R(5,5) hala açık bir problem. Ancak çözmek için yeni bir gelişme var. ( Hesaplanmalar hakkında biraz daha detay için bu yazıya da göz atabilirsiniz. Ramsey Teorisi Kaosun İçinde de Düzen Olduğunu Hatırlatacaktır)

Ramsey Sayıları Neden Önemlidir?

Bu sayıları bulmak çok zor olduğu için matematikçiler farklı yaklaşımları dener. Bunun sonucunda kesin cevabı bulamasalar da, bu Ramsey sayılarının ne olabileceğine dair tahminler yapar. Bu mantıkla, matematikçi Dhruv Mubayi, r(3,t)’yi 2019’da çözmeyi başarmıştı. Ancak bunu r(4,t) için yapamamıştı.

Kendisinin motivasyonu r(4,t) sorununun Paul Erdös tarafından ortaya atılan bir problem olmasıydı. Paul Erdös ilginç bir matematikçiydi. Ortaya bazı sorunlar atar ve çözen kişilere de para ödülleri vaat ederdi. Bu soru için de 250 dolar ödül belirlemişti.

Bu nedenle, ödülden ziyade prestij için, birçok kişi r(4,t)’yi bulmayı denemişti. Sonucunda iki matematikçi ortaklık yapmaya karar verdi. Çözüm için araştırmacılar s’yi (ortak tanıdıklar) 4 olarak sabitlediler. Sonrasında da t (yabancılar) arttıkça Ramsey sayısını incelediler. Neredeyse bir yıl sonra, r(4,t)’nin t’nin kübik fonksiyonuna yakın olduğunu buldular.

Yani birbirini tanıyan 4 kişinin veya birbirini tanımayan t kişinin olduğu bir parti düzenlemek istiyorsanız, bu partiye t3 kadar kişi çağırmanız gerekiyor. Araştırmacıların belirttiği gibi bu en iyi tahmindir yani t3 kesin cevaba çok yakındır. Bu sayede de diğer Ramsey sayılarını hesaplamak daha kolay olacaktır.

Tüm bunların sonucunda Ramsey sayılarının neden önemli olduğunu merak etmiş olmalısınız. Tahmin ettiğiniz gibi konunun partiler ile hiçbir ilgisi yok. Bir sorun için Ramsey sayısını bulmak, esasen bir sistemin belirli bir özellikten emin olmak için ihtiyaç duyduğu en az öğeyi bulmak anlamına gelir. Bilgisayar bilimleri ve matematikte diğer şeylerin yanı sıra iletişim ağlarını yapılandırmak ve dolandırıcılık tespit algoritmaları oluşturmak için faydalıdır.

Araştırmanın ön baskısı arXiv’de mevcut ve şu anda Annals of Mathematics dergisi tarafından inceleniyor.


Kaynaklar ve ileri okumalar

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu