Bir Sayısı Neden Asal Değildir?

İlköğretim ve lisede asal sayı şu şekilde tanımlanıyor: “Bir ve kendisinden başka böleni olmayan doğal sayıya asal sayı denir.”

Bazı öğrenciler bu tanımdaki eksikliği fark ederler: “O zaman 1 sayısı da asal sayıdır diyemez miyiz hocam.”

Ancak öğrencinin kendi başına bir şey düşünmüş olmasının sevinci uzun sürmez, çünkü öğretmenin yanıtı hazırdır:

“Ama sözlerimi daha bitirmemiştim ki… 1’e asal sayı demiyoruz, çünkü en küçük asal sayı 2’dir.”

“Ha, o zaman tamam, hocam,” der öğrenci bir anlık şaşkınlıkla. Bu arada öğretmen konuyu işlemeye devam eder.

Ancak öğrencinin kafasında başka sorular belirmiştir. “Neden en küçük asal sayı 2 olsun ki? Neden 1’i de asal sayı kabul etmiyoruz? Tanıma uyuyor sonuçta. 1 ve kendisinden başka böleni yok.”

“Ama, matematikte tanımlar sorgulanmaz,” der öğretmen.“Kitapta da bu şekilde verilmiş, 1 asal değildir.”

Öğrencinin bu güzel sorusuna çok daha tatmin edici yanıtlar veren öğretmenler vardır mutlaka. Ancak bütün ders kitapları, özellikle de soru bankaları ünite başında konuyla ilgili özellikleri ispatsız olarak sıralamayı çok severler. Asal sayının tanımı da hep bu şekilde verilir:

“Bir ve kendisinden başka böleni olmayan sayıya asal sayı denir. En küçük asal sayı 2’dir.”

Öğrencinin sorgulamaya zamanı yoktur, ayrıntılara takılmadan yoluna devam etmelidir, daha çözeceği 500 soru vardır. (Bazı dershaneler, öğrencilere günde 500 soru ödev verirler.)

Bu arada 1’in neden asal sayı kabul edilmediği sorusu havada kalmıştır.

Asal Sayı Nedir?

Oysa okullarda asal sayıların çok daha güzel bir tanımı kullanılabilir:

“(Pozitif) Bölenlerinin kümesi iki elemanlı olan doğal sayılara asal sayı denir.”

Ve tabi ki 1 bu tanıma uymamaktadır.

Örneğin 6’nın (pozitif) bölenlerinin kümesini yazarsak 4 elemanlı olduğunu görürüz: {1, 2, 3, 6}.

Benzer şekilde:

5’in pozitif bölenlerinin kümesi iki elemanlı: {1, 5},

4’ün pozitif bölenlerinin kümesi 3 elemanlı: {1, 2, 4},

3’ün pozitif bölenlerinin kümesi 2 elemanlı: {1, 3},

2’nin pozitif bölenlerinin kümesi 2 elemanlıdır: {1, 2}.

Ancak 1’in bölenlerinin kümesi 1 elemanlıdır: {1}

İşte bu yüzden 1 asal sayı kabul edilmez ve en küçük asal sayı 2 olur.

Bu arada, tanımın dışında, 1’in asal sayı kabul edilmemesinin esas nedeni, her doğal sayının bir ve yalnız bir şekilde asal çarpanlarına ayrılabileceğini söyleyen teoremdir.

Örnek: Diyelim ki 12 sayısını asal çarpanlarına ayırmak istiyoruz.

12 = 2²×3

Bu açılım başka türlü yazılamaz. (Tabi asalları küçükten büyüğe doğru yazmak ve terimlerin tabanını oluşturan asal çarpanları bir kez kullanmak koşulu ile.)

Ancak 1’i asal sayı kabul etseydik asal çarpanlarına ayırmanın farklı biçimleri söz konusu olurdu.

Mesela 12’nin asal çarpanlara ayrılışı aşağıdaki gibi iki farklı şekilde yazılabilirdi.

12=11×2²×3 ya da 12=15×2²×3

Bu durumun sakıncası, bu açılıma bağlı formüllerin çalışmaması olacaktı.

Örneğin, bir sayının pozitif bölen sayısı, sayının asal açılımında üslerin birer arttırılıp çarpılmasıyla bulunur ve 1’in üssü her doğal sayı olabilir. Bu nedenle de formül işlemeyecektir.

(Daha doğrusu formüllerde 1’in üssünün kullanılamayacağına dair sürekli uyarı yapmak zorunda kalacaktık.)

Ayrıca ilkokulda öğretilen asal çarpanlara ayırma algoritması 1 ile başlayamazdı. Çünkü 1 ile başlandığında bölüm hep aynı çıkacağından, 2’ye geçmek imkânsız hale gelecekti. Bu ve bunun gibi başka nedenlerden 1’i asal kabul etmiyoruz. Yukarıda önerdiğimiz tanım, en baştan 1’i asal sayılar kümesinden çıkarmaktadır.

Sanıyoruz ki ilk ve orta öğretim ders kitapları ve müfredatında bu tanımın kullanılması yerinde olur. Bölen kavramı ilkokulda zaten verilmektedir. Küme kavramı da keza öyle…

Dolayısıyla bir öğrenci için bu tanımı kavramak zor olmayacaktır.

Sinan İpek

Matematiksel

Hazırlayan: SİNAN İPEK

Avatar
Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar: TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik, 2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik, Ya Sonra Öykü Yarışması'nda finalist, Mimarlık Öyküleri Yarışması'nda finalist, 44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.