Bir Sayısı Neden Asal Sayı Değildir?

“Bir ve kendisinden başka böleni olmayan sayıya asal sayı denir. En küçük asal sayı 2’dir.” Bu tanım ilk bakışta açık görünür. Ancak önemli bir soruyu gündeme getirir: “1 sayısı neden asal değildir?”

Kafa karışıklığı genellikle şu ifadeden doğar: “Asal sayı, yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif bir tam sayıdır.” Bu tanımı esas alırsak, 1 sayısı da koşulu sağlıyor gibidir. Ancak burada gözden kaçan önemli bir ayrıntı vardır: 1 ve “kendisi” iki farklı bölen değildir. Başka bir deyişle, 1’in yalnızca tek bir böleni vardır.

Bu nedenle asal sayıyı daha net tanımlamak gerekir. Örneğin: “Asal sayı, 1 ve kendisi olmak üzere tam olarak iki farklı böleni olan sayıdır.” ya da “Asal sayı, 1’den büyük olup yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen tam sayıdır.” Peki, matematikçiler 1’i özellikle dışlamakta neden bu kadar titiz davranır?

Asal Sayı Nedir?

Bir sayının asal olup olmadığı bir kanıt meselesi değil, bir tanım meselesidir. Bu nedenle konu, tercihe, bağlama ve geleneğe bağlıdır. Ancak tanımlar rastgele değildir. Matematiği nasıl kullandığımız ve özellikle bu kullanımda benimsediğimiz gösterimler, bu tercihleri belirler.

Antik Yunanlılar asal sayıların bazı temel özelliklerini biliyor ve bunları kanıtlayabiliyordu. Öklid’in Elementler adlı eserinin VII. kitabı bütünüyle asal sayılar ve çarpanlar üzerine kuruludur. Ancak onlar için 1 sayısı, 2, 3 ya da 4 gibi sayılarla aynı türden bir varlık değildi.

Yunan matematikçileri 1’i bir “birim” olarak görüyordu. Sayıyı ise birden fazla birimin birleşmesiyle oluşan bir bütün olarak tanımlıyordu. Bu anlayışa göre 1, tüm sayıların yapı taşıydı; fakat kendisi bir sayı sayılmıyordu. Bu düşünce yüzyıllar boyunca etkisini sürdürdü.

1585 yılında Flaman matematikçi Simon Stevin önemli bir gözlemde bulundu. On tabanlı sayı sistemiyle yapılan aritmetikte, 1 rakamı ile diğer rakamlar arasında aslında hiçbir fark yoktu. Her açıdan bakıldığında, 1 de diğer sayılar gibi davranıyordu. Bu fikir zamanla matematikçilerin 1’i diğer sayılarla aynı statüde değerlendirmesinin önünü açtı.

19. yüzyılın sonlarına gelindiğinde bile, bazı önemli matematikçiler 1’i asal kabul ederken bazıları bunu reddediyordu. Ancak bu ayrım, dönemin temel matematik problemleri açısından çok belirleyici olmadığından, ciddi bir tartışma da yaratmamıştı.

1’i asal kabul eden son büyük matematikçi G. H. Hardy’dir. Hardy, A Course in Pure Mathematics adlı kitabının ilk altı baskısında 1’i açıkça asal sayılar arasında saymış, 1938’de ise tanımı değiştirerek en küçük asal sayının 2 olduğunu belirtmiştir.

Bir Neden Asal Sayı Olamaz?

Öklid’in 30. Önermesi, asal sayıların kurduğu yapının tam merkezinde yer alır. Günümüz diliyle ifade edersek şunu söyler: Bir asal sayı, iki sayının çarpımını bölüyorsa, bu asal sayı mutlaka bu iki sayıdan en az birini de bölmek zorundadır. 32. Önerme ise temel bir ayrım koyar. Her doğal sayı ya asaldır ya da en az bir asal çarpanı vardır.

Bu iki önerme birlikte ele alındığında güçlü bir sonuç ortaya çıkar. Her doğal sayı, asal sayıların bir çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazım, çarpanların sırası dışında tektir. Örneğin 60 = 2 × 2 × 3 × 5= 2 × 3 × 2 × 5= 5 × 3 × 2 × 2 gibi farklı sıralamalar mümkündür. Ancak bu, 60’ı elde etmenin tek yoludur. 60’ı 7 × … biçiminde yazmak mümkün değildir.

Şimdiye kadarki tanıma göre bakıldığında, 1 asal gibi görünecektir. Çünkü 1 = 1 × 1 yazımı daha küçük sayılar içermez. Ancak bu yorum, teorinin ilerleyen aşamalarında ciddi sorunlar doğurur. Bu nedenle modern matematikte ek bir kural benimsenmiştir: 1 ne asal ne de bileşiktir. 1, ayrı bir sınıfa aittir ve “birim” olarak adlandırılır.

30 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir. Bu sayılar daha fazla parçalanamaz; 30’un temel yapı taşlarıdır, adeta DNA’sıdır. Ancak 1’i de asal kabul edersek, bu ayrıştırmayı keyfî biçimde uzatmak mümkün olur:

• 2 × 3 × 5 × 1
• 2 × 3 × 5 × 1 × 1
• 2 × 3 × 5 × 1 × 1 × 1

Bu 1’ler hiçbir yeni bilgi eklemez. İşte bu nedenle 1’i asal sayılar listesinin dışında bırakmak çok daha anlamlıdır. Bu tercih sayesinde, her sayının tek ve düzenli bir asal çarpanlara ayrılışı olduğunu söyleyebiliriz.

Sonuç Olarak

Matematik gerçekten de sabit ve değişmez bir dünyayı anlatır. Ancak tanımlar bu dünyanın parçası değildir. Onlar, bu dünyada yolumuzu bulabilmek için yerleştirdiğimiz işaretlerdir. Bazıları daha kolay yollar açar, bazıları ise tıkanıklık yaratır. Ama her zaman yeni ve daha iyi yollar çizmek mümkündür.

Kaynaklar ve ileri okumalar

• Why Isn’t 1 a Prime Number? Yayınlanma tarihi: 2 Nisan 2019; Kaynak site: Scientific Amerikan. Bağlantı: Why Isn’t 1 a Prime Number?
• Caldwell, Chris K. and Yeng Xiong. “What is the Smallest Prime.” arXiv: History and Overview (2012): n. pag.

Matematiksel, matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak, bilimin bütünsel yapısı itibari ile, diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel