Sayılar Teorisi

Bilinen En Büyük Asal Sayı ve Mersenne Asalları

Bilinen en büyük asal sayı nedir diye merak ederseniz cevap 21 Aralık 2018 tarihinde bulunan aşağıdaki 24.862.048 basamaklı devasa sayı diye cevap verebiliriz. 282 589 933-1. Asal sayılar ailesinin bu son üyesi; gönüllü insanların asal sayıları hesaplamaya çalıştığı GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) isimli bir organizasyon tarafından bulundu. Bu seferki şanslı kaşif, Patrick Laroche isimli matematik sever. GIMPS yazılımını kullanarak 4 aydan kısa bir süre içerisinde amacına ulaştı. Laroche, ödül olarak 3.000 dolar kazandı.

Mersenne Asalları

asal sayı

Günümüzde bilinen en büyük asal sayıların büyük bir kısmı Mersenne asallarından oluşmaktadır. Mersenne asalları diğer asal sayılarda olduğu gibi bir ve kendinden başka böleni olmama özelliğini taşımasının yanısıra 2 sayısının katlarının bir eksiği olma özelliğini taşırlar. Örnek vermek gerekirse: ( n sayıları da asal olmalıdır)

  • n = 2 için 22−1 = 3
  • n = 3 için 23−1 = 7
  • n = 5 için 25−1 = 31
  • n = 7 için 27−1 = 127
  • n = 11 için 211−1 = 2047 diye devam eder.

GIMPS’te asal sayı arama çabaları n asal sayı olmak üzere 2n -1 formundaki sayıların asal olup olmadıklarını kontrol etmek üzerinden gerçekleşiyor. Örneğin yukarıdaki en büyük asal sayı n= 82,589,933 alınarak bulunmuştur. Bu çalışma kulağa kolay bir işmiş gibi gelebilir. Fakat en son bulunan bu sayının asal olup olmadığının anlaşılması için ortalama bir bilgisayarda aralıksız 12 gün hesap yapmak gerekiyor. 

Bu keşif, Mersenne asallarının nasıl dağıldığına ışık tutabilir mi?

Matematikçiler, daha önce ilk Mersenne asallarına bakarak gerçekten bu sayıların nasıl dağıldığına dair asimptotik bir formül geliştirdiler. Mersenne asalları, mükemmel sayılar ile olan ilişkisi bakımından da son derece ilginçtir. Hatırlatmak gerekirse; mükemmel sayı, kendisi hariç doğal sayı bölenlerinin toplamına eşit olan sayıdır. Örneğin; 6=1+2+3 ve 28=1+2+4+7+14

Mükemmel sayılar, nadir bulunan mücevherler gibidir. Eskiden sadece 4 tanesi (6,28,496 ve 8128) biliniyordu. Leonard Euler, bir Mersenne asalı biliyorsak mükemmel bir sayı da bulabileceğimizi ortaya koydu. 2n -1 Mersenne sayısı asal ise, 2n-1.( 2n -1) sayısı da mükemmel sayıdır. O halde artık en büyük asal sayımızı biliyorsak, en büyük mükemmel sayımızı da yazabiliriz: 282 589 932 . (282 589 933-1)

Bu sayı 49 milyon basamaklı ve artık 51 tane Mersenne asalı ve 51 tane mükemmel sayı biliyoruz. Yeni Mersenne asalları ve mükemmel sayılar bulmaya devam edebilecek miyiz? Bunu bilemeyiz. Fakat her ikisinin de sonsuza kadar devam ettiklerini biliyoruz. Asal sayılar özellikle kriptografi, internet güvenliği ve bilgi işlem geleceği açısından önemlidir. Ancak bu kadar büyük asal sayıların bulunması ve daha büyüklerinin aranmasının matematikçiler açısından ayrı bir anlamı da vardır. Bir nevi Everest’e tırmanmak gibi düşünülebilir bu tutku. Siz de bu arayışa katılabilirsiniz: https://www.mersenne.org/

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.