Bilinen En Büyük Asal Sayı ve Mersenne Asalları

Asal sayılar yani yalnızca kendilerine veya 1’e bölünebilen sayılar, tüm pozitif tamsayıların yapı taşları olarak kabul edildikleri için ilk kez Antik Yunan’da Pisagor okulunda incelendikleri günden beri matematikçileri büyülemişti.

1536 yılına kadar matematikçiler, 2ⁿ – 1 denkleminin başka bir asal sayıya yol açacağını kabul ediyorlardı. Ancak, Utriusque Arithmetices Epitome (Her İki Aritmetiğin Özeti) adlı eserinde, Hudalrichus Regius olarak bilinen bir bilgin, 2¹¹ – 1 = 2.047 sonucuna dikkat çekti. Dikkat ederseniz 2.047 = 23 × 89 biçimindedir. Yani bir asal sayı değildir.

Günümüzde asal sayılar üretmek için bir formül bulma çalışmasında en iyi hatırladığımız isim bir Fransız keşiş, filozof ve matematikçi olan Marin Mersenne’dir. (1588–1648). Matematik dışında bir çok çalışma yapmasına rağmen Mersenne’in adı bugün en çok Mersenne sayılarıyla hatırlanır.

Mersenne Asalları

Günümüzde p doğal sayısı için 2^p – 1 şek­lindeki sayılara Mersenne sayıları, bunların asal olanlarına da Mersenne asalları denir. Sebebi, Mersenne’in 1644 tarihli Cogitata Physica-Mathematica adlı eserinde 257’ye kadarki tüm p değerlerinden sadece p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ve 257 değerlerinin bize asal sayı verdiğini iddia etmesidir.

1750 yılında, Leonhard Euler, 2³¹ − 1 sayısının asal olduğunu onayladı. Sonrasında 1876 yılında Fransız matematikçi Édouard Lucas, 2¹²⁷ − 1 için de onay verdi. Ancak bugün Mersenne’in beş hata yaptığını biliyoruz. İlk olarak p = 67 ve 257 için Mer­senne sayıları bileşik sayıdır. Ayrıca listede yer almayan p = 61, 89, 107 gibi üç asal sayı da Mersenne Asalıdır.

Bilinen En Büyük Asal Sayı Kaçtır?

Sonucunda zaman geçtikçe işin içine bilgisayarlar karıştı. Bunun sonucunda daha fazla Mersenne Asalı ortaya çıktı. Böylece bu tür sayıların asal sayı olup olmadığını kontrol etmek için çok hızlı ve özel yön­temler ortaya kondu. Bunlardan bir tanesi Lucas-Lehmer testi olarak bilinir.

Bu algoritma ve bilgisayar yardımı ile büyük asal sayı avına çıkabiliriz. 1995 yılında Amerikalı bilgisayar bilimcisi George Woltman tarafından başlatılan Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS-Büyük Internet Mersenne Asal Arayışı) de tam olarak bunu yapıyor. 1997’den beri, yeni bulunan tüm Mersenne asal sayıları, GIMS tarafından keşfedildi. 

En büyük asal sayı diye bir şey yoktur. Çünkü biliyoruz ki asal sayılar sonsuz tanedir. 2018 itibariyle bilinen en büyük asal sayı, 2^{82 589 933}-1. biçimindedir. Bu 24.862.048 basamaklı bir sayıdır.

Mersenne asallarının mükemmel sayılar ile ilişkisi nedir?

Mersenne asalları, mükemmel sayılar ile olan ilişkisi bakımından da son derece ilginçtir. Mükemmel sayı, kendisi hariç doğal sayı bölenlerinin toplamına eşit olan sayıdır. Örneğin; 6=1+2+3 ve 28=1+2+4+7+14 mükemmel sayılardır. İlk dört mükemmel sayı 6,28,496 ve 8128 biçimindedir.

MÖ 4. yüzyılda Öklid, 2^p − 1 asal ise 2^{p − 1}(2^p − 1) çarpımının mükemmel bir sayı olduğunu kanıtladı. 18. yüzyılda Leonhard Euler, tüm çift mükemmel sayıların bu forma sahip olduğunu söyledi. Günümüzde bu durum, Öklid-Euler teoremi olarak bilinir. Tek mükemmel sayıların olup olmadığı ise hala bilinmemektedir. ( Daha fazla bilgi için bu yazımıza göz atabilirsiniz.)

Günümüzde 51 tane Mersenne asalı ve 51 tane mükemmel sayı biliyoruz. Yeni Mersenne asalları ve mükemmel sayılar bulmaya devam edebilecek miyiz? Bunu bilemeyiz. Fakat her ikisinin de sonsuza kadar devam ettiklerini biliyoruz. 

Asal sayılar özellikle kriptografi, internet güvenliği ve bilgi işlem geleceği açısından önemlidir. Ancak bu kadar büyük asal sayıların bulunması ve daha büyüklerinin aranmasının matematikçiler açısından ayrı bir anlamı da vardır. Bu pi sayısının basamaklarını aramamızla benzer bir olgudur. Bu durum biraz da insanlığın en büyük, en uzun, en fazla olanı bulma sevdası ile alakalıdır. 

2020’nin sonlarında GIMPS, PRP testi olarak adlandırılan yeni bir teknik kullanmaya başladı. Bu test düşük hata oranı ve kullanım kolaylığı nedeniyle, potansiyel asal sayıları bulmak için gereken hesaplama süresini neredeyse yarıya indirdi.

Bu arada hatırlatalım. İnternet bağlantısı olan iyi bir bilgisayarınız olduğu sürece herkes GIMPS’e dahil olma şansına sahiptir. Mersenne asal sayılarını aramak için ücretsiz yazılım GIMPS web sitesinde yer almaktadır. Yazının devamında göz atmak isterseniz: Asal Sayılar Nedir? Matematikçiler İçin Neden Bu Kadar Önemlidir?

Kaynaklar ve İleri Okumalar:

• Marin Mersenne; Bağlantı: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/
• Mersenne prime; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel