Bilinen En Büyük Asal Sayı, Mersenne Asalları ve Mükemmel Sayılar

Dünyanın dört bir yanındaki matematik severler, yeni yıl öncesi (21 Aralık 2018) en büyük asal sayının bulunduğu haberini aldı.

24.862.048 basamaklı bu devasa sayı artık bugüne kadar bildiğimiz en büyük asal sayı durumunda.

Daha önce asal sayıların sonsuz tane olduğu kanıtlanmıştı. Ancak bulunan en büyük asal sayı, matematikte her zaman “manşet” olur. Asal sayılar ailesinin bu son üyesi; gönüllü insanların asal sayıları hesaplamaya çalıştığı GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) isimli bir organizasyon tarafından bulundu.

Herkes yeni bir asal sayı bularak ödül kazanmak için şansını deneyebilir.

Bu seferki şanslı kaşif, Florida’dan Patrick Laroche isimli matematik sever. GIMPS yazılımını kullanarak 4 aydan kısa bir süre içerisinde amacına ulaştı. Bunu önemli bir başarı sayabiliriz. Çünkü bazı GIMPS kullanıcıları 20 yılı aşkın sürede sonuç alamadılar. Laroche, ödül olarak 3.000 dolar kazandı.

GIMPS’te asal sayı arama çabaları,  asal sayı olmak üzere formundaki sayıların (Mersenne sayıları) asal olup olmadıklarını kontrol etmek üzerinden gerçekleşiyor. Örneğin yukarıdaki en büyük asal sayı   alınarak bulunmuştur. Bu çalışma kulağa kolay bir işmiş gibi gelebilir. Fakat en son bulunan bu sayının asal olup olmadığının anlaşılması için ortalama bir bilgisayarda aralıksız 12 gün hesap yapmak gerekiyor. 

Acaba bu keşif, Mersenne asallarının nasıl dağıldığına ışık tutabilir mi?

Matematikçiler, daha önce ilk Mersenne asallarına bakarak gerçekten bu sayıların nasıl dağıldığına dair asimptotik bir formül geliştirdiler. 

Örneğin,  ile  arasında 12 tane Mersenne asalı vardır. Bu sayı ise formülün iddia ettiğinin 3 katıdır. GIMPS’in internet sitesinde “Bu anomali, Mersenne asallarının dağılımı ile ilgili teorilerin yanlış olduğuna dair kesin kanıt değildir. Ancak eğilim devam ederse bu konu araştırılmaya değerdir.” deniyor. 

Mersenne asalları, mükemmel sayılar ile olan ilişkisi bakımından da son derece ilginçtir. Hatırlatmak gerekirse; mükemmel sayı, kendisi hariç doğal sayı bölenlerinin toplamına eşit olan sayıdır. Örneğin;

Mükemmel sayılar, nadir bulunan mücevherler gibidir. Eskiden sadece 4 tanesi (6,28,496 ve 8128) biliniyordu. Leonard Euler, bir Mersenne asalı biliyorsak mükemmel bir sayı da bulabileceğimizi ortaya koydu.

 Mersenne sayısı asal ise,

sayısı da mükemmel sayıdır. 

O halde artık en büyük asal sayımızı biliyorsak, en büyük mükemmel sayımızı da yazabiliriz:

Bu sayı 49 milyon basamaklı ve artık 51 tane Mersenne asalı ve 51 tane mükemmel sayı biliyoruz.

Yeni Mersenne asalları ve mükemmel sayılar bulmaya devam edebilecek miyiz? Bunu bilemeyiz. Fakat her ikisinin de sonsuza kadar devam ettiklerini biliyoruz. 

Şevket ÜNCÜ

Matematiksel

Kaynakça: https://plus.maths.org/content/gimps-sets-new-prime-recordhttps://

www.mersenne.org/

https://www.matematiksel.org/asal-sayilarin-sikligi-uzerine/

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı