Carl Sagan’ın aynı adlı romanından uyarlanan Mesaj ( Contact) filminde Dr. Ellie Arroway, radyo teleskoplarıyla gökyüzünü tarayarak akıllı dünya dışı yaşamı arar. Sonunda gezegenler arasındaki bu sinyal asal sayılar biçiminde kendisine gelecekti. Kendisi uzaylıların asal sayıları kozmik bir “merhaba” olarak kullandıklarına inanması tesadüf değildi. Çünkü her sayı asal sayıların bir sonucuydu.
Matematikçiler asal sayıları genellikle matematiğin atomları olarak isimlendirirler. Bunun nedeni tüm sayma sayıların temelinde asal sayıların çarpımı ile oluşturulmasıdır. Mesela 12 sayısını 2x2x3 biçiminde yazabiliriz. Bu sayılara bileşik sayılar denir. Bazı sayıları ise ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Bunlara da asal sayılar veya kısaca asallar denir.
Aralık 2017’de, bilinen en büyük asal sayı, elektrik mühendisi Jonathan Pace tarafından keşfedildi. Devamında bu devasa sayının keşfi tüm dünyada manşetlere taşındı. Peki ama basit bir sayının keşfi neden bu kadar önemliydi? Cevap güvenliğimiz ile ilgili. Çünkü asal sayılar olmadan bankacılık bilgileriniz, online alışverişleriniz tehlikeye girebilir.
Küçük bir sayının çarpanlarına ayrılması kolaydır. Ancak sayı büyüdükçe bu durum zorlaşmaya başlar. Bu nedenle daha büyük asal sayılar daha fazla güvenlik demektir. Kriptografi, bilgiyi kodlama ve kod çözme bilimidir ve RSA gibi algoritmalarının çoğu büyük ölçüde asal sayılara dayanır.
En büyük asal sayı diye bir şey yoktur. Çünkü biliyoruz ki asal sayılar sonsuz tanedir. Ancak şu an için bilinen en büyük asal sayı, 282 589 933-1. biçimindedir. Bu 24.862.048 basamaklı bir sayıdır.
En Büyük Asal Sayıyı Nasıl Buluyoruz?
Sonsuz sayıda asal sayı olmasına rağmen hepsini oluşturacak bilinen bir formül yoktur. Bu nedenle çeşitli matematiksel yaklaşımlar ve algoritmalar yardımı ile daha büyük asal sayıları bulma yarışı devam ediyor. Büyük asal sayıları elde etmenin bir yolu, 17. yüzyıl Fransız keşiş, filozof ve matematikçi Marin Mersenne (1588–1648) tarafından keşfedilen bir yöntemden geçiyor.
Günümüzde p doğal sayısı için 2p – 1 şeklindeki sayılara Mersenne sayıları, bunların asal olanlarına da Mersenne asalları denir. Sebebi, Mersenne’in 1644 tarihli Cogitata Physica-Mathematica adlı eserinde 257’ye kadarki tüm p değerlerinden sadece p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 ve 257 değerlerinin bize asal sayı verdiğini iddia etmesidir.
2p – 1 şeklindeki her sayı asal değildir. Örneğin 2⁴ – 1 = 15 sonucu asal olmayacaktır. Eğer 2p – 1 asalsa, p’nin kendisinin de asal olması gerekmektedir. Ancak p asal olsa bile 2p – 1 sayısının asal olduğunun bir garantisi yoktur. Örneğin n=11 asal olmasına rağmen, 2¹¹ – 1 = 2047 sayısı asal değildir çünkü 23 çarpı 89’a eşittir.
1750 yılında, Leonhard Euler, 231 − 1 sayısının asal olduğunu onayladı. Sonrasında 1876 yılında Fransız matematikçi Édouard Lucas, 2127 − 1 için de onay verdi. Ancak bugün Mersenne’in beş hata yaptığını biliyoruz. İlk olarak p = 67 ve 257 için Mersenne sayıları bileşik sayıdır. Ayrıca listede yer almayan p = 61, 89, 107 gibi üç asal sayı da Mersenne Asalıdır.
Daha Büyük Mersenne Asalları Bulma Çabası
1952’de Amerikalı matematikçi Raphael Robinson bu görevi gerçekleştirecek bir bilgisayar programı yazdı. 10 ay içinde sonraki beş Mersenne asal sayısını buldu. Sonraki 50 yıl boyunca, hepsi bilgisayar kullanılarak, hızla yeni Mersenne asal sayıları keşfedildi. Bilgisayarlar yeni Mersenne asal sayılarını ve bunlara karşılık gelen mükemmel sayıları bulmada inanılmaz derecede başarılı oldular ama şu ana kadar sadece 51 tane bulduk.
Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS-Büyük Internet Mersenne Asal Arayışı) aracılığı ile dünyanın dört bir yanından birçok kişi 1996 yılından beri yeni Mersenne asal sayılarını aramaya devam ediyor. Kullanıcılar bu süreçte Lucas-Lehmer testini kullanıyor. Test, dizideki (n-2)’inci terimi bölüyorsa 2ⁿ – 1 sayısının asal olduğunu söylüyor.
2020’nin sonlarında GIMPS, PRP testi olarak adlandırılan yeni bir teknik kullanmaya başladı. Bu test düşük hata oranı ve kullanım kolaylığı nedeniyle, potansiyel asal sayıları bulmak için gereken hesaplama süresini neredeyse yarıya indirdi.
Bu arada hatırlatalım. İnternet bağlantısı olan iyi bir bilgisayarınız olduğu sürece herkes GIMPS’e dahil olma şansına sahiptir. Mersenne asal sayılarını aramak için ücretsiz yazılım GIMPS web sitesinde yer almaktadır. Bilinen en büyük asal sayı şaşırtıcı derecede büyük olmasına rağmen, onun ötesinde keşfedilmeyi bekleyen sonsuz sayıda asal sayı daha var. Ellie Arroway’in Contact’ta yaptığı gibi, tek yapmamız gereken onları aramak.
Kaynaklar ve İleri Okumalar:
- Largest known prime number discovered: Why it matters. Yayınlanma tarihi: 9 Ocak 2018. Kaynak site: Conversation. Bağlantı: Largest known prime number discovered: Why it matters
- Mersenne prime; Bağlantı: https://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
